北京市顺义区2022-2023学年高一上学期期末质量监测数学试题

这是一份北京市顺义区2022-2023学年高一上学期期末质量监测数学试题，共14页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交， 已知，则， 已知，则是的， 已知，且存在使得，则的值是等内容，欢迎下载使用。

考生须知
1.本试卷共4页，共两部分，21道小题，满分150分.考试时间120分钟.
2.在答题卡上准确填写学校､姓名､班级和教育ID号.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5.考试结束后，请将答题卡上交.
第一部分（选择题共分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的概念，直接求解，即可得出结果.
【详解】因为，，所以.
故选：C.
2. 已知函数，那么的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据真数大于0求解可得.
【详解】由解得,
所以函数的定义域为.
故选：D
3. 命题：“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定形式直接判断可得.
【详解】全称量词命题的否定为特称量词命题，
所以的否定为.
故选：A
4. 下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由解析式直接得到函数的单调性，选出正确答案.
【详解】在上单调递增，A错误；
在上单调递增，B错误；
在上单调递增，C错误；
在上单调递增，在上单调递减，D正确.
故选：D
5. 已知函数.在下列区间中，包含零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依次求出的符号，由零点存在定理判断即可.
【详解】，由零点存在定理可知，包含零点的是.
故选：A
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数运算直接求出，由为增函数可得，即可判断.
【详解】，由为增函数可知，即.
故选：B
7. 已知，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式的可加性可以直接推出；反之，可以赋值验证不成立.
【详解】已知，若，由不等式的可加性，则成立；
已知，若成立，则不一定成立，例如，令，，，，满足，，但.
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
8. 若函数的图象关于直线对称，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令,，然后对赋值可得.
【详解】由，，得
取可得.
故选：C
9. 已知，且存在使得，则的值是（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式得到，代入函数解析式即可得到，从而求出的值.
【详解】解：因为存在使得，
即存在使得，
即，
即，
因为，所以，
所以，所以.
故选：B
10. 中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成.设制作扇子的扇形面积为，圆面中剩下部分的面积为，当时，扇面看上去形状较为美观.那么，此时制作扇子的扇形圆心角约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设扇子的扇形的圆心角为，圆面中剩下部分的圆心角为，半径为，根据扇形的面积公式得到，再由，求出，即可得解.
【详解】解：设扇子的扇形的圆心角为，圆面中剩下部分的圆心角为，半径为
则，即，
又，
，
故，
所以，；
故选：C．
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.
11 计算：（1）__________；（2）__________.
【答案】 ①. ##0.25 ②. ##-0.5
【解析】
【分析】（1）由对数运算性质即可求.
（2）由诱导公式即可求.
【详解】（1）；
（2）.
故答案为：；.
12. 不等式的解集是__________.
【答案】或
【解析】
【分析】将不等式变形为，即可求出不等式的解集.
【详解】解：不等式，即，即，
解得或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或
13. 函数的最小正周期是_________.
【答案】
【解析】
【分析】直接由周期公式得解．
【详解】函数的最小正周期是：
故填：
【点睛】本题主要考查了的周期公式，属于基础题．
14. A､B､C三个物体同时从同一点出发向同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，则下列结论中，所有正确结论的序号是__________.
①当时，A总走在最前面；
②当时，C总走在最前面；
③当时，一定走在前面.
【答案】①②
【解析】
【分析】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论.
【详解】在同一坐标系内画出的函数图象，
当时，指数函数的增长速度>幂函数的增长速度>对数函数的增长速度，
当时，，故当时，A总走在最前面，①正确；
当时，由图象可知：C总走在最前面，②正确；
当时，，
当时，，
由于幂函数的增长速度>对数函数的增长速度，
故时，B走在C前面，
当时，走在后面，③错误.
故答案为：①②
15. 下表是某班10个学生的一次测试成绩，对单科成绩分别评等级：
在这10名学生中，已知数学成绩为“A等”的有8人，语文成绩为“A等”的有7人，数学与语文两科成绩全是“A等”的有6人，则下列说法中，所有正确说法的序号是__________.
①当时，；
②当时，；
③恰有1名学生两科均不是“A等”；
④学号1~6的学生两科成绩全“A等”.
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据各科成绩排名及“A等”成绩的人数，分别讨论、、时数学成绩为“A等”的情况，、、时语文成绩为“A等”的情况，
最后再结合符合的情况分类讨论数学与语文成绩全是“A等”的情况，即可得出所有符合的情形，最后依次对各序号判断即可.
【详解】当，数学成绩为“A等”的8人从高到低为号；
当，数学成绩“A等”不为8人，不合题意；
当，数学成绩为“A等”的8人为号.
当，语文成绩为“A等”的7人为号；
当，语文成绩为“A等”不为7人，不合题意；
当，语文成绩为“A等”的7人为号.
故当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共7人，不合题意；
当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意；
当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意；
当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意.
综上可知：
对①，当时，，①对；
对②，当时，，②错；
对③，当，、，、，时，两科均不是“A等”的学生依次为8、9、10号，均恰有1名，③对；
对④，学号1~6的学生两科成绩全“A等”，④对.
故答案为：①③④
三､解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知函数定义域为集合A，集合.
（1）求集合A；
（2）求
【答案】（1）；
（2），.
【解析】
【分析】（1）定义域满足即可；
（2）按定义直接进行并集、补集运算即可
【小问1详解】
由已知得，，∴；
【小问2详解】
，∴.
17. 已知函数其中，.
（1）求与的值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）,.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分段函数的解析式可求出结果；
（2）利用函数的单调性分段求出最大值，再比较可得结果.
【小问1详解】
,
.
【小问2详解】
当时，为增函数，，
当时，为增函数，，
因为，所以的最大值为.
18. 已知函数，满足.
（1）求的值；
（2）求函数单调递增区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据代入计算可得；
（2）由（1）可得的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
解：因为且，
所以，即，又，所以.
【小问2详解】
解：由（1）可得，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
19. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第一象限的点.
（1）求的值；
（2）将角的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转角后与单位圆交于点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的值.
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）若选①，则；若选②，则；若选③，则.
【解析】
【分析】（1）根据点为单位圆上位于第一象限的点，直接求解即可；
（2）根据三角函数的定义，先得到，，，；再结合所选条件，利用诱导公式，即可求解.
【小问1详解】
（1）因为角的终边与单位圆交于第一象限的点，
所以，解得；
【小问2详解】
（2）由（1）根据三角函数的定义可得，，，，；
若选条件①，
则；
若选条件②，
则；
若选条件③，
则.
20. 悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；如两根电线杆之间的电线；如横跨深涧的观光索道的电缆等等.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.这类悬链线对应的函数表达式为是非零常数，无理数.
（1）当时，判断的奇偶性并说明理由；
（2）如果为上的单调函数，请写出一组符合条件的值；
（3）如果的最小值为2，求的最小值.
【答案】（1）奇函数，理由见解析；
（2）（均可）
（3）2
【解析】
【分析】（1）由奇偶函数的定义判断即可；
（2）为上的单调函数，则或单调性相同即可，结合指数函数单调性判断即可；
（3）当时，单调无最小值，再结合均值不等式分别讨论、时是否有最小值，即可得a、b的关系式，从而进一步求的最小值.
【小问1详解】
为奇函数. 理由如下：
当时，，，∵，∴为奇函数.
【小问2详解】
∵为上的单调函数，则或单调性相同即可，故.
一组符合条件的值为（均可）.
【小问3详解】
的最小值为2，由（2）得当时，单调无最小值，故.
当时，，当且仅当时取等号，且当时，的最小值为2，此时，当且仅当时取等号；
当时，，无最小值，不合题意.
综上，的最小值为2.
21. 已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.
（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由；
（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；
命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集；
（3）若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集.
【答案】（1）集合是封闭集，不是封闭集，理由见解析；
（2）命题为假命题，命题q为真命题，理由见解析；
（3）见解析.
【解析】
【分析】(1)根据封闭集的定义判断即可；
(2) 对命题举反例说明即可；
对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确；
(3)根据题意，令，只需证明不是封闭集即可，取中的即可证明.
【小问1详解】
解：对于集合 因为，
所以是封闭集；
对于集合，因为，，
所以集合不是封闭集；
【小问2详解】
解：对命题：令，
则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误；
对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，
所以，
同理可得，
所以，
所以是封闭集，故正确；
【小问3详解】
证明：因为非空集合是封闭集合，且
所以，
假设是封闭集，
由(2)的命题可知：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集，
又因为，
所以不是封闭集.
得证.学生学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
140
136
136
135
134
133
128
127
124
语文成绩
102
110
111
126
102
134
97
95
98