2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）专题28最值模型之阿氏圆模型

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【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在中，，，，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值__________．最小值__________．
例2．（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ．
例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形的边长为2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点P，则的最小值为___________．
例4．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．

例5．（2023·浙江·一模）问题提出：
如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)
如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠
△ ∽△
∴ ∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．
(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为 ．(请在图3中添加相应的辅助线)
(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
例6．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值．
（2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值．
（3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值

例7．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足  k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，
【问题解决】如图，在△ABC 中，CB  4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．
例8．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．

课后专项训练
1．（2023春·浙江九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7B．5C．D．
2．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为( )
A．6B．4C．4D．6
3．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．
4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．
5．（2023·湖南·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ．
6．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，已知，若点、在射线上，且满足，，是射线上的动点，同时在右侧作，且满足，则的面积为 ．若点运动轨迹与射线交于点，当的最小值时，此时的值为 ．
7．（2023·广西·南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是_____．
8．（2023·江苏苏州·苏州市二模）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
9．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ．
10．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ．
11．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．
12．（2023·四川成都·九年级专题练习）在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是上一动点，连接PB，PC，则的最小值_____________的最小值_______
13．（2023·广西·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值 ．的最小值
14．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：
（1）初步思考：如图1， 在中，已知，BC=4，N为BC上一点且，试说明：
（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最大值．

图1 图2 图3
15．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．
(1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点______的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；(2)如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点．①求证：；②若，，则的最大值为______（直接写出结果）；
③若，，且是以为底的等腰三角形，求的长．
(3)如图4，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为______（直接写出结果）．
16．（2023·广东广州·统考一模）如图，已知是等边三角形，，点D为的中点，点E，F分别为边，上的动点（点E不与B，C重合），且．
(1)求的取值范围；(2)若，求的长；(3)求的最小值．
17．（2023·重庆大渡口·九年级统考阶段练习）如图1，在矩形中，，分别以所在的直线为轴、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接,反比例函数的图象经过线段的中点，并与矩形的两边交于点和点，直线经过点和点. （1）连接、，求的面积；（2）如图2，将线段绕点顺时针旋转—定角度，使得点的对应点好落在轴的正半轴上，连接，作，点为线段上的一个动点，求的最小值.

17．（2023·深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．
【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？

第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；
第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）；
第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．(1)的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点P的坐标．
18．（2023·江苏扬州·校联考二模）请认真阅读下列材料：
如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义为射线上一点，满足．
显然点A也是点的反演点．即点A与点互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径．这种从点A到点的变换或从点到点A的变换称为反演变换．
例如：如图②，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径的圆，交y轴的正半轴于点B；C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为；若C关于的反演点分别为．
（1）求点的坐标；（2）连接、，求的最小值．
解：（1）由反演变换的定义知：，其中，．
∴，故点的坐标为；
（2）如图③，连接、，由反演变换知，
即，而，∴．
∴，即．
∴．故的最小值为13.
请根据上面的阅读材料，解决下列问题：
如图④，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为．
（1）点D关于的反演点的坐标为________；（2）连接、，求的最小值；
（3）如图⑤，以为直径作，那么上所有的点（点O除外）关于的反演点组成的图形具有的特征是__________________．