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2023-2024学年七年级数学上学期期末复习重难点突破（人教版）专题08压轴大题：线段双中模型与数轴动点强化练（八大类）
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这是一份2023-2024学年七年级数学上学期期末复习重难点突破（人教版）专题08压轴大题：线段双中模型与数轴动点强化练（八大类），文件包含专题08压轴大题线段双中模型与数轴动点强化练八大类-2023-2024学年七年级数学上学期期末复习重难点突破人教版原卷版docx、专题08压轴大题线段双中模型与数轴动点强化练八大类-2023-2024学年七年级数学上学期期末复习重难点突破人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
考点目录
TOC \ "1-3" \h \z \u 一、经典考点：线段双中模型—互不干涉和一半，水乳交融差不半。 PAGEREF _Tc155086878 \h 1
二、双中模型的两种情况：关键字眼—直线与线段。 PAGEREF _Tc155086879 \h 3
三、线段动点与新定义的融合：紧扣定义，仿照即可。 PAGEREF _Tc155086880 \h 6
四、压轴难点：动点与定值的存在性。 PAGEREF _Tc155086881 \h 11
五、中点提升：线段的n等分—仿照中点，准确计算。 PAGEREF _Tc155086882 \h 17
六、综合提升一：线段与数轴的融合。 PAGEREF _Tc155086883 \h 19
七、数轴上的动点—距离与相遇类。 PAGEREF _Tc155086884 \h 26
八、超难考点：线段的比例关系。 PAGEREF _Tc155086885 \h 32
九、典例分析 PAGEREF _Tc155086886 \h 37
【典例分析】
例1:如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．
(1)如图1，若点P是线段AB的中点，且MP=5cm，则线段AB的长_____cm，线段MN的长_____cm；
(2)如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB=12cm，求线段MN的长；
(3)若点P是直线AB上的任意一点，且AB=a，直接写出线段MN的长．
【答案】(1)20；10
(2)MN=6cm
(3)MN=12a
【详解】（1）解：∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∵MP=5cm，
∴AP=10cm，
∵P为AB的中点，
∴AB=2AP=20cm，AP=BP=10cm，
∴PN=12BP=5cm，
∴MN=MP+PN=10cm，
故答案为：20；10；
（2）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∴AP+BP=2MP+2PN=2MN，
即AB=2MN，
∵AB=12cm，
∴MN=6cm；
（3）线段MN的长为：MN=12a．
理由：①当点P在线段AB上时，由（3）得AB=2MN，
②当P点在线段AB延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∴AP−BP=2MP−2PN=2MN，
即AB=2MN，
③当P点在线段BA延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∴BP−AP=2PN−2MP=2MN，
即AB=2MN，
综上所述：点P是直线AB上的任意一点时，AB=2MN
∵AB=a，
∴MN=12a．
例2: 如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？
(2)如图2，当∠AOB=α,∠BOC=60°60°<α<120°时，猜想∠MON与α的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当∠AOB=α,∠BOC=βα>β,α+β<180°时，直接写出∠MON的值为__________．
【答案】(1)45°
(2)∠MON=12α，见解析
(3)12α
【详解】（1）∵∠AOB=90°,∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC，
∴∠MOC=12∠AOC=75°,∠NOC=12∠BOC=30°，
∴∠MON=∠MOC−∠NOC=45°．
（2）解：∠MON=12α，
理由：∵∠AOB=α,∠BOC=60°，
∴∠AOC=α+60°，
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC，
∴∠MOC=12∠AOC=12α+30°,∠NOC=12∠BOC=30°，
∴∠MON=∠MOC−∠NOC=12α+30°−30°=12α．
（3）解：12α．
∵∠AOB=α,∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC=12∠AOC=12(α+β),∠NOC=12∠BOC=12β，
∴∠AON=∠AOC−∠NOC=α+β−12β=α+12β，
∴∠MON=∠MOC−∠NOC=12(α+β)−12β=12α，
即∠MON=12α．
实战训练
一、经典考点：线段双中模型—互不干涉和一半，水乳交融差不半。
1．如图，点C是线段AB上的一点，M是AB的中点，N是CB的中点．
(1)若AB=13，CB=5，求MN的长度；
(2)若AB=a，CB=b，则MN的长度为 ．
2．如图，线段BD=13AB=14CD，点M、N分别是线段AB、CD的中点，且MN=20cm，求AC的长．
3．（1）如图1，已知线段AB的长为6cm，点P是线段AB上的任一点，且C、D分别是PA、PB的中点，求线段CD的长．
（2）若点P在线段AB或线段BA的延长线上，如图2、3所示，且C、D分别是PA、PB的中点，则线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等了吗？请分别就图2和图3的情况进行说明．
4．已知，点B和点D是线段AC上的两点，且BD=13AB=14DC，E、F分别线段AB、CD的中点，EF=10，求线段AB，CD的长．
二、双中模型的两种情况：关键字眼—直线与线段。
5．已知点A，B，C在同一条直线上，点M、N分别是AB、AC的中点，如果AB=10cm，AC=8cm，那么线段MN的长度为（ ）
A．6cmB．9cmC．3cm或6cmD．1cm或9cm
6．直线l上的线段AB、BC分别长4cm,8cm，M、N分别是AB,BC的中点，则MN= cm．
7．点A，B，P在同一条直线上，AB=3BP，点C，D分别是AB，BP的中点．若AB=12，则CD的长是 ．
8．已知点C为线段AB上一点，AC=12cm，CB=8cm，D，E分别是AC，AB的中点，则DE的长为 cm．
三、线段动点与新定义的融合：紧扣定义，仿照即可。
9．如图①，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB,AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
(1)①一条线段的中点__________这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
②若线段AB=m，C是线段AB的“巧点”，则BC=_________．（用含m的代数式表示出所有可能的结果）
(2)如图②， A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20．动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒3cm的速度沿BA向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段AP的“巧点”．
10．如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
(1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
(2)（问题解决）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是−20和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数轴上表示的数．
(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BA向点A匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间t(s)的所有可能值．
11．已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2．
(1)求线段AC，CB的长；
(2)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为M，设AP=m cm．
①请用含有m的代数式表示线段PC，MC的长；
②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值．
12．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是A,B的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是A,B的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是A,B的美好点，但点D是B,A的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为−7，点N所表示的数为2．
(1)点E，F，G表示的数分别是−3，6.5，11，其中是M,N美好点的是________；写出N,M美好点H所表示的数是___________．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
四、压轴难点：动点与定值的存在性。
13．如图，已知数轴上点A表示的数为8,B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)与出数轴上点B表示的数_______；点P表示的数_______（用含t的式子表示）；
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速活动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
(3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P,Q同时出发，问点P运动多少秒时追上Q？
(4)若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN．
14．如图，已知线段AB=m，CD=n，线段CD在直线AB上运动（A在B左侧，C在D左侧），若m−12+6−n2=0
(1)求线段AB，CD的长．
(2)若点M，N分别为线段AC，BD的中点，且BC=4，求线段MN的长；
(3)当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB延长线上任意一点，则PA+PBPC是一个定值，请加以说明．
15．线段AB和CD数轴上运动，A开始时与原点重合，且CD=2AB+3．
(1)若AB=10，且B为线段AC的中点，求线段AD的长．
(2)在（1）的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段AB的速度为5个单位/秒，线段CD的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有BD=8，求t的值．
(3)在（1）的条件下，若线段AB和CD同时开始向左匀速运动，线段AB的速度为m个单位/秒，线段CD的速度为n个单位/秒，设M为线段AC中点，N为线段BD中点，此时线段MN的长为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由．
16．如图，已知数轴上点A表示的数为9，点B表示的数为-6，动点P从点A出发，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt>0秒，
(1)数轴上点P表示的数为 （用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，AP=2BP？
(3)若M为AP的中点，N为BP的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否为定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由．
17．【概念与发现】
当点C在线段AB上，AC=nAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作dACAB=n．
例如，点C是AB的中点时，即AC=12AB，则dACAB=12；
反之，当dACAB=12时，则有AC=12AB．
因此，我们可以这样理解：“dACAB=n”与“AC=nAB”具有相同的含义．
【理解与应用】
(1)如图，点C在线段AB上．若AC=3，AB=4，则dACAB=________；
若dACAB=23，则AC=________AB．
【拓展与延伸】
(2)已知线段AB=10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，m⋅dAPAB+dAQAB的值是个定值，则m的值等于________；
②t为何值时，dAQAB−dAPAB=15．
五、中点提升：线段的n等分—仿照中点，准确计算。
18．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=6，AC=2，求MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN=______．
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN=______．
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=13BC，求MN的长．
③若M，N分别是AC，BC的nn≥2等分点，即AM=1nAC，BN=1nBC，则MN=______．
19．根据题意，填空完善解答过程：已知，线段AB=18，C是直线AB上的一点，M，N分别是线段AC，BC的三等分点，且AM=2CM，BN=2CN．
(1)如图1，当点C在线段AB上时，求MN的长；
(2)如图2，当点C在AB延长线上时，求MN的长；
(3)当点C在BA延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求MN的长．
20．如图，C为线段AD上一点，点B是线段CD的中点，AD=8，BD=2．
(1)求线段AC的长；
(2)若点E是线段AB的三等分点，求线段DE的长．
六、综合提升一：线段与数轴的融合。
21．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
22．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足(a−10)2+b+6=0．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点A表示的数是____________，点B表示的数是______，点P表示的数是____________（用含t的式子表示）；
（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM－PN的值
（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？
23．已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a−b=14．
(1)若b=−6，则a的值为___________________；
(2)若OA=3OB，求a的值；
(3)点C为数轴上一点，对应的数为c，若点O为AC的中点，OB=3BC，直接写出所有满足条件的c的值
24．点A,B在同一条直线上，点C在线段AB的延长线上，如果BC=12AB，那么我们把点C叫做点A关于点B的伴随点．
(1)如下图，在数轴上，点E表示的数是−4，点E关于原点O的伴随点F表示的数是__________；
(2)在（1）的条件下，点G表示的数是m，若点F关于点G的伴随点是点E，求m的值；
(3)如下图，数轴上的三个点P,Q,R分别表示的数是−1,1,4．有一动点M从点Q出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点N从点R出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点N运动至点P处时，两动点M,N同时停止运动．设动点M,N的运动时间为t秒，在运动过程中，若P,M,N三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出t的值．
25．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为−1，3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x．
(1)若点P为AB的中点，则x的值为 _____；
(2)若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为 _____；
(3)某时刻点A，B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．求当点A，B之间的距离为3个单位长度时，点P表示的数．
七、数轴上的动点—距离与相遇类。
26．已知xa+by20与x10yb为同类项，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
(1)a= ______，b= ______，线段AB=______；
(2)若数轴上有一点C，使得AC=32BC，点M为AB的中点，求MC的长______；
(3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（t<10），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE=13GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值______（用含t的代数式表示）
27．如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是−2，4．请回答以下问题：
(1)A与B之间距离为___________；
(2)若点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度向右作匀速运动，点Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度向右作匀速运动，P，Q同时运动，设运动的时间为t秒；
①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？
②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？
28．已知数轴上有A，B两点，分别代表−40，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左运动．
(1)A，B两点间的距离为_______个单位长度；乙到达A点时共运动了______秒．
(2)甲，乙在数轴上的哪个点相遇？
(3)多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？
(4)若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．
29．对于数轴上不同的三点A，B，C，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“等距点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距离是2，所以B是A，C的“等距点”．
(1)若点A表示数−2，点B表示的数2，下列各数−23，0，4，6所对应的点分别C1,C2,C3,C4，其中是点A，B的“等距点”的是______．
(2)点A表示数−1，点B表示的数3，P为数轴上一个动点，若A、B、P中有一个点恰好是其它两个点的“等距点”，求此时点P表示的数．
(3)数轴上点A所表示的数为−10，点B所表示的数为20，一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点A出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，P、Q、B三个点中恰有一个点为其余两点的“等距点”？（直接写出t的值）
八、超难考点：线段的比例关系。
30．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．
(1)若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②若点F在线段BC上，且AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长；
(2)若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，求CDAB的值．
31．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．
(1)若AB=24，DE=16，线段DE在线段AB上移动，
①当点E是线段BC的中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
(2)若AB=2DE，点E在线段AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则CDAB= （直接写出结果）．
32．已知式子M=(a−16)x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，在数轴上有点A、B、C三个点，且点A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，c=−8，规定：数轴上表示数m和n的两个点为端点的线段中点的数为m+n2．
(1)a=________；b=________．
(2)若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为线段AP的中点，点F为线段BQ的中点，求BP−AQEF的值．
(3)点P、Q分别自C、B同时出发，点P以每秒6个单位长度向右运动，点Q以每秒2个单位长度向左运动，运动的时间为t秒，若满足PQ−PA=OQ，求此时的时间t值．
考点目录
TOC \ "1-3" \h \z \u 一、经典考点：线段双中模型—互不干涉和一半，水乳交融差不半。 PAGEREF _Tc155086878 \h 1
二、双中模型的两种情况：关键字眼—直线与线段。 PAGEREF _Tc155086879 \h 3
三、线段动点与新定义的融合：紧扣定义，仿照即可。 PAGEREF _Tc155086880 \h 6
四、压轴难点：动点与定值的存在性。 PAGEREF _Tc155086881 \h 11
五、中点提升：线段的n等分—仿照中点，准确计算。 PAGEREF _Tc155086882 \h 17
六、综合提升一：线段与数轴的融合。 PAGEREF _Tc155086883 \h 19
七、数轴上的动点—距离与相遇类。 PAGEREF _Tc155086884 \h 26
八、超难考点：线段的比例关系。 PAGEREF _Tc155086885 \h 32
九、典例分析 PAGEREF _Tc155086886 \h 37
【典例分析】
例1:如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．
(1)如图1，若点P是线段AB的中点，且MP=5cm，则线段AB的长_____cm，线段MN的长_____cm；
(2)如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB=12cm，求线段MN的长；
(3)若点P是直线AB上的任意一点，且AB=a，直接写出线段MN的长．
【答案】(1)20；10
(2)MN=6cm
(3)MN=12a
【详解】（1）解：∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∵MP=5cm，
∴AP=10cm，
∵P为AB的中点，
∴AB=2AP=20cm，AP=BP=10cm，
∴PN=12BP=5cm，
∴MN=MP+PN=10cm，
故答案为：20；10；
（2）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∴AP+BP=2MP+2PN=2MN，
即AB=2MN，
∵AB=12cm，
∴MN=6cm；
（3）线段MN的长为：MN=12a．
理由：①当点P在线段AB上时，由（3）得AB=2MN，
②当P点在线段AB延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∴AP−BP=2MP−2PN=2MN，
即AB=2MN，
③当P点在线段BA延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∴BP−AP=2PN−2MP=2MN，
即AB=2MN，
综上所述：点P是直线AB上的任意一点时，AB=2MN
∵AB=a，
∴MN=12a．
例2: 如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？
(2)如图2，当∠AOB=α,∠BOC=60°60°<α<120°时，猜想∠MON与α的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当∠AOB=α,∠BOC=βα>β,α+β<180°时，直接写出∠MON的值为__________．
【答案】(1)45°
(2)∠MON=12α，见解析
(3)12α
【详解】（1）∵∠AOB=90°,∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC，
∴∠MOC=12∠AOC=75°,∠NOC=12∠BOC=30°，
∴∠MON=∠MOC−∠NOC=45°．
（2）解：∠MON=12α，
理由：∵∠AOB=α,∠BOC=60°，
∴∠AOC=α+60°，
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC，
∴∠MOC=12∠AOC=12α+30°,∠NOC=12∠BOC=30°，
∴∠MON=∠MOC−∠NOC=12α+30°−30°=12α．
（3）解：12α．
∵∠AOB=α,∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC=12∠AOC=12(α+β),∠NOC=12∠BOC=12β，
∴∠AON=∠AOC−∠NOC=α+β−12β=α+12β，
∴∠MON=∠MOC−∠NOC=12(α+β)−12β=12α，
即∠MON=12α．
实战训练
一、经典考点：线段双中模型—互不干涉和一半，水乳交融差不半。
1．如图，点C是线段AB上的一点，M是AB的中点，N是CB的中点．
(1)若AB=13，CB=5，求MN的长度；
(2)若AB=a，CB=b，则MN的长度为 ．
2．如图，线段BD=13AB=14CD，点M、N分别是线段AB、CD的中点，且MN=20cm，求AC的长．
3．（1）如图1，已知线段AB的长为6cm，点P是线段AB上的任一点，且C、D分别是PA、PB的中点，求线段CD的长．
（2）若点P在线段AB或线段BA的延长线上，如图2、3所示，且C、D分别是PA、PB的中点，则线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等了吗？请分别就图2和图3的情况进行说明．
4．已知，点B和点D是线段AC上的两点，且BD=13AB=14DC，E、F分别线段AB、CD的中点，EF=10，求线段AB，CD的长．
二、双中模型的两种情况：关键字眼—直线与线段。
5．已知点A，B，C在同一条直线上，点M、N分别是AB、AC的中点，如果AB=10cm，AC=8cm，那么线段MN的长度为（ ）
A．6cmB．9cmC．3cm或6cmD．1cm或9cm
6．直线l上的线段AB、BC分别长4cm,8cm，M、N分别是AB,BC的中点，则MN= cm．
7．点A，B，P在同一条直线上，AB=3BP，点C，D分别是AB，BP的中点．若AB=12，则CD的长是 ．
8．已知点C为线段AB上一点，AC=12cm，CB=8cm，D，E分别是AC，AB的中点，则DE的长为 cm．
三、线段动点与新定义的融合：紧扣定义，仿照即可。
9．如图①，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB,AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
(1)①一条线段的中点__________这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
②若线段AB=m，C是线段AB的“巧点”，则BC=_________．（用含m的代数式表示出所有可能的结果）
(2)如图②， A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20．动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒3cm的速度沿BA向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段AP的“巧点”．
10．如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
(1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
(2)（问题解决）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是−20和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数轴上表示的数．
(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BA向点A匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间t(s)的所有可能值．
11．已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2．
(1)求线段AC，CB的长；
(2)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为M，设AP=m cm．
①请用含有m的代数式表示线段PC，MC的长；
②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值．
12．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是A,B的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是A,B的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是A,B的美好点，但点D是B,A的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为−7，点N所表示的数为2．
(1)点E，F，G表示的数分别是−3，6.5，11，其中是M,N美好点的是________；写出N,M美好点H所表示的数是___________．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
四、压轴难点：动点与定值的存在性。
13．如图，已知数轴上点A表示的数为8,B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)与出数轴上点B表示的数_______；点P表示的数_______（用含t的式子表示）；
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速活动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
(3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P,Q同时出发，问点P运动多少秒时追上Q？
(4)若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN．
14．如图，已知线段AB=m，CD=n，线段CD在直线AB上运动（A在B左侧，C在D左侧），若m−12+6−n2=0
(1)求线段AB，CD的长．
(2)若点M，N分别为线段AC，BD的中点，且BC=4，求线段MN的长；
(3)当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB延长线上任意一点，则PA+PBPC是一个定值，请加以说明．
15．线段AB和CD数轴上运动，A开始时与原点重合，且CD=2AB+3．
(1)若AB=10，且B为线段AC的中点，求线段AD的长．
(2)在（1）的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段AB的速度为5个单位/秒，线段CD的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有BD=8，求t的值．
(3)在（1）的条件下，若线段AB和CD同时开始向左匀速运动，线段AB的速度为m个单位/秒，线段CD的速度为n个单位/秒，设M为线段AC中点，N为线段BD中点，此时线段MN的长为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由．
16．如图，已知数轴上点A表示的数为9，点B表示的数为-6，动点P从点A出发，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt>0秒，
(1)数轴上点P表示的数为 （用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，AP=2BP？
(3)若M为AP的中点，N为BP的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否为定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由．
17．【概念与发现】
当点C在线段AB上，AC=nAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作dACAB=n．
例如，点C是AB的中点时，即AC=12AB，则dACAB=12；
反之，当dACAB=12时，则有AC=12AB．
因此，我们可以这样理解：“dACAB=n”与“AC=nAB”具有相同的含义．
【理解与应用】
(1)如图，点C在线段AB上．若AC=3，AB=4，则dACAB=________；
若dACAB=23，则AC=________AB．
【拓展与延伸】
(2)已知线段AB=10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，m⋅dAPAB+dAQAB的值是个定值，则m的值等于________；
②t为何值时，dAQAB−dAPAB=15．
五、中点提升：线段的n等分—仿照中点，准确计算。
18．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=6，AC=2，求MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN=______．
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN=______．
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=13BC，求MN的长．
③若M，N分别是AC，BC的nn≥2等分点，即AM=1nAC，BN=1nBC，则MN=______．
19．根据题意，填空完善解答过程：已知，线段AB=18，C是直线AB上的一点，M，N分别是线段AC，BC的三等分点，且AM=2CM，BN=2CN．
(1)如图1，当点C在线段AB上时，求MN的长；
(2)如图2，当点C在AB延长线上时，求MN的长；
(3)当点C在BA延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求MN的长．
20．如图，C为线段AD上一点，点B是线段CD的中点，AD=8，BD=2．
(1)求线段AC的长；
(2)若点E是线段AB的三等分点，求线段DE的长．
六、综合提升一：线段与数轴的融合。
21．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
22．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足(a−10)2+b+6=0．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点A表示的数是____________，点B表示的数是______，点P表示的数是____________（用含t的式子表示）；
（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM－PN的值
（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？
23．已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a−b=14．
(1)若b=−6，则a的值为___________________；
(2)若OA=3OB，求a的值；
(3)点C为数轴上一点，对应的数为c，若点O为AC的中点，OB=3BC，直接写出所有满足条件的c的值
24．点A,B在同一条直线上，点C在线段AB的延长线上，如果BC=12AB，那么我们把点C叫做点A关于点B的伴随点．
(1)如下图，在数轴上，点E表示的数是−4，点E关于原点O的伴随点F表示的数是__________；
(2)在（1）的条件下，点G表示的数是m，若点F关于点G的伴随点是点E，求m的值；
(3)如下图，数轴上的三个点P,Q,R分别表示的数是−1,1,4．有一动点M从点Q出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点N从点R出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点N运动至点P处时，两动点M,N同时停止运动．设动点M,N的运动时间为t秒，在运动过程中，若P,M,N三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出t的值．
25．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为−1，3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x．
(1)若点P为AB的中点，则x的值为 _____；
(2)若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为 _____；
(3)某时刻点A，B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．求当点A，B之间的距离为3个单位长度时，点P表示的数．
七、数轴上的动点—距离与相遇类。
26．已知xa+by20与x10yb为同类项，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
(1)a= ______，b= ______，线段AB=______；
(2)若数轴上有一点C，使得AC=32BC，点M为AB的中点，求MC的长______；
(3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（t<10），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE=13GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值______（用含t的代数式表示）
27．如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是−2，4．请回答以下问题：
(1)A与B之间距离为___________；
(2)若点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度向右作匀速运动，点Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度向右作匀速运动，P，Q同时运动，设运动的时间为t秒；
①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？
②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？
28．已知数轴上有A，B两点，分别代表−40，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左运动．
(1)A，B两点间的距离为_______个单位长度；乙到达A点时共运动了______秒．
(2)甲，乙在数轴上的哪个点相遇？
(3)多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？
(4)若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．
29．对于数轴上不同的三点A，B，C，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“等距点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距离是2，所以B是A，C的“等距点”．
(1)若点A表示数−2，点B表示的数2，下列各数−23，0，4，6所对应的点分别C1,C2,C3,C4，其中是点A，B的“等距点”的是______．
(2)点A表示数−1，点B表示的数3，P为数轴上一个动点，若A、B、P中有一个点恰好是其它两个点的“等距点”，求此时点P表示的数．
(3)数轴上点A所表示的数为−10，点B所表示的数为20，一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点A出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，P、Q、B三个点中恰有一个点为其余两点的“等距点”？（直接写出t的值）
八、超难考点：线段的比例关系。
30．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．
(1)若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②若点F在线段BC上，且AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长；
(2)若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，求CDAB的值．
31．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．
(1)若AB=24，DE=16，线段DE在线段AB上移动，
①当点E是线段BC的中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
(2)若AB=2DE，点E在线段AB上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则CDAB= （直接写出结果）．
32．已知式子M=(a−16)x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，在数轴上有点A、B、C三个点，且点A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，c=−8，规定：数轴上表示数m和n的两个点为端点的线段中点的数为m+n2．
(1)a=________；b=________．
(2)若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为线段AP的中点，点F为线段BQ的中点，求BP−AQEF的值．
(3)点P、Q分别自C、B同时出发，点P以每秒6个单位长度向右运动，点Q以每秒2个单位长度向左运动，运动的时间为t秒，若满足PQ−PA=OQ，求此时的时间t值．
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