吉林省吉林市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份吉林省吉林市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 用集合语言表示下图中的阴影部分，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据阴影部分的元素特征直接判断即可.
【详解】阴影部分的元素满足：且，阴影部分表示的集合为.
故选：C.
2. 下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，且
【答案】C
【解析】
【分析】分别判断各选项中两个函数的定义域和解析式是否相同即可.
【详解】对于A，，，与不是同一函数，A错误；
对于B，由得：，定义域为；
由得：或，的定义域为；
与不是同一函数，B错误；
对于C，的定义域为，的定义域为，
又与解析式相同，与是同一函数，C正确；
对于D，的定义域为，的定义域为，
与不是同一函数，D错误.
故选：C.
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于ABD选项，举例判断即可；对于C，结合幂函数在上单调递增，即可判断.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，若，，则，但，故B错误；
对于C，因为函数在上单调递增，
所以时，有，故C正确；
对于D，若，则没有意义，故D错误.
故选：C.
4. 用和分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积（一般来讲，窗户面积比地板面积小）．显然，比值越大，住宅的采光条件越好．当窗户面积和地板面积同时增加时，住宅的采光条件会得到改善（单位：）．现将这一事实表示为不等式，以下正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先列出窗户面积和地板面积同时增加前后的比值，通过作差法即可求解.
【详解】当，，时
最开始窗户面积和地板面积的比值为，
窗户面积和地板面积同时增加后的比值为，
则，
所以当时，，此时住宅的采光条件会得到改善.
故选：A.
5.
计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数、对数的运算性质计算可得结果.
详解】原式.
故选：B.
6. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】解：因为 ，，，
所以，
故选：A
7. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数图象的平移变换，可得平移后的函数解析式，即得答案.
详解】由题意可得，
故选：B
8. 函数图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性可排除AD，根据可排除B；结合指数函数性质可知C正确.
【详解】对于A，，为偶函数，则图象关于轴对称，与已知图象不符，A错误；
对于B，当时，，与已知图象不符，B错误；
对于D，，不是奇函数，则图象不关于原点对称，与已知图象不符，D错误；
对于C，，，
为奇函数，图象关于原点对称；
为上的减函数，为上的增函数；
又，图象与已知图象符合，C正确.
故选：C.
9. 下列四个函数中，以为最小正周期的偶函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦、余弦、正切函数的图象结合性质判断即可.
【详解】对于A：函数的图象如下图所示：
由图可知，的周期为，且图象关于轴对称，则为偶函数，故A正确；
对于BC：函数，的最小正周期都为，故BC错误；
对于D：函数的图象如下图所示：
由图可知，函数不具有周期性，故D错误；
故选：A
10. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足，则下列说法错误的是（ ）
A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递增
C. 无最小值D. 无最小值
【答案】D
【解析】
【分析】结合奇偶性定义可构造方程组求得，由指数函数单调性、复合函数单调性的判断方法可知AB正误；由奇偶性可确定单调性，进而确定CD正误.
【详解】由题意得：，
由得：，；
对于A，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，A正确；
对于B，设，则当时，；
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，在上单调递增，B正确；
对于C，由A知：在上单调递增，又为定义在上的奇函数，
在上单调递增，又为连续函数，在上单调递增，
无最小值，C错误；
对于D，由B知：在上单调递增，又为定义在上的偶函数，
在上单调递减，又为连续函数，，D错误.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
11. 如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用．如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水下则为负数），与时间（单位：）之间的关系是，则下列说法正确的是（ ）
A. 筒车的半径为，旋转一周用时
B. 筒车的轴心距离水面的高度为
C. 时，盛水筒处于向上运动状态
D. 盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据振幅和最小正周期可确定A正确；利用可知B正确；根据正弦型函数单调性的判断方法可知C错误；令，由正弦型函数的值可构造方程求得，进而得到，知D正确.
【详解】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为；
的最小正周期，旋转一周用时，A正确；
对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B正确；
对于C，当时，，此时单调递减，
盛水筒处于处于向下运动的状态，C错误；
对于D，令，，
，解得：，
又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，D正确.
故选：ABD.
12. 如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧PQ上的动点，矩形内接于扇形，记．则下列说法正确的是（ ）
A. 弧PQ的长为
B. 扇形OPQ的面积为
C. 当时，矩形的面积为
D. 矩形的面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据弧长公式可判断A；根据扇形的面积公式可判断B；解直角三角形求得的长，即可求出矩形的面积的表达式，结合三角函数的恒等变换化简求值，可判断C，D.
【详解】由题意知，扇形OPQ中，半径，圆心角，
故弧PQ的长为，A正确；
扇形OPQ的面积为，B错误；
在中，，
在中，,
则的面积
，
当时，又，故，
则，
则，
则，
即矩形的面积为，C正确；
由C的分析可知矩形的面积，
当，即时，矩形的面积取最大值，D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键C，D选项的判断，解答时要结合解直角三角形，表示出边的长，从而表示出矩形的面积，再结合三角函数的恒等变换，即可判断这两个选项的正误.
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
13. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】由对数真数大于零可解不等式求得结果.
【详解】由得：，解得：，
的定义域为.
故答案为：.
14. 设，，，若，则______．
【答案】0或
【解析】
【分析】由集合相等，建立方程组求解即可.
【详解】当时，，满足，则；
当时，，满足，则；
故答案为：0或
15. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，，，其中．可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出、和的值也就越精确，则的近似值为______（精确到）；运用上述思想，可得到函数在区间内有______个零点．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用诱导公式可得，将代入计算可得的近似值；分析函数在上的单调性，计算出、的近似值，结合零点存在定理可得出函数在区间内的零点个数.
【详解】
，
因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，
因为，
，
由零点存在定理可知，函数在有且只有一个零点，
故函数在上只有一个零点.
故答案为：；.
16. 已知函数，方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为与有四个不同交点，采用数形结合的方式可确定四个根所处的范围，结合对勾函数单调性和正弦型函数的对称性可求得所求范围.
【详解】不妨设，
方程有四个不相等的实数根等价于与有四个不同交点，
作出图象如下图所示，
由图象可知：，，
，，即，；
在上单调递减，，即，
又关于对称，，
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查方程根的取值范围的求解问题，解题关键是能够将问题转化为与的交点的问题，采用数形结合的方式确定交点横坐标的取值范围，进而结合函数单调性和对称性来求解范围.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由对数函数的单调性、一元二次不等式的解法解不等式，再求并集；
（2）由充分必要条件的定义得出是的真子集，再由包含关系得出实数a的取值范围．
【小问1详解】
当时，，
∴
【小问2详解】
，
∵是的充分不必要条件，∴是的真子集，
∴，即，∴实数a的取值范围是．
18. 已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得，利用基本不等式结合可得出的取值范围；
（2）由已知可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的取值范围.
【小问1详解】
解：∵，∴，
又∵，，∴即，∴即．
当且仅当时等号成立．
由题意可知，的取值范围是．
【小问2详解】
解：∵，∴，即．
∵，，∴，
当且仅当，即，时等号成立．
∴的最小值是．
19. 已知为钝角，为锐角，，．
（1）求，；
（2）求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数平方和商数关系可求得，由两角和差正切公式可求得；
（2）由同角三角函数平方关系可求得，根据，利用两角和差正弦公式可求得结果.
【小问1详解】
，，，，
.
【小问2详解】
，，，又，，
.
20. 已知二次函数满足，且关于不等式的解集为．
（1）求函数的解析式；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，先设函数的解析式，再结合韦达定理和已知条件求解即可；
（2）由可化简为，分、、三种情况讨论即可求解.
【小问1详解】
（法一）设，
由已知可得，解得，
所以所求解析式为．
（法二）设，
由，所以．
所以所求解析式为．
小问2详解】
由（1）可知，，
则不等式可化为：．
当时，不等式为，此时不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或．
21. 将某种药物首次注射进患者的血液中，血液中药物含量随时间变化的图象如图所示．在注射期间，与成正比；停止注射后，血液中的药物含量以每小时的比例衰减．
（1）根据图中提供信息，写出血液中的药物含量与时间的函数关系式；
（2）此种药物在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险，那么停止注射后，应在什么时间范围内再向病人的血液补充这种药物．（参考数据：，）
【答案】（1）
（2）小时至小时
【解析】
【分析】（1）分别讨论注射期间和停止注射后的情况，结合图象可确定关系式；
（2）根据题意可构造不等式，根据指数和对数运算法则可求得的范围，即为所求时间范围.
【小问1详解】
在注射期间，与成正比，
当时，设，则，解得：，；
停止注射后，血液中的药物含量以每小时的比例衰减，
由图可知，当时，，
综上所述：药物含量与时间的函数关系式为.
【小问2详解】
由于此种药物在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险，
，即，，
即，
又，，则，
解得：，
停止注射后，应在小时至小时范围内再向病人的血液补充这种药物．
22. 如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设．
（1）求的值；
（2）若函数，求的单调递增区间；
（3）在（2）的条件下，函数的最小值为，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由三角函数定义可得；方法一：将直接代入即可求得；方法二：利用两角和差公式和辅助角公式化简得到，代入即可；
（2）由（1）可得，根据正弦型函数单调区间的求法可求得结果；
（3）结合诱导公式和二倍角公式，采用换元法可将转化为关于的二次函数的形式，讨论对称轴位置即可利用最小值构造方程求得的值.
【小问1详解】
由题意知：，，
方法一：；
方法二：，
.
【小问2详解】
由（1）得：，
令，解得：，
的单调递增区间为.
【小问3详解】
由（2）得：，
令，则，
是开口方向向下，对称轴为的抛物线，
①当，即时，，解得：；
②当，即时，，解得：；
综上所述：或.
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数单调区间、与正弦函数有关的复合函数最值的求解问题；本题根据最值求解参数值的关键是能够结合二倍角公式，将问题转化为关于变量的二次函数的形式，进而利用含参数二次函数最值的求法来进行讨论.