广东省佛山市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（教师版含解析）

这是一份广东省佛山市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（教师版含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由集合并集的定义即可求.
【详解】由集合并集的定义可得，.
故选：A
2. 已知命题，是无理数．则的否定是( )
A. ，是有理数B. ，是有理数
C. ，是有理数D. ，是有理数
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定可直接得到结果.
【详解】由全称命题的否定知，命题，是无理数的否定是：，是有理数.
故选：D.
3. 已知，则“”是“点在第一象限内”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合三角函数的想先符号判断即可.
【详解】若，则在第一或三象限，
则或，则点在第一或三象限，
若点在第一象限，
则，则.
故“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件.
故选：B
4. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的( )
A. 18倍B. 倍C. 倍D. 倍
【答案】C
【解析】
【分析】构造指数函数模型，计算即可.
【详解】某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，
设湖泊中原来蓝藻数量为，则，
经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：
经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.
故选：C.
5. 函数的大致图像是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数奇偶性，再判断趋近于时函数值的大小.
【详解】,
故函数为奇函数，故排除A、C;
当趋近于，则趋近于0，则趋近于，
又在趋于时增速远比快，故趋近于0，
故当趋近于时，趋近于0，故排除D;
故选：B
6. 甲、乙分别解关于x的不等式．甲抄错了常数b，得到解集为；乙抄错了常数c，得到解集为．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据韦达定理求得参数b、c，解不等式即可.
【详解】由韦达定理得，即，故不等式为，解集为.
故选：A
7. 定义在上的函数满足：是偶函数，且函数的图像与函数的图像共有n个交点：，，…，，则( )
A. 0B. nC. 2nD. 4n
【答案】C
【解析】
【分析】观察解析式得两个函数对称轴均为，则交点也对称.
【详解】是偶函数，则，
则关于轴对称，
又也关于轴对称，
则两个函数的交点两两关于轴对称，
则,
故选：C.
8. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对对数同步升幂，利用将对数变形，再利用中间值比较大小.
【详解】，
，故；
，
，故；
故，
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知，，则( )
A. 的取值范围为B. 的取值范围为
C. ab的取值范围为D. 的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案;
【详解】解：因为，，
所以，，，
所以，的取值范围为，的取值范围为，
故A选项正确，B选项错误；
因为，，
所以，，，，
所以，ab的取值范围为，的取值范围为
故C选项正确，D选项错误.
故选：AC
10. 在直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】对ABC，由三角函数定义即可列式求解；
对D，由正切倍角公式可求解判断.
【详解】对A，由终边经过点得，A对；
对BC，由得，，B对C错；
对D，，解得，D错.
故选：AB
11. 取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如：，，则( )
A. ，B. ，
C. ，，D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据取整函数，设，，进而依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，当时，，故A正确；
对于B选项，设，，，故B正确；
对于C选项，设，，
故，，
所以，当时，；
当时，，
所以，，，故C错误；
对于D选项，设，即，
所以，当时，，；
当当时，，；
所以，，，故D正确．
故选：ABD
12. 已知函数的零点为，函数的零点为，则( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对C，由零点存在定理判断端点；
对AB，由函数单调性判断不等式；
对D，由对数运算形式分别得，，()，结合函数单调性即可得，即可判断.
【详解】对C，，，
，，
由零点存在定理得，函数的零点，函数的零点，C对.
对AB，由解析式知，、均为增函数，则，，A错B对；
对D，.
，令，则即.
∵是增函数，故，D对.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ______．
【答案】
【解析】
【分析】运用指数、对数运算法则计算即可.
【详解】，
故答案为：
14. 用一根长度为4m的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角为______弧度．
【答案】2
【解析】
【分析】由题意得，结合基本不等式得，代入面积方程可计算 面积的最大值，结合取等情况可得圆心角大小.
【详解】由题意得，则，
则当且仅当时取等，
而，当且仅当时取最大值1，
圆心角，
故答案为：2.
15. 写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式：______．
①定义域为；②值域为；③是奇函数．
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】根据函数三个性质，写出符合条件的函数即可.
【详解】如，定义域为，
又，因为，所以，，
又，故是奇函数．
故答案为：(答案不唯一)
16. 若实数满足，，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由基本不等式求出，变形得到，求出，从而求出的最大值.
详解】由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得：，
又因为，所以，
化简得：，
因，所以，所以，即，
所以，所以，
故的最大值是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，，其中．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)解一元二次不等式可求得集合；根据交集结果可知，分别在和的情况下解不等式求得结果；
(2)分别在和的情况下，求得时的范围，取补集即可得到结果.
【小问1详解】
由得：，即；
，；
当时，满足，此时，即；
当时，由得：，解得：；
综上所述：实数取值范围为.
【小问2详解】
由(1)知：；
当时，，解得：；
当时，或，解得：；
当时，，当时，.
18. 从①，②，③，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面两个小问．
已知，且满足______．
(1)判断是第几象限角；
(2)求值：．
【答案】(1)是第二象限角
(2)答案见解析
【解析】
【分析】(1)选择①②由平方关系可得，结合可得，由此可知是第二象限角，选择③利用诱导公式结合正切值的符号求解即可；
(2)选择①②由平方关系求解的值即可求解；选择③利用同角三角函数关系及齐次式即可求解.
【小问1详解】
选择①：因为，
所以，
又因为，所以，进而可得，
由此可知是第二象限角．
选择②：因为，
所以，
又因为，所以，进而可得，
由此可知是第二象限角．
选择③因为，所以，
又因为，所以是第二象限．
【小问2详解】
选择①：由(1)得，
所以，
又由，，可知，所以，
与联立解得，，
所以.
选择②：由(1)得，
所以，
所以，与联立解得，
所以．
选择③：因为是第二象限角，所以，
又因为，，
所以
19. 已知函数．
(1)若，求的值；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)分别在和的情况下解方程即可求得结果；
(2)由单调性可知；当时，不等式恒成立，可知；当时，分离变量可得，结合指数函数单调性可知，由此可得的范围.
【小问1详解】
当时，，则无解；
当时，，由得：，解得：，
又，，则；
综上所述：.
【小问2详解】
当时，单调递增，则；
当时，，则，则；
当时，，
，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
20. 已知是奇函数．
(1)求实数的值．
(2)判断在区间上的单调性，并用定义加以证明．
【答案】(1)，
(2)在区间上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据得，进而得，解方程即可得，再根据得，再检验成立即可；
(2)当时，，进而根据函数单调性的定义证明即可；
【小问1详解】
解：设的定义域为，由题知，
因为是奇函数，
所以，，即，故．
由于，，
所以，即，故．
当，时，，
，
所以是奇函数，
所以，，．
【小问2详解】
解：当时，．在区间上单调递增，理由如下：
证法一：，，且，
所以，，
因为，，，
所以，即．
进而有，即．
所以，在区间上单调递增．
证法二：，，且，
有
．
因为，，，，，
所以，
进而有，即．
所以，在区间上单调递增．
21. 党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为车辆密度，已知当道路密度时，交通流量，其中．
(1)求a的值；
(2)若交通流量，求道路密度x的取值范围；
(3)求车辆密度q的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)由题，待定系数解方程即可得答案；
(2)根据题意，解不等式即可得答案；
(3)由题知，进而分段研究最值即可得答案；
【小问1详解】
解：依题意，，即，故正数,所以，a的值为.
【小问2详解】
解：当时，单调递减，F最大为，故的解集为空集；
当时，由，解得，即
所以，交通流量，道路密度x的取值范围为．
【小问3详解】
解：依题意，，
所以，当时，；
当时，，
由于，所以，当时，q取得最大值．
因为，
所以车辆密度q的最大值为．
22. 已知，，其中且．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)用表示中的最大者，设，讨论零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】(1)根据二次函数值域可知，结合且可得结果；
(2)当或时，由(1)可知无零点；当时，由，结合可知恰有个零点；当和时，结合零点存在定理可确定的零点个数.
【小问1详解】
对，恒成立，，解得：，
又且，则实数的取值范围为.
【小问2详解】
①若或，则由(1)知：恒成立，此时无零点；
②若，则当时，，
又，恰有个零点；
③若，则当时，；
当时，，又，，，在区间内恰有个零点，则在区间内恰有个零点；
又，恰有个零点；
④若，则当时，；
当时，，又，，，在区间内恰有个零点，则在区间内恰有个零点；
又，恰有个零点．
综上所述：当时，的零点个数为；当时，的零点个数为；当时，的零点个数为．
【点睛】思路点睛：本题考查含参数函数零点个数的讨论，解题的基本思路是根据二次函数和对数函数的单调性，通过对参数范围的讨论，结合零点存在定理确定零点的个数.