08-新高考小题专练24-2024届高考数学二轮必练（含解析）

这是一份08-新高考小题专练24-2024届高考数学二轮必练（含解析），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(考点:空间向量坐标的运算,★)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是( ).
A.1B.15C.35D.75
2.(考点:圆柱的体积,★★)已知圆柱的高为1,侧面积为4π,则这个圆柱的体积为( ).
A.πB.2πC.3πD.4π
3.(考点:点、线、面的位置关系,★★)已知存在直线l,m与平面α,β,其中l⊂α,m⊂β,则下列命题中正确的是( ).
A.若l∥m,则必有α∥β
B.若l⊥m,则必有α⊥β
C.若l⊥β,则必有α⊥β
D.若α⊥β,则必有m⊥α
4.(考点:圆锥的侧面积,★★)若一个圆锥的轴截面为正三角形,其边长为a,则其表面积为( ).
A.54a2πB.a2πC.34a2πD.14a2π
5.(考点:圆台基本量的运算,★★)已知圆台的两个底面面积之比为4∶9,母线与底面的夹角是60°,轴截面的面积为1803,则圆台的母线长l=( ).
A.123B.12C.63D.62
6.(考点:球内接多面体的体积计算,★★)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为2的正三角形,SC为球O的直径,且SC=23,则此棱锥的体积为( ).
A.253B.2153
C.453D.4153
7.(考点:异面直线所成的角,★★)如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°, E为BB'的中点,异面直线CE与C'A所成角的余弦值是( ).
A.1010B.-1010C.55D.-55
8.(考点:三棱锥的外接球的求法,★★★)如图,平面四边形ACBD中,AB⊥BC,AB⊥DA,AB=AD=1,BC=2,现将△ABD沿AB翻折,使点D移动至点P,且PA⊥AC,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( ).
A.8πB.6πC.4πD.823π
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:圆柱的基本运算,★★)用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径可能是( ).
A.2πB.π2C.π4D.4π
10.(考点:旋转体的体积和表面积,★★)如图所示,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5.下列说法正确的是( ).
A.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15π
B.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36π
C.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25π
D.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16π
11.(考点:立体几何中的翻折问题,★★★)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,将△ABD沿对角线BD折起.设折起后点A的位置为A',并且平面A'BD⊥平面BCD,则下列结论中正确的是( ).
A.A'D⊥BC
B.三棱锥A'-BCD的体积为22
C.CD⊥平面A'BD
D.平面A'BC⊥平面A'DC
12.(考点:立体几何的综合运用,★★★)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别为线段B1D1,BC1上的动点,则下列结论正确的是( ).
A.DB1⊥平面ACD1
B.平面A1C1B∥平面ACD1
C.点F到平面ACD1的距离为33
D.直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为13
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:圆锥的有关计算,★★)已知一个圆锥的母线长是4,侧面积是4π,则该圆锥的高为 .
14.(考点:求球的表面积,★★)已知一平面截球O所得截面圆的半径为1,且球心到截面圆所在平面的距离为2,则球O的表面积为 .
15.(考点:三棱锥的外接球,★★)已知在三棱锥P-ABC中,PA=PC=2,BA=BC=1,∠ABC=90°,若PA与底面ABC所成的角为60°,则点P到底面ABC的距离是 ;三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 .
16.(考点:平面与平面所成的角,★★★)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点.将△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到几何体D-ABCE.
则平面ABCE与平面CDE所成角的余弦值为 .
答案解析：
1.(考点:空间向量坐标的运算,★)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是( ).
A.1B.15C.35D.75
【解析】由题意可得(ka+b)·(2a-b)=0,即(k-1,k,2)·(3,2,-2)=0,故3k-3+2k-4=0,所以k=75.
【答案】D
2.(考点:圆柱的体积,★★)已知圆柱的高为1,侧面积为4π,则这个圆柱的体积为( ).
A.πB.2πC.3πD.4π
【解析】设圆柱的底面半径为r,根据圆柱的侧面积公式得2πr×1=4π,所以r=2,则圆柱的体积V=πr2h=π×22×1=4π.
【答案】D
3.(考点:点、线、面的位置关系,★★)已知存在直线l,m与平面α,β,其中l⊂α,m⊂β,则下列命题中正确的是( ).
A.若l∥m,则必有α∥β
B.若l⊥m,则必有α⊥β
C.若l⊥β,则必有α⊥β
D.若α⊥β,则必有m⊥α
【解析】对于选项A,平面α和平面β还有可能相交,故选项A错误;
对于选项B,平面α和平面β还有可能相交或平行,故选项B错误;
对于选项C,因为l⊂α,l⊥β,所以α⊥β,故选项C正确;
对于选项D,直线m不一定和平面α垂直,故选项D错误.
【答案】C
4.(考点:圆锥的侧面积,★★)若一个圆锥的轴截面为正三角形,其边长为a,则其表面积为( ).
A.54a2πB.a2πC.34a2πD.14a2π
【解析】由题意可知圆锥的母线长l=a,底面半径r=a2,
∴圆锥的表面积S=πr(r+l)=π·a2·a2+a=34a2π.
【答案】C
5.(考点:圆台基本量的运算,★★)已知圆台的两个底面面积之比为4∶9,母线与底面的夹角是60°,轴截面的面积为1803,则圆台的母线长l=( ).
A.123B.12C.63D.62
【解析】设圆台的上底面半径为2r,则其下底面半径为3r,依题意可作圆台的轴截面如图所示,
其中DE⊥AB,CF⊥AB.
∵∠DAE=∠CBF=60°,∴DE=3AE=3r.
∴轴截面面积S=12(DC+AB)·DE=53r2=1803,解得r=6,
∴母线长l=AD=2AE=2r=12.
【答案】B
6.(考点:球内接多面体的体积计算,★★)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为2的正三角形,SC为球O的直径,且SC=23,则此棱锥的体积为( ).
A.253B.2153
C.453D.4153
【解析】△ABC的外接圆的半径r=233,球O的半径R=12SC=3,故点O到平面ABC的距离d=R2-r2=153.又SC为球O的直径,所以点S到平面ABC的距离为2d=2153.故此棱锥的体积为V=13S△ABC×2d=13×12×2×2×32×2153=253.
【答案】A
7.
(考点:异面直线所成的角,★★)如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,E为BB'的中点,异面直线CE与C'A所成角的余弦值是( ).
A.1010B.-1010C.55D.-55
【解析】依题意,以C为原点,CA,CB,CC'所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设AC=BC=AA'=2,则C(0,0,0),E(0,2,1),C'(0,0,2),A(2,0,0),故CE=(0,2,1),C'A=(2,0,-2).
设异面直线CE与C'A所成的角为θ,则cs θ=|CE·C'A||CE|·|C'A|=25×8=1010,所以异面直线CE与C'A所成角的余弦值为1010.
【答案】A
8.
(考点:三棱锥的外接球的求法,★★★)如图,平面四边形ACBD中,AB⊥BC,AB⊥DA,AB=AD=1,BC=2,现将△ABD沿AB翻折,使点D移动至点P,且PA⊥AC,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( ).
A.8πB.6πC.4πD.823π
【解析】
由DA⊥AB,翻折后得到PA⊥AB,又PA⊥AC,AB∩AC=A,
则PA⊥平面ABC,可知PA⊥BC.
又因为AB⊥BC,PA∩AB=A,则BC⊥平面PAB,于是BC⊥PB,
因此三棱锥P-ABC的外接球球心是PC的中点.
计算可得CP=12+12+(2)2=2,则外接球半径为1,所以外接球的表面积为4π.
【答案】C
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:圆柱的基本运算,★★)用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径可能是( ).
A.2πB.π2C.π4D.4π
【解析】设底面半径为r,若矩形的长恰好为圆柱的底面周长,则2πr=8,所以r=4π;同理,若矩形的宽恰好为圆柱的底面周长,则2πr=4,所以r=2π.故圆柱的底面半径为2π或4π.
【答案】AD
10.
(考点:旋转体的体积和表面积,★★)如图所示,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5.下列说法正确的是( ).
A.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15π
B.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36π
C.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25π
D.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16π
【解析】以BC所在直线为轴旋转时,所得旋转体为底面半径为3,母线长为5,高为4的圆锥,侧面积为π×3×5=15π,体积为13×π×32×4=12π,所以A正确,B错误;
以AC所在直线为轴旋转时,所得旋转体为底面半径为4,母线长为5,高为3的圆锥,侧面积为π×4×5=20π,体积为13×π×42×3=16π,所以C错误,D正确.
【答案】AD
11.
(考点:立体几何中的翻折问题,★★★)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,将△ABD沿对角线BD折起.设折起后点A的位置为A',并且平面A'BD⊥平面BCD,则下列结论中正确的是( ).
A.A'D⊥BC
B.三棱锥A'-BCD的体积为22
C.CD⊥平面A'BD
D.平面A'BC⊥平面A'DC
【解析】
如图所示,取E为BD的中点,连接A'E,
因为AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,得到∠DBC=∠ADB=45°,
又∠BCD=45°,所以△BCD为等腰直角三角形.
因为平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,CD⊥BD,所以CD⊥平面A'BD,故C正确;
E为BD的中点,A'E⊥BD,则A'E⊥平面BCD,所以A'E⊥BC,如果A'D⊥BC,那么可得到BC⊥平面A'BD,故BC⊥BD,与已知矛盾,故A错误;
三棱锥A'-BCD的体积V=13×12×2×2×22=26,故B错误;
在直角三角形A'CD中,A'C2=CD2+A'D2,所以A'C=3,在三角形A'BC中,A'B=1,BC=2,A'C=3,满足BC2=A'B2+A'C2,所以BA'⊥CA'.又BA'⊥DA',CA'∩DA'=A',所以BA'⊥平面A'DC.又BA'⊂平面A'BC,所以平面A'BC⊥平面A'DC,故D正确.
【答案】CD
12.(考点:立体几何的综合运用,★★★)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别为线段B1D1,BC1上的动点,则下列结论正确的是( ).
A.DB1⊥平面ACD1
B.平面A1C1B∥平面ACD1
C.点F到平面ACD1的距离为33
D.直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为13
【解析】以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴.建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意知,A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),
设E(x,y,1),B1E=λB1D1,即(x-1,y,0)=(-λ,λ,0),∴E(1-λ,λ,1),
设F(1,y',z'),BF=μBC1,即(0,y',z')=(0,μ,μ),∴F(1,μ,μ).
对于A项,∵DB1=(1,-1,1),AC=(1,1,0),AD1=(0,1,1),
∴DB1·AC=0,DB1·AD1=0,∴DB1⊥AC,DB1⊥AD1.
又AC,AD1⊂平面ACD1,AC∩AD1=A,∴DB1⊥平面ACD1,故A正确;
对于B项,∵DB1⊥平面ACD1,∴DB1=(1,-1,1)为平面ACD1的一个法向量,
∵A1C1=(1,1,0),A1B=(1,0,-1),
∴DB1·A1C1=0,DB1·A1B=0,∴DB1⊥A1C1,DB1⊥A1B.
又A1C1,A1B⊂平面A1C1B,A1C1∩A1B=A1,
∴DB1⊥平面A1C1B,
∴平面A1C1B∥平面ACD1,故B正确;
对于C项,∵AF=(1,μ,μ),∴点F到平面ACD1的距离d=|AF·DB1||DB1|=13=33,故C正确;
对于D项,∵几何体为正方体,∴AC⊥平面BB1D1D,
∴AC=(1,1,0)是平面BB1D1D的一个法向量,
又AE=(1-λ,λ,1),
设直线AE与平面BB1D1D所成的角为θ,则sin θ=|AC·AE||AC|·|AE|=12·2λ2-2λ+2,故D错误.
【答案】ABC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:圆锥的有关计算,★★)已知一个圆锥的母线长是4,侧面积是4π,则该圆锥的高为 .
【解析】设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,
由题意得l=4,πrl=4π,解得r=1,所以h=42-12=15.
【答案】15
14.(考点:求球的表面积,★★)已知一平面截球O所得截面圆的半径为1,且球心到截面圆所在平面的距离为2,则球O的表面积为 .
【解析】
作出对应的截面图,如图所示.
∵截面圆的半径为1,∴BC=1.
∵球心O到截面圆所在平面的距离为2,∴OC=2.
设球的半径为R.
在Rt△OCB中,OB2=OC2+BC2=5.
即R2=5,
∴该球的表面积为4πR2=20π.
【答案】20π
15.(考点:三棱锥的外接球,★★)已知在三棱锥P-ABC中,PA=PC=2,BA=BC=1,∠ABC=90°,若PA与底面ABC所成的角为60°,则点P到底面ABC的距离是 ;三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 .
【解析】
将三棱锥P-ABC置于长方体中(如图所示),其中PP1⊥平面ABC,
由PA与底面ABC所成的角为60°,可得PP1=3,即点P到底面ABC的距离为3.
由△PP1A≌△PP1C,得P1A=P1C=1,
由图可知,PB是长方体外接球的直径,也就是三棱锥P-ABC外接球的直径,所以球的表面积为4π·522=5π.
【答案】3 5π
16.(考点:平面与平面所成的角,★★★)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点.将△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到几何体D-ABCE.
则平面ABCE与平面CDE所成角的余弦值为 .
【解析】
如图,以B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x轴,y轴,过点B与平面ABCE垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
则B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,2,0),E(1,1,0),D12,32,22.
设向量n=(x0,y0,1)为平面CDE的一个法向量,
则n⊥CE,n⊥DE,即n·CE=0,n·DE=0.
∵CE=(0,1,0),DE=12,-12,-22,∴x0=2,y0=0,即n=(2,0,1).
又平面ABCE的一个法向量为m=(0,0,1),
∴cs=m·n|m||n|=2×0+0×0+1×11×2+0+1=33.
∴平面ABCE与平面CDE所成角的余弦值为33.
【答案】33