09-新高考小题专练24-2024届高考数学二轮必练（含解析）

这是一份09-新高考小题专练24-2024届高考数学二轮必练（含解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(考点:直线的斜率与倾斜角的关系,★)下列命题中,正确的是( ).
A.若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大
B.若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α
C.若直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是α
D.当直线的倾斜角α∈0,π2∪π2,π时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
2.(考点:求直线的方程,★)已知直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l的方程是( ).
A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0
C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0
3.(考点:椭圆的标准方程,★)“-10)的离心率为53,则该双曲线的渐近线方程为( ).
A.y=±45xB.y=±54x
C.y=±43xD.y=±34x
5.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则该双曲线的方程为( ).
A.x221-y228=1B.x228-y221=1
C.x23-y24=1D.x24-y23=1
6.(考点:求双曲线的离心率,★★)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),以点P(b,0)为圆心,a为半径作圆P,圆P与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若∠MPN=90°,则双曲线C的离心率为( ).
A.2B.3C.52D.72
7.(考点:抛物线定义的应用,★★)已知F是抛物线x2=6y的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=9,则线段AB的中点到x轴的距离为( ).
A.3B.92C.4D.32
8.(考点:点差法的应用,★★★)已知椭圆x236+y29=1的一条弦被点A(4,2)平分,则此弦所在的直线方程是( ).
A.x-2y=0B.x+2y=4
C.2x+3y=14D.x+2y=8
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:直线方程的应用,★★)下列说法正确的是( ).
A.当x1≠x2,y1≠y2时,过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1
B.点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)
C.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0
10.(考点:圆的对称性的应用,★★)已知圆O的方程为x2+y2-4x-1=0,则圆O( ).
A.关于点(2,0)对称
B.关于直线y=0对称
C.关于直线x+3y-2=0对称
D.关于直线x-y+2=0对称
11.(考点:双曲线的简单几何性质的应用,★★)已知双曲线E:x24-y212=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上的一点,则下列结论正确的是( ).
A.|PF1|-|PF2|=4
B.双曲线E的离心率是3
C.|PF1|的最小值是6
D.点P到两渐近线的距离的乘积是3
12.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F且斜率为3的直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=8,则下列结论正确的是( ).
A.p=4B.DF=FA
C.|BD|=2|BF|D.|BF|=4
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:抛物线的应用,★)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为 .
14.(考点:直线与圆的位置关系,★★)已知a,b为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a)2+(y-b)2=4所得的弦长为22,则ab的最大值为 .
15.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线C:x24-y2b2=1(b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P在双曲线C上,且直线PA与直线PB的斜率之积为1,则该双曲线C的焦距为 .
16.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l:y=4x+b截抛物线C所得的弦长为17,设点A为抛物线C上的动点,点B(2,6),过点A作抛物线C的准线l1的垂线,垂足为D,则p的值为 ,|AB|+|AD|的最小值为 .
答案解析：
1.(考点:直线的斜率与倾斜角的关系,★)下列命题中,正确的是( ).
A.若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大
B.若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α
C.若直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是α
D.当直线的倾斜角α∈0,π2∪π2,π时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
【解析】当直线的倾斜角α∈0,π2∪π2,π时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故A错误,D正确;当α=π2时,斜率不存在,故B错误;只有当α∈0,π2∪π2,π时,直线的倾斜角才是α,故C错误.故选D.
【答案】D
2.(考点:求直线的方程,★)已知直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l的方程是( ).
A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0
C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0
【解析】因为直线2x-3y+4=0的斜率为23,所以直线l的斜率为-32,
所以直线l的方程为y-2=-32(x+1),即3x+2y-1=0.
【答案】A
3.(考点:椭圆的标准方程,★)“-10,m+1≠7-m,解得-10),以点P(b,0)为圆心,a为半径作圆P,圆P与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若∠MPN=90°,则双曲线C的离心率为( ).
A.2B.3C.52D.72
【解析】设双曲线C的一条渐近线为bx-ay=0,且与圆P交于M,N两点,
因为∠MPN=90°,所以圆心P到直线bx-ay=0的距离为b2a2+b2=b2c=22a,即2c2-2a2=2ac,因为e=ca>1,解得e=2.
【答案】A
7.(考点:抛物线定义的应用,★★)已知F是抛物线x2=6y的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=9,则线段AB的中点到x轴的距离为( ).
A.3B.92C.4D.32
【解析】由题意可得F0,32,抛物线的准线方程为y=-32.
设Ax1,y1,Bx2,y2,根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|=y1+y2+3=9,解得y1+y2=6,
∴线段AB中点的纵坐标为3,
即线段AB的中点到x轴的距离为3.
【答案】A
8.(考点:点差法的应用,★★★)已知椭圆x236+y29=1的一条弦被点A(4,2)平分,则此弦所在的直线方程是( ).
A.x-2y=0B.x+2y=4
C.2x+3y=14D.x+2y=8
【解析】设过点A的直线与椭圆相交于E(x1,y1),F(x2,y2)两点,
则有x1236+y129=1,x2236+y229=1,
两式相减得(x1-x2)(x1+x2)36+(y1-y2)(y1+y2)9=0.
又∵A为弦EF的中点,且A(4,2),∴x1+x2=8,y1+y2=4,
∴836(x1-x2)+49(y1-y2)=0,
∴kEF=y1-y2x1-x2=-12,
∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y-2=-12(x-4),即x+2y-8=0.
【答案】D
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:直线方程的应用,★★)下列说法正确的是( ).
A.当x1≠x2,y1≠y2时,过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1
B.点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)
C.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0
【解析】对于A,当x1≠x2,y1≠y2时,过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1,故A正确;
对于B项,点(0,2)与(1,1)的中点坐标为12,32,满足直线方程y=x+1,并且两点连线的斜率为-1,所以点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1),所以B正确;
对于C项,直线x-y-2=0在两坐标轴上的截距分别为2,-2,故直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是12×2×2=2,所以C正确;
对于D项,经过点(1,1),且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0或y=x,所以D不正确.
【答案】ABC
10.(考点:圆的对称性的应用,★★)已知圆O的方程为x2+y2-4x-1=0,则圆O( ).
A.关于点(2,0)对称
B.关于直线y=0对称
C.关于直线x+3y-2=0对称
D.关于直线x-y+2=0对称
【解析】x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5,所以圆心O的坐标为(2,0).
对于A项,圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,所以A选项正确;
对于B项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,所以B选项正确;
对于C项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线x+3y-2=0过圆心,所以C选项正确;
对于D项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线x-y+2=0不过圆心,所以D选项不正确.
【答案】ABC
11.(考点:双曲线的简单几何性质的应用,★★)已知双曲线E:x24-y212=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上的一点,则下列结论正确的是( ).
A.|PF1|-|PF2|=4
B.双曲线E的离心率是3
C.|PF1|的最小值是6
D.点P到两渐近线的距离的乘积是3
【解析】由双曲线E:x24-y212=1,得a2=4,b2=12,c2=a2+b2=16,解得a=2,b=23,c=4,
由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=4,所以A正确;
离心率e=ca=42=2,所以B错误;
当点P在右顶点时,|PF1|取得最小值,即|PF1|min=a+c=6,所以C正确;
因为双曲线的渐近线方程为y=±bax=±3x,
设点P(x0,y0),则x024-y0212=1,即3x02-y02=12,
则点P到直线y=3x和y=-3x的距离的乘积为|3x0-y0|2×|3x0+y0|2=|3x02-y02|4=124=3,所以D正确.
【答案】ACD
12.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F且斜率为3的直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=8,则下列结论正确的是( ).
A.p=4B.DF=FA
C.|BD|=2|BF|D.|BF|=4
【解析】如图所示,
分别过点A,B作抛物线C的准线m的垂线,垂足分别为点E,M.
抛物线C的准线m交x轴于点P,则|PF|=p,由于直线l的斜率为3,其倾斜角为60°,又∵AE∥x轴,∴∠EAF=60°,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF为等边三角形,
∴∠EFP=∠AEF=60°,则∠PEF=30°,
∴|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8,解得p=4,故A选项正确;
∵|AE|=|EF|=2|PF|,又PF∥AE,∴F为AD的中点,则DF=FA,故B选项正确;
∵∠DAE=60°,∴∠ADE=30°,∴|BD|=2|BM|=2|BF|,故C选项正确;
∵|BD|=2|BF|,∴|BF|=13|DF|=13|AF|=83,故D选项错误.
【答案】ABC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:抛物线的应用,★)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为 .
【解析】抛物线的准线方程为x=-p2,准线与圆相切,则3+p2=4,解得p=2.
【答案】2
14.(考点:直线与圆的位置关系,★★)已知a,b为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a)2+(y-b)2=4所得的弦长为22,则ab的最大值为 .
【解析】由题意可得圆心(a,b)到直线x+y+1=0的距离d=22-2222=2,故|a+b+1|2=2.
又a,b为正实数,故a+b=1,所以ab≤a+b22=14,当且仅当a=b=12时取等号.
【答案】14
15.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线C:x24-y2b2=1(b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P在双曲线C上,且直线PA与直线PB的斜率之积为1,则该双曲线C的焦距为 .
【解析】由双曲线方程可知A(-2,0),B(2,0),
设P(x0,y0),则kPA·kPB=y0x0+2·y0x0-2=y02x02-4=1,即x02-y02=4.
又x024-y02b2=1,∴b2=4,∴c2=a2+b2=8,∴双曲线C的焦距2c=42.
【答案】42
16.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l:y=4x+b截抛物线C所得的弦长为17,设点A为抛物线C上的动点,点B(2,6),过点A作抛物线C的准线l1的垂线,垂足为D,则p的值为 ,|AB|+|AD|的最小值为 .
【解析】抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为p2,0,直线l过焦点,故b=-2p,即直线l:y=4x-2p.
设直线l与抛物线C交点的横坐标分别为x1,x2,联立y2=2px,y=4x-2p,得8x2-9px+2p2=0,所以x1+x2=98p,
故x1+x2+p=178p=17,解得p=8,所以y2=16x.
易知点B(2,6)在抛物线外,所以|AB|+|AD|=|AB|+|AF|≥|BF|=210,当B,A,F三点共线时等号成立.
【答案】8 210