河南省开封市五校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省开封市五校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了本卷主要考查内容， 函数的图象大致是，1359B， 有下列式子等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
4.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，集合、常用逻辑用语、不等式、函数.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 2023《中国好声音》报名即将开始，选手们可通过拨打热线电话或登录官网两种方式之一来报名．现有甲､乙､丙三人均要报名参加，则不同的报名方法有（ ）
A. 4种B. 6种C. 8种D. 9种
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，每人选择的方式有种，根据分步计数原理，可得总共有种．
故选：C．
2. 若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式等号成立的条件可求得取最大值时的值.
【详解】因为正实数、满足，则，可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故选：A.
3. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合，再利用交集运算即可得解.
【详解】因为，
，
所以.
故选：D.
4. 若幂函数的图象不经过坐标原点，则实数的取值为（ ）
A. B. C. -1D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，解出或，，分别验证和时图像是否经过原点，即可得到答案.
【详解】由题意有，解得或，
①当时，，函数图象过原点，不合题意；
②当时，，函数图象不过原点，合题意故.
故选：B
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的奇偶性和区间内的取值范围，利用排除法求解.
【详解】由，解得，所以函数定义域，
，是偶函数，排除A，B；
由时，，排除D.
故选：C
6. 已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则（附：若，则，，（ ）
A. 0.1359B. 0.01587C. 0.0214D. 0.01341
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性可求得，从而可得，再根据三段区间法即可求解.
【详解】根据题意在上单调递减，可得，故，，，
所以
.
故选：C.
7. 已知函数设，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分类讨论，分别解不等式求出a取值范围.
【详解】当时，，
，当时，，
，当时，，则，
当时，，
（当且仅当时等号成立），当时，，（当且仅当时等号成立），当时，，
则.
综上，
故选：A．
8. 已知函数，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出为偶函数，再求导确定单调性，借助指数、对数运算比较的大小，再由单调性即可求解.
【详解】显然，定义域为R，由可知函数为偶函数，又当时，，有，
可知函数的减区间为，增区间为，又由，
，由，可得．
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 有下列式子：①；②；③；④.其中，可以是的一个充分条件的序号为（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】BCD
【解析】
【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】，，
，，.
②③④是的充分条件.
故选：BCD.
10. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用常见函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.
【详解】A选项中：设，其定义域为，，故为偶函数，
且幂函数在上是减函数，故A正确；
B选项中，设，其定义域为，，则为偶函数，
且，则其在上单调递减，故B正确；
C选项中，设，其定义域为，则，
故是偶函数，且函数在上单调递减,
函数在定义域上为增函数，
所以在 上单调递减,故C正确；
D选项中，设，是，
且其定义域为，关于原点对称，故其为奇函数，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知函数若互不相等的实数满足，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】首先根据题意画出函数的图象，得到，，即可得到答案.
【详解】函数的图象图所示：
设，因为，
所以，
当时，，时，，
所以，即.
故选：CD
12. 已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，，当时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是偶函数
C. 是周期为4的周期函数D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由的图象关于直线对称，得到关于轴对称，赋值后得到，进而得到，判断出ABC均正确；
根据，，当时，都有，得到在上单调递增，结合函数的周期及奇偶性得到，，判断出.
【详解】的图象关于直线对称，故关于轴对称，是偶函数，B正确；
中，令得：，
因为，所以，解得：，A正确；
故，是周期为4的周期函数，C正确；
对，，当时，都有，
故在上单调递增，又是周期为4的周期函数，且是偶函数，
故，，
因为，
所以，D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知定义在上的函数的周期为2，当时，，则________.
【答案】1
【解析】
【分析】由周期性可知，代入函数解析式求值即可.
【详解】由题设，是周期为2的偶函数，
所以
.
故答案为：1
14. 已知函数，且，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】令，有，为奇函数，则有，可求的值.
【详解】，
令，函数定义域为R，
，为奇函数，，
则，.
故答案为：
15. 已知实数，则的最小值为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】由换元法与基本不等式求解，
【详解】令，
（当且仅当，即时，取等号）．
故答案为：
16. 已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知关系式可构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式转化为，利用单调性可解不等式求得结果.
【详解】令，则，所以在上单调递增，
由，得，即，
又在上单调递增，所以，解得.
所以不等式的解集是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：此类问题要结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而解不等式即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 设（，且）.
（1）若，求实数的值及函数的定义域；
（2）求函数的值域.
【答案】（1），定义域为；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据，解出值，再根据对数真数大于0即可求出其定义域；
（2）对原函数化简得，再结合复合函数的单调性和值域对进行分类讨论即可.
【小问1详解】
因为，且，
所以，解得，
所以的定义域需满足，
解得，即函数的定义域为.
【小问2详解】
因为
则，
由，当或时，，
根据二次函数的性质可得，
①当时，在上单调递增，函数的值域为，
②当时，在上单调递减，函数的值域为.
18. 生态环境部､工业和信息化部､商务部､海关总署､市场监管总局等五部门联合发布《关于实施汽车国六排放标准有关事宜的公告》，明确提出自2023年7月1日起，全国范围全面实施国六排放标准阶段，禁止生产､进口､销售不符合国六排放标准阶段的汽车．为调查市民对此公告的了解情况，对某市市民进行抽样调查，得到的数据如下表：
（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为对此公告的了解情况与性别有关？并说明原因；
（2）以样本的频率为概率．在全市随机抽取5名市民进行采访，求这5名中恰有3名为“了解”的概率．
附：
参考公式：，其中．
【答案】（1）认为对此公告的了解情况与性别有关，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，结合附表，即可得到结论；
（2）由样本数据可知，“了解”的概率为，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解.
【小问1详解】
解：假设为：对此公告的了解情况与性别相互独立，即对此公告的了解情况与性别无关，
由题意，可得，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为对此公告的了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于.
【小问2详解】
解：由样本数据可知，“了解”的概率为，
设这5名市民中恰有3名为“了解”为事件，则．
19. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若恰有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间，单调递增区间为；
（2）
【解析】
【分析】（1）令，，利用复合函数单调性即可得到答案；
（2）利用判别式和韦达定理即可得到，解出即可.
【小问1详解】
令，，则，
当时单调递减，当时，单调递增，
是单调递增函数，，，
的单调递减区间为，单调递增区间为；
【小问2详解】
令，，若恰有两个不同的零点，
即在上恰有两个不同的零点，
令
所以，
解得或，即实数的取值范围是.
20. 为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动.这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名.
（1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；
（2）设表示选出的3人中外科医生的人数，求的均值与方差.
【答案】（1）
（2），.
【解析】
【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再分别求出“选出的外科医生人数多于内科医生人数”包含的各事件的概率，利用互斥事件的加法公式即可求得结果；
（2）得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式和方差公式进行求解即可．
【小问1详解】
推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数，
这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名，
设事件表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”，
表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”，表示“恰好选出2名外科医生”，
，互斥，且，
，，
选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为；
【小问2详解】
由于从6名医生中任选3名的结果为，
从6名医生中任选3名，其中恰有名外科医生的结果为，，那么6名中任选3人，
恰有名外科医生的概率为，
所以，，，
.
21. 已知函数，且曲线在点处的切线与x轴平行．
（1）求实数a的值和的单调区间；
（2）若，且，证明：．
【答案】（1）；的单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对求导，由可求出实数a的值，结合导数与单调性关系即可求解的单调区间；
（2）构造函数，利用导数判断的单调性，得到在上恒成立，即可证明，再结合的单调性，即可证明.
【小问1详解】
，，
由题可知，即，
，
当或时，，当时，，
的单调递增区间为和，单调递减区间为；
【小问2详解】
证明：由（1）可知，
设，则，
，，在上单调递增，
，上恒成立，即对一切恒成立，
，
，
在上单调递增，且，，，即．
22. 已知函数．
（1）求的解析式；
（2）若对任意恒成立，求实数t的取值范围；
（3）已知函数，其中，记在区间上的最大值为N，最小值为n，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用凑配法，求函数的解析式；
（2）化简不等式，并转化为，通过换元转化为求函数的最大值，即可求的取值范围；
（3）首先化简函数，利用导数求函数的最大值和最小值，设，分情况讨论求函数的取值范围.
【小问1详解】
，
即；
【小问2详解】
由
，即
令，则，
设，则，
故在区间上单调递增，
∴，
故t的取值范围为；
【小问3详解】
，
，由可得，，
由可得，则函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
又∵，当时，，

令，
当时，，
∵，
当时，，
综上所述，的取值范围．
了解
不了解
合计
女性
140
60
200
男性
180
20
200
合计
320
80
400
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828