河南省开封市通许县2023届高三三模文科数学试题A卷（Word版附解析）

这是一份河南省开封市通许县2023届高三三模文科数学试题A卷（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了 设甲， ，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是得合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出两集合，再求两集合的交集即可.
【详解】∵，
，
∴.
故选：D.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据坐标写出复数，再进行除法运算即可.
【详解】因为复数对应的点的坐标为，
所以，
所以.
故选：D
3. 已知是定义在上的奇函数，当时，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】计算出，根据函数奇偶性求出.
【详解】因为是定义在上奇函数，当时，.
所以.
故选：A.
4. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用诱导公式和恒等变换进行化简，再利用任意角三角函数求解即可.
【详解】由题意得，所以.故选：B.
5. 若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. 5B. 9C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】画出可行域，利用目标函数的图像结合几何意义即可得解.
【详解】由题意画出可行域，如图所示，由图可知在点A处取到最大值，
因为此处的直线的截距最大，

联立，可得，即，
所以的最大值为10.
故选:C.
6. 现有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）.规定两人对局胜者得4分，平局各得2分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序.比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的，则第二名选手的得分是（ ）
A. 24B. 32C. 40D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得第二名选手至少得分，又全胜得分，假设第二名选手得分分推出矛盾，即可得解.
【详解】每个选手需要进行场比赛，则全胜的选手得分，
而最后五名选手之间赛场，至少共得分，所以第二名选手至少得分.
又因为名选手的得分各不相同，若第二名选手得分（赢了8场平1场），则第一名选手得分分（赢场），
这时，第一全赢，第一赢了第二一局，第二输了一局，所以矛盾.
所以不可得分，所以第二名选手得分是分.
故选：B.
7. 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用角的变换，结合三角恒等变换及充分、必要条件的概念进行判断即可．
【详解】当时，即，
则，
当时，两边都除以，
得，即．
当时，不能得出，
所以，由甲不一定推出乙．
当时，即，
两边都乘以，得，
两边都加上，得，即．
所以，由乙可推出甲．
所以，甲是乙的必要非充分条件．
故选：B．
8. 某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为36，则图中的值为（ ）

A. 2B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的三视图，作出原几何体，再利用锥体的体积公式求解作答.
【详解】依题意，三视图对应的几何体是底面为等腰直角三角形，直角长为，一个侧面与底面垂直的三棱锥体，如图，

三棱锥的高为，由体积，得，
所以.
故选：C
9. ，下列说法正确的是（）
①为偶函数；
②的最小正周期为；
③在区间上先减后增；
④的图象关于对称．
A. ①③B. ①④C. ③④D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得，然后结合函数的性质逐项分析即得.
【详解】由辅助角公式可得：，
对①，由题可知，为偶函数，①正确；
对②，最小正周期，故②错误；
对③，令，，在区间先减后增，复合函数同增异减易知，③正确；
对④，，所以关于点对称，④错误.
故选：A．
10. 已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A. 6B. 12C. D.
【答案】C
【解析】
分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由椭圆，得，，.

设，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，
故.
故选：C.
11. 已知函数， 若， ，，则大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再利用不等式，，放缩不等式，利用单调性，即可比较大小.
【详解】为偶函数，则.又当时，
，，则在上单调递减，
，∴在上单调递减，
设，，当，，单调递减，
当，，单调递增，所以当时，取得最小值，，所以，时，等号成立，
所以，
设，（），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，，则，时，等号成立，
所以，
∴，∴，
故选：B
12. 已知四面体的四个面均为直角三角形（如图所示），则该四面体中异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，得到平面，将四面体补成直三棱柱，再根据异面直线所成角的知识，求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】根据已知条件可知，平面，
所以四面体中AD⊥平面BCD，
将四面体补成直三棱柱（如图），
因为，所以∠MAB为异面直线与所成角（或其补角）．
在中，，，，
所以.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，若，则______.
【答案】13
【解析】
【分析】先求出的坐标，再由可得列方程可求得结果.
【详解】∵，，，
又∵，
∴，解得.
故答案为：13
14. 在区间上随机抽取1个数，则事件“”发生的概率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】先求解得，再根据几何概型概率计算公式即可求解.
【详解】由，得，即，
∴事件“”发生的概率为.
故答案为：
15. 如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上一动点（不与，B重合），则下列命题中：
①平面平面；
②一定是锐角；
③；
④三棱锥的体积为定值．
其中真命题的有__________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据正方体特征可知平面，利用面面垂直的判定定理即可求得①正确；当是的中点时是直角，即②错误；易知平面，利用线面垂直的性质即可得，所以③正确；根据等体积法和线面平行判定定理可得三棱锥的体积为定值，即可知④正确.
【详解】对于①，由正方体性质可得平面，又平面，所以平面平面，即①正确；
对于②，当是的中点时，
易得，
满足，此时是直角，所以②错误；
对于③，连接，如下图所示;
由正方体可知，且平面，平面，
所以，
又，平面，所以平面；
又平面，所以，即③正确；
对于④，三棱锥的体积，又因为的面积是定值，
平面，所以点到平面的距离是定值，
所以三棱锥的体积为定值,即④正确.
故答案为：①③④
16. 不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为____________．
【答案】2
【解析】
【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率.
【详解】设，
则，两式相减得，
即，
即 ，
所以，
因为是AB垂直平分线，有，所以，
即，化简得，故.
故答案为：2
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考试都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知数列的首项，且满足．
（1）证明：为等比数列；
（2）已知，为的前n项和，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）1048
【解析】
【分析】（1）由结合定义证明即可；
（2）由（1）得出，再讨论n为奇数和偶数，结合等比和等差求和公式得出．
【小问1详解】
由可得．
又，所以是以为公比，1为首项的等比数列．
【小问2详解】
由（1）可得，即．
当n为奇数时，；
当n为偶数时，．
所以
．
18. 如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）12
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，，则由已知条件结合线面平行的判定可证得平面，平面，则平面平面，再由面面平行的性质可证得结论；
（2）过作交于，可证得，则，得平面，再由面面垂直的判定可得平面平面，再利用面面垂直的性质可得平面，从而可求得结果.
【小问1详解】
证明：如图，取中点，连接，，

因为是线段的中点
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
因为在梯形中，为的中点，是的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面；
【小问2详解】
如图，在梯形中，过作交于，则四边形为平行四边形，
所以，
在中，得，，，
则，所以，
因为，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
∴平面平面，
连接，因为为等边三角形，为中点，
所以，
又平面面，平面，
所以平面，
因为在等边中，，为的中点，
所以，
所以四棱锥的体积为：
.
19. 2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心、顽强拼搏获得亚军.这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕.为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.
（1）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？
（2）在不喜爱篮球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.
附：，其中.
【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意进行数据分析，完善列联表，套公式求出，对照参数下结论；
（2）利用古典概型的概率公式求解.
【小问1详解】
由题意进行数据分析，得到列联表如下：
计算，
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关；
【小问2详解】
不喜爱篮球运动的观众中，有男观众20人，女观众40人，
按照分层抽样的方式抽取6人，有男观众2人，记为、，女观众4人，记为1、2、3、4，
从6人中抽取2人，有：，，，，，，，，，12，13，14，23，24，34，共15个，
记“所抽2人至少有一位男性”为事件，包含：，，，，，，，，，共9个.
所以
20. 已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，，D为垂足，点D的坐标为．
（1）求C的方程；
（2）若点E是直线上的动点，过点E作抛物线C的两条切线，，其中P，Q为切点，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）
（2）证明过程见详解，定点
【解析】
【分析】（1）设点A的坐标为，点B的坐标为，根据题意可得到直线的方程，联立抛物线的方程，整理可得到关于（含参）的一元二次方程，从而得到，，再根据，代入即可求解的值，进而得到C的方程；
（2）结合（1）中抛物线，得，设过点E作抛物线C的切线的切点为，则可得到过点E的切线方程，设点，，，从而得到，是方程的两实数根，则得到，，进而得到的中点M的坐标，，从而得到直线的方程，进而得到直线恒过的定点．
【小问1详解】
设点A的坐标为，点B的坐标为，
因为，所以，则直线的方程为，
联立方程组，消去y，整理得，
所以有，，
又，得，
整理得，解得．
所以C的方程为．
【小问2详解】
由，得，所以，
设过点E作抛物线C的切线的切点为，
则相应的切线方程为，即，
设点，由切线经过点E，得，即，
设，，则，是的两实数根，
可得，．
设M是的中点，则相应，
则，即，
又，
直线的方程为，即，
所以直线恒过定点．
【点睛】关键点点睛：小问（2）解答的关键是先根据导数设抛物线的切线方程，设点，，，从而得到，是方程的两实数根，再结合韦达定理得到，，进而得到直线的方程．
21. 已知函数，（，为常数）.
（1）当时，求函数在上的最小值；
（2）设，是函数的两个零点，证明：.
【答案】（1）1 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，然后求出端点值和极值进行比较即可求解；
（2）结合（1）可知函数的两个零点，不妨设，则，，且，满足可得，然后构造函数，利用函数的单调性得到，进而得到证明.
【小问1详解】
令，解得，
则当时，，所以在递增；
当时，，所以在递减，
所以在上有最大值，
且，，
又，
所以函数在的最小值为1；
【小问2详解】
不妨设，
由（1）知，，，且，满足，
即，
由题意知，
令，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
故，而，
所以.
【点睛】方法点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别，求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于，两点，，求值.
【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，消元即可得出曲线的普通方程；利用，即可求出直线的直角坐标方程;
（2）写出直线在点处的参数方程，代入曲线的普通方程，利用韦达定理即可得出，的值，再利用参数的几何意义即求出答案.
【小问1详解】
∵（为参数），
∴.
故曲线的普通方程为；
∵，即，
故直线的直角坐标方程为；
【小问2详解】
由（1）得曲线的普通方程为，
直线的参数方程为（为参数）.
将直线的参数方程代入曲线的普通方程并整理得，
设，对应的参数分别是，，则，，
故.
23. 已知，，函数的最小值为2.
（1）求的值；
（2）求证：.
【答案】（1）2 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由绝对值不等式的性质，得，即可得解；
（2）利用对数的运算结合基本不等式的性质，进行计算即可得解.
【小问1详解】
因为，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，
所以；
【小问2详解】
证明：要证，
即证，即证，
又，且，，
所以，男
女
合计
喜爱
30
不喜爱
40
合计
50
100
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
喜爱
30
10
40
不喜爱
20
40
60
合计
50
50
100