河南省洛阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省洛阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了考试结束，将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，共150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2．考试结束，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内，点对应的复数的模等于（ ）
A. 5B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数模的计算公式求出即可.
【详解】因为，所以对应复数为，
其模为.
故选：B.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合B，再利用集合的交集运算求解.
【详解】解：由，得，则，
所以，又集合，
所以
故选：D
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二倍角正弦公式计算求解即可.
【详解】由二倍角正弦公式可得，
故选：A
4. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案.
【详解】对于选项A，若，，，，由面面平行判定定理知，得不出，故选项A错误；
对于选项B，若，则直线与平面，可平行、相交或在平面内，故选项B错误；
对于选项C，因为，所以直线的方向向量互相垂直，又，则，故选项C正确；
对于选项D，若，，，则或异面，故选项D错误.
故选：C.
5. 从A班随机抽一名学生是女生的概率是，从B班随机抽一名学生是女生的概率是，现从两个班各随机抽一名学生，那么两名学生不全是女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分从A班选一名女生从B班选一名男生，从A班选一名男生从B班选一名女生和从A班选一名男生从B班选一名男生求解.
【详解】解：从A班选一名女生从B班选一名男生的概率为：；
从A班选一名男生从B班选一名女生的概率为：；
从A班选一名男生从B班选一名男生的概率为：，
所以两名学生不全是女生的概率是，
故选：A
6. 已知是偶函数，则a=（ ）
A. 2B. 1C. －1D. －2
【答案】A
【解析】
【分析】由偶函数的定义可得.
【详解】根据偶函数的定义：
即，
得，
即，
可得，即，
故选：A
7. 如图，二面角为，点，在棱l上的射影分别是，，若，则AB长度为（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的数量积的运算律可得.
【详解】由题意：，，，的夹角为，
所以，,，
，
所以
故选：D
8. 已知单位圆O是△ABC的外接圆，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而找到最大值.
【详解】如图所示：

因为单位圆O是△ABC的外接圆，，所以，
且，
，
故当共线反向时，取到最大值1，
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 某厂7月生产A型、B型产品共900件，其中A型400件．按型号进行分层，用分层随机抽样的方法，从7月产品中抽取一个容量为45的样本，如果样本按比例分配，下列说法中正确的有（ ）
A. 应抽取的A型产品件数为20
B. 应抽取的B型产品件数为25
C. 应抽取的A型产品件数为25
D. 应抽取的B型产品件数为20
【答案】AB
【解析】
【分析】利用分层抽样的方法求解.
【详解】解：应抽取的A型产品件数为，
应抽取的B型产品件数为，
故选：AB
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的图象的一条对称轴为直线
B. 在上单调递增
C. 的图象可由函数图象向右平移个单位得到
D. 函数是奇函数
【答案】AC
【解析】
【分析】验证是否等于可判断A；根据正弦函数的单调性判断B；根据三角函数的图象变换及诱导公式判断C；根据诱导公式及函数的奇偶性判断D.
【详解】对于A，,
所以的图象的一条对称轴为直线，故A正确；
对于B，时，，
因为，所以在上不单调，故B错误；
对于C，函数图象向右平移个单位得到,
所以的图象可由函数图象向右平移个单位得到，故C正确；
对于D，，为偶函数，故D错误.
故选:AC.
11. 在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. ∥平面
B. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
C.
D. 异面直线MN与所成角的正弦值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，连接，则由三角形中位线定理结合正方体的性质可得∥，然后利用线面平行的判定可得结论；对于B，连接，可得四边形为等腰梯形，对于C，由∥，则与所成的角为，连接后分析判断，对于D，异面直线MN与所成角为，然后在中求解即可.
【详解】对于A，连接，因为M，N分别是，的中点，所以∥，
因为在正方体中，∥，所以∥，
因为平面，平面，所以∥平面，所以A正确，
对于B，连接，由选项A，知∥，所以平面截正方体所得截面为平面，
因为M，N分别是，的中点，所以，
因为，所以，
因为，所以≌，所以，
因为∥，，所以四边形为等腰梯形，所以B正确，
对于C，连接，因为∥，所以与所成的角为，
因在正方体中，，所以为正三角形，
所以，所以与不垂直，所以C错误，
对于D，因为∥，所以异面直线MN与所成角为，
因为平面，平面，所以
在中，，则，
所以，所以D正确，
故选：ABD
12. 设函数的定义域为R，且满足，，当时，．则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 为偶函数
C. 当时，的取值范围为
D. 函数与图象仅有个不同的交点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，确定函数的对称性、周期性，判断A，B，C；作出函数、的部分图象判断D作答.
【详解】依题意，当时，，当时，，
函数的定义域为，由，可知的图象关于对称，
由，则，的图象关于对称，
又，因此有，即，
于是有，从而得函数的周期，
又，令可得，所以，
对于A，，故A不正确；
对于B，
，
所以函数为偶函数，B正确；
对于C，当时，，有，则，
当时，，，，所以，
所以当时，的取值范围为，C正确；
对于D，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：

方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，
观察图象知，函数与的图象有个交点，因此方程仅有个不同实数解，D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数的图象，观察与轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ______．
【答案】5
【解析】
【分析】利用分数指幂的运算性质求解即可
【详解】
，
故答案为：5
14. 从1，2，3，4，5，6中任取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率为______．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】将所有可能结果和符合题意结果一一列出，根据古典概率公式即可求出结果.
【详解】设取的两个数为，
则所有可能结果为：，
，共15种情况，
这两个数的积为奇数有：，共3种情况，
则这两个数的积为奇数的概率为，
故答案为：.
15. 已知实数M，N满足，则的最小值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】由已知可得，再解一元二次不等式可得答案.
【详解】因为实数a，b满足，
所以，且，
即，
可得，当且仅当取得最小值.
故答案为：.
16. 如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三棱锥外接球的表面积为可得：外接球半径，设外接圆半径为，根据外接球和三棱锥的位置关系可得：，由，代入可得，由正弦定理即得：，再利用余弦定理结合基本不等式即可得解.
【详解】如图所示：
设三棱锥的外接球球心为，半径为，
外接圆半径为，圆心为M，连接，AO，AM，
则，解得，
在，，
故：，故，
又，
，
，
，当且仅当时取等号，
三棱锥的体积.
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，同时考查了利用正、余弦定理解三角形，还考查了利用基本不等式求最值，考查了空间想象及计算能力，属于难题.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤．
17. 已知复数，且为纯虚数．
（1）求b；
（2）设复数满足，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）将代入化简，再由其为纯虚数可求出；
（2）由求出，再由复数对应的点在第二象限，列不等式组可求出实数a的取值范围．
【小问1详解】
，
∵是纯虚数，∴
∴．
【小问2详解】
复数，
∵复数所对应的点在第二象限，
∴解得：．
∴实数a的取值范围为．
18. 已知向量，，满足：．
（1）若，求向量在向量方向上的投影向量；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据投影向量的计算公式求解即可；
（2）根据及二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
向量在向量方向上的投影向量为.
小问2详解】
,
当时，，即.
19. 在中，角、、的对边分别为、、．已知．
（1）求；
（2）若角的平分线与交于点，且，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理化简可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）由结合三角形的面积公式可得出关于的等式，解出的值，再结合三角形的面积公式可求得的面积.
【小问1详解】
解：因为，
所以，，
整理可得，即，
因为，则，由余弦定理可得，
因为，故.
【小问2详解】
解：由，即，
即，解得，
所以，的面积为.
20. 某单位组织一场党史知识竞赛活动，随机抽取100名员工的成绩作为样本进行统计，得到如图所示频率分布表：
（1）求样本成绩的第80百分位数；
（2）试利用表格中数据估算这次党史知识竞赛的平均成绩；
（3）已知样本中成绩落在区间内的员工男女比例为，现从该样本中分数在的员工中随机抽出2人，求至少有1人是女员工的概率．
【答案】（1）82.5
（2）71分 （3）
【解析】
【分析】（1）先计算样本中成绩的第80百分位数在哪一组，进而求解即可；
（2）根据平均数的公式估计即可求解；
（3）先计算这次党史竞赛成绩落在区间内的员工人数，进而随机抽出2人，列举样本空间，进而利用古典概型的概率公式求解即可.
【小问1详解】
样本中成绩在的频率为，
样本中成绩在的频率为，
所以样本中成绩的第80百分位数在，
所以样本中成绩的第80百分位数为：.
【小问2详解】
样本平均值为：（分），
估计这次党史知识竞赛的平均成绩为71分．
【小问3详解】
这次党史竞赛成绩落在区间内的员工有名，男员工3人，女员工2人，
记“至少有一个女员工被选中”为事件A，
记这5人为1，2，3，4，5号，其中女员工为1，2号，
则样本空间：
，
其中，
所以至少有1人是女员工的概率为.
21. 如图，在三棱柱中，，，．

（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）取BC中点为N，利用线面垂直的判断定理可得平面，性质定理可得，再由可得答案；
（2）利用可得，BC⊥平面得，由线面垂直的判断定理可得平面，得为与平面所成的角，在直角中计算可得答案．
【小问1详解】
取BC中点为N，连接，
∵，∴，
又∵，∴，
∵，平面，∴平面，
∵平面，∴，
又∵，∴；
【小问2详解】
∵，∴，
∴，∴，
由（1）BC⊥平面，平面，所以，
∵，平面，
∴平面，∴为在平面内的射影，
∴为与平面所成的角，
在直角中，，∴，
即与平面所成角的正弦值为．

22. 已知函数有两个零点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设，是g（x）的两个零点，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由可得，然后令，则，再分或，和讨论即可；
（2）函数g（x）有两个零点，，令，则转化为，为方程的两根，然后根据根与系数的关系结合三角函数的性质可得，再利用余弦函数的单调性可证得结论.
【小问1详解】
解：．
由可得，
令，由可得，
故．
当或，即或时，无解，
所以g（x）不存在零点；
当，即时，有一解，此时x仅有一解，
所以g（x）只存在一个零点；
当，即时，有两解
，此时在各有一解，故g（x）有两个零点．
综上，实数a的取值范围为．
【小问2详解】
证明：函数g（x）有两个零点，，
令，则，为方程的两根，
则，，所以，
两边平方得，因为，
所以，
所以，
由可得，所以，
则，因为在上单调递减，
所以，即
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查余弦函数性质的应用，第（2）问解题的关键是通过换元将问题转化为二次方程有两个根，再利用根与系数的关系结余弦函数的性质可证得结论，考查数学思想和计算能力，属于难题.
分组
频率
0.05
0.15
0.25
0.3
0.2
0.05