人教版数学四年级上册 第12讲 平行与垂直（讲义） （含答案）

这是一份人教版数学四年级上册易错专项练（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）【易错题精析】第12讲 平行与垂直（讲义） （含答案），共21页。

班级： 姓名： 亲爱的同学，在做练习的时候一定要认真审题，完成题目后，记得养成认真检查的好习惯。祝你轻松完成本次练习！期末考名列前茅！【心得记录卡】亲爱的同学，在完成本专项练习后，你收获了什么？掌握了哪些新本领呢？在这里记录一下你的收获吧！ 年 月 日 第12讲 平行与垂直（讲义） 小学数学四年级上册易错专项练（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1. 平行。在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线互相平行。a与b互相平行，记作a//b，读作a平行于b。2. 垂直。两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。3. 用三角尺画已知直线的垂线的方法。先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再沿着另一条直角边画一条直线，就能画出已知直线的垂线。温馨提示：可以借助三角尺或量角器来画垂线。4. 点到直线的距离。从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作这一点到直线的距离。5. 画长方形的方法。先画出长方形的长，再以这条长的两个端点为垂足，向同一方向画两条长度相等且与这条长垂直的线段作为长方形的两条宽，最后把这两条宽的另外两个端点连接起来画出长方形的另外一条长。1.无论是平行还是垂直，都是指在同一个平面内两条直线的位置关系。2.只有两条直线相交成直角时，才能说这两条直线互相垂直。3.把直线外一点与直线上任意一点的连线误认为是点到直线的距离。4.用三角尺画垂线时，要沿直角边画线。5.画长方形时，先画出长方形的长（或宽），再用画垂线的方法画出长方形。【易错一】关于下图，下列说法错误的是（   ）。A．直线a比直线c短 B．直线a与直线b不平行C．直线c与直线d之间距离都相等 D．直线c与直线d都垂直于直线a【解题思路】根据题意，直线无法测量长度；直线a与直线b不平行；平行线间的距离处处相等，因此直线c与直线d之间距离都相等；直线c与直线d都垂直于直线a，据此判断即可。【完整解答】A．直线无法测量长度，所以直线a比直线c短，说法错误；B．直线a与直线b能相交，故不平行；C．直线c与直线d互相平行，所以它们之间距离都相等；D．直线c与直线d都垂直于直线a。故答案为：A【易错点】本题考查了平行和垂直的特征和性质。【易错二】在下图中，线段AB，AC，AD，AE中最短的一条线段是( )。【解题思路】本题主要考查点到直线的距离：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。【完整解答】图中，线段AB，AC，AD，AE中，因为线段AC⊥BE，所以最短的一条线段是线段AC。【易错点】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。而这个性质常用于解决求最短路线的问题。【易错三】操作。如图：已知直线L和直线L外的一点P。过P点作出与直线L的平行线。【解题思路】根据画已知直线的平行线的方法解答即可。一般分为三步：①固定三角尺，把三角尺的一条直角边与已知直线重叠。②用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺的直角边与P点重合。③再沿①中的直角边画出已知直线的平行线。【完整解答】【易错点】本题考查了平行线的画法，明确利用三角板画平行线的方法是解题的关键。【易错四】如图，按要求作答。（1）新校区到洛神北路的距离是（   ）米。（2）计划从新校区铺一条排水管道到洛神南路，怎样铺才能使所用的排水管道长度最短？请在图上画出来。【解题思路】（1）观察上图可知，新校区到洛神北路的垂线段长度即是新校区到洛神北路的距离。（2）根据直线外一点直线上各点的连线中垂线段最短可知，作新校区到洛神南路的垂线段，沿垂线段铺，所用的排水管道长度最短。【完整解答】（1）新校区到洛神北路的距离是50米。（2）【易错点】本题主要考查学生对垂线段知识和画垂线方法的掌握。一．选择题1．在同一平面内，两条直线都和另一条直线垂直，这两条直线　　A．相交 B．互相平行 C．互相垂直2．丽丽在同一平面上画了一条直线的5条垂线，这5条垂线的关系是　　A．可能相交 B．互相垂直 C．互相平行3．从直线外一点，画已知直线的平行线，可以画　　条。A．2条 B．1条 C．无数条4．下面　　中的两条直线互相平行。A． B． C．5．下面图　　中既能找到一组互相平行的直线，又能找到一组互相垂直的直线。A． B． C． D．6．如图中，　　组线互相垂直。A． B． C． D．7．在同一平面内，与一条直线平行且相距3厘米的直线有　　条。A．1 B．2 C．3 D．无数8．验证两条直线是否互相平行。下列做法，　　是对的。A． B． C．9．如图，在两条平行线之间，线段厘米，线段厘米，线段　　A．4厘米 B．6厘米 C．无法确定10．如图中平行线有　　对。A．3 B．4 C．5二．填空题11．把一个正方形对折再对折，两条折痕互相 　　或互相 　　。12．两条直线相交成直角时，这两条直线就互相 　　；1直角　　度。13．两根小棒都和第三根小棒互相垂直，这两根小棒的位置关系是 　　。14．下面的各组直线中属于互相平行的有 　　，属于相交的有 　　，属于互相垂直的有 　　。15．把上面各组直线分类：互相平行的是 　　，互相垂直的是 　　。16．两点间的所有连线中 　　最短，过直线上一点可以画 　　条直线与已知直线垂直。17．四年级一班同学在纸上画了两条直线。所画的两条直线按位置关系分类，可分为 　　和 　　两类。18．观察我们的试卷，相对的两条边互相 　　，相邻的两条边互相 　　。19．哪些汉字的形状中有互相平行的线段？请写出两个：　　和 　　。20．画已知直线的垂线可以用工具 　　和 　　。三．连线题21．连一连。四．操作题22．过点画已知直线的垂线，过点画已知直线的平行线。23．（1）以为起始边画一个的。（2）画一条边的垂线。24．如图3，一头牛在点处，它口渴了要到河边去喝水，请你帮它设计一条到河边最短的路线，在图中画出来。25．量一量，画一画。（1）下图中点到直线的距离是 　　厘米。（2）过点画出已知直线的平行线。26．如图，按要求作答。（1）新校区到洛神北路的距离是 　　米。（2）计划从新校区铺一条排水管道到洛神南路，怎样铺才能使所用的排水管道长度最短？请在图上画出来。五．解答题27．（1）过点画出直线的平行线。（2）如果点表示幸福镇，距离公路有一段距离。政府计划从幸福镇修一条通往公路的水泥路，怎样修路最近呢？请你在图上画出来，并写出这样画的理由。28．按要求画一画。（1）请画出小兔回家最近的一条路。（2）请画出小兔去河边喝水最近的一条路。29．（1）画出直线。（2）画出射线。（3）过点画出直线的垂线。（4）数一数，画好的图形中有 　　个锐角。30．如图是挂在墙壁上“安全出口”的指示牌，请你验证一下，挂歪了吗？你是如何验证的？请动手验证，并叙述结论。31．在如图中分别找出两组互相平行和互相垂直的线段，用水彩笔描出来。32．如图小明在游泳池里游泳，现在处，他想尽快游上岸，你能帮他设计一条最近的游上岸的路线吗？请在图中画出来，并说明理由。设计的理由　　。33．如图，张力家到银行的路有3条，而且他家离河边不远。（1）张力去银行取钱走哪条路最近，为什么？（2）张力要去河边玩，他怎样走最近？在图中画出来。34．4个小朋友玩“抢板凳”游戏，他们的位置如下：（1）　　最有可能抢到板凳。（填序号）（2）能抢到板凳的原因主要是应用了什么数学知识？（3）你认为公平吗？如果不公平，你能设计一个比较公平的方案吗（可以画一画）？35．按要求动手操作．（1）过点画出直线的垂线；过点画出直线的平行线．（2）按要求画角，并写出角的名称．、、（3）用一副三角板画一个角．参考答案一．选择题1．【分析】平行线的性质：在同一平面内，如果两条直线都与另一条直线互相垂直，那么这两条直线互相平行。【解答】解：在同一平面内，两条直线都和另一条直线垂直，这两条直线互相平行。故选：。【点评】此题考查了平行的特征和性质，要熟练掌握。2．【分析】平行线的性质：在同一平面内，如果两条直线都与另一条直线互相垂直，那么这两条直线互相平行。【解答】解：丽丽在同一平面上画了一条直线的5条垂线，这5条垂线的关系是互相平行。故选：。【点评】此题考查了平行的特征和性质，要熟练掌握。3．【分析】根据平行线的性质，过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条。【解答】解：过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画1条。故选：。【点评】此题主要考查了平行线的性质。4．【分析】依据同一平面内，线段之间的相交和平行的意义，即可解答。【解答】解：根据在同一平面内永不相交的两条直线，相互平行。故选：。【点评】本题考查空间内的平行与相交问题，根据具体实例做比较容易。5．【分析】平行的性质：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；垂直的性质：当两条直线相交成直角时，这两条直线就互相平行，据此解答。【解答】解：．只有一组互相垂直的直线，不符合题意。．只有两组互相平行的直线，不符合题意。．有一组互相平行的直线，又有一组互相垂直的直线，符合题意。．只有三组互相平行的直线，不符合题意。故选：。【点评】本题主要考查平行的性质、垂直的性质，灵活运用即可。6．【分析】两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。【解答】解：互相垂直。故选：。【点评】此题考查了垂直的特征和性质，要熟练掌握。7．【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，据此可知在已知直线的上面可以画一条相距为3厘米的直线，也可以在已知直线的下面画一条，据此可以画图解答。【解答】解：如图：因此在同一平面内，与一条直线平行且相距3厘米的直线有2条。故选：。【点评】本题考查了平行线的特征及平行线之间距离的认识。8．【分析】一副三角板都有2个直角，根据垂直于同一条直线的两直线平行这一性质判断选择即可。【解答】解：验证两条直线是否互相平行。故选：。【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质。9．【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行线之间的距离相等，据此解答。【解答】解：和都是平行线之间的距离，因此厘米。故选：。【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质。10．【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；据此进行解答。【解答】解：如图中平行线有4对。故选：。【点评】此题考查了平行和垂直的定义，注意基础知识的积累。二．填空题11．【分析】两次折痕的位置关系，取决于对折的方向：一种情况是沿一条边的同一个方向对折两次，三条折痕互相平行；另一种情况是沿两条边的两个方向对折，两条折痕互相垂直。【解答】解：把一个正方形对折再对折，两条折痕互相平行或互相垂直。故答案为：平行，垂直。【点评】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。12．【分析】在同一个平面内，两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。直角是的角。【解答】解：两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直；1直角度。故答案为：垂直，90。【点评】此题考查了垂直的特征和性质，要熟练掌握。13．【分析】平行线的性质：在同一平面内，如果两条直线都与另一条直线互相垂直，那么这两条直线互相平行。【解答】解：两根小棒都和第三根小棒互相垂直，这两根小棒的位置关系是互相平行。故答案为：互相平行。【点评】此题考查了平行的特征和性质，要熟练掌握。14．【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。【解答】解：属于互相平行的有①③，属于相交的有②④⑤⑥，属于互相垂直的有②⑥。故答案为：①③，②④⑤⑥，②⑥。【点评】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。15．【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。【解答】解：互相平行的是②，互相垂直的是①④。故答案为：②，①④。【点评】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。16．【分析】根据两点的所有连线中，线段最短解答；利用定理“在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”解答即可。【解答】解：两点间的所有连线中线段最短，过直线上一点可以画一条直线与已知直线垂直。故答案为：线段，一。【点评】本题考查了垂直与平行的特征及性质，结合题意分析解答即可。17．【分析】利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答。【解答】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交。故答案为：平行，相交。【点评】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类。18．【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。【解答】解：观察我们的试卷，相对的两条边互相平行，相邻的两条边互相垂直。故答案为：平行，垂直。【点评】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。19．【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。【解答】解：汉字的形状中有互相平行的线段，例如：平和行。故答案为：平，行。（答案不唯一）【点评】此题考查了平行的特征和性质，要熟练掌握。20．【分析】根据画已知直线的垂线可以用工具三角尺和直尺即可解答。【解答】解：画已知直线的垂线可以用工具三角尺和直尺。故答案为：三角尺；直尺。【点评】本题主要考查画已知直线的垂线可以用的工具。三．连线题21．【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；不互相平行也不互相垂直的两条直线相交；两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。据此解答即可。【解答】解：【点评】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。四．操作题22．【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可；（2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和点重合，过点沿三角板的直角边画直线即可。【解答】解：作图如下：【点评】本题考查了学生平行线和垂线的作法，培养学生的作图能力。23．【分析】（1）用量角器以为起始边画一个的即可；（2）用三角板画一条边的垂线即可。【解答】解：【点评】熟练掌握用量角器画角和用三角板画垂线，是解答此题的关键。24．【分析】把河岸看做一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题。【解答】解：根据垂直线段最短的性质，即可画出一条从点到河边最近的路线，如图所示：【点评】此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用25．【分析】（1）根据过点作已知直线的垂线，用三角板一直角边与直线重合，沿直线滑动，当另一直角边经过点时，沿这条直角线画垂线段，量出垂线段长度即可；（2）过点作已知直线的平行线，把三角板一边与直线重合，另一边紧靠一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过点时，沿这边画直线。【解答】解：（1）点到直线的距离是1.5厘米。（2）作图如下：【点评】本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线和平行线的能力及测量线段长度的方法，结合题意分析解答即可。26．【分析】（1）根据垂直的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短；进行解答即可；（2）因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以，只要作新校区到洛神南路的垂线段即可。【解答】解：（1）新校区到洛神北路的距离是50米。（2）作图如下：故答案为：50米。【点评】此题主要考查垂线段的性质的灵活运用，结合题意分析解答即可。五．解答题27．【分析】根据平行线的性质，过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条，用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和点重合，用直尺靠紧和点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过点画直线即可。根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短，把公路看作一条直线，幸福镇看作一个点，由点向直线画垂直线段即可。【解答】解：作图如下：沿公路所在的直线的垂直线段修这条小路最近，理由：从直线外一点到这条直线的连线中，垂直线段最短。【点评】本题考查学生利用三角板和直尺来作平行线的能力和垂直线段的性质，利用这一性质作最短线路图，培养学生的作图能力。28．【分析】（1）根据两点之间线段最短画出小兔回家最近的一条路。（2）从直线外一点到已知直线所有的线段中，以垂直线段为最短画出小兔喝水的最近路线。【解答】解：如图：【点评】解决本题的关键是知道两点之间线段最短，以及从直线外一点到已知直线所有的线段中，垂线段最短。29．【分析】根据直线，射线的特点及直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直即可解答。【解答】解：（1）（2）（3）图如下：（4）画好的图形中有3个锐角。故答案为：3。【点评】本题主要考查学生的作图能力。30．【分析】把直角三角板的顶点对准绳子与墙壁的交点，一条直角边与墙壁重合，观察另一条直角边是否与绳子重合。如果重合，说明没挂歪；如果不重合，说明挂歪了。【解答】解：我是利用直角三角板验证的。（答案不唯一）方法是：把直角三角板的顶点对准绳子与墙壁的交点，一条直角边与墙壁重合，观察另一条直角边是否与绳子重合。结论是：挂歪了。【点评】此题考查了垂直的特征和性质，要熟练掌握。31．【分析】根据垂直和平行的判定即可解答。【解答】解：图中红色线段为平行，绿色为垂直。（答案不唯一）【点评】本题主要考查垂直与平行的特征及性质。32．【分析】首先目测点到这个长方形的哪条边较近，然后过点向哪条边画垂线，点到垂足间的路线最短。理由：从直线外一点画到直线的线段中垂直的线段最短。【解答】解：帮他设计一条最近的游上岸的路线如下图：设计的理由：从直线外一点画到直线的线段中垂直的线段最短。故答案为：从直线外一点画到直线的线段中垂直的线段最短。【点评】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称垂线段最短。33．【分析】（1）依据“两点之间线段最短”即可进行解答。（2）根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画的所有线段中，垂线段最短；把小河看作一条直线，张力的位置看作一个点，由点向直线画垂直线段即可。【解答】解：（1）张力去银行取钱走②最近，因为两点之间线段最短。（2）如图：沿着图中垂直河边的红线走最近。【点评】解答此题的主要依据是：两点之间线段最短，垂直线段的性质。34．【分析】画图连线，根据所走的路程判断，直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直，因此②最近，这种游戏规则不公平，可以画一个圆形，板凳放中间。【解答】解：如图：（1）②最有可能抢到板凳；（2）直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直，垂直线段最短；（3）不公平，设计成圆形。如图：故答案为：②。【点评】本题考查了两点之间垂直线段最短的知识。35．【分析】（1）①把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可；②把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和点重合，过点沿三角板的直角边画直线即可；（2）画一条射线，用量角器的圆点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，在量角器、、的刻度上点上点，过射线的端点和刚作的点，画射线即可；同理即可画出另外两个角；（3）用三角板的第二大的角，即可画出的角．【解答】解：如图所示：（1）（2）（3）【点评】（1）本题考查了学生平行线和垂线的作法，培养学生的作图能力．（2）本题考查了学生画角的能力．（3）本题考查了三角板的角的度数、画角的方法，较为简单，熟练掌握三角板各角的度数是解答本题的关键．