初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.1 全等三角形达标测试

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一、单选题
1. ( 3分 ) 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）.
A. 甲乙 B. 甲丙 C. 乙丙 D. 乙
【答案】 C
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】由图形可知，甲有一边一角，不符合三角形全等的判断方法，不能判断两三角形全等，乙有两边及其夹角，可运用SAS判断两三角形全等，丙得出两角及其一角对边，可运用AAS判断两三角形全等，根据全等三角形的判定得，乙丙正确．
故答案为：C．
【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL(直角三角形)．
2. ( 3分 ) 如图，AD平分∠BAC ， AB＝AC ， 连接BD ， CD ， 并延长相交AC ， AB于点F ， E ， 则此图形中有几对全等三角形（ ）
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
【答案】 B
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB＝AC ， AD＝AD ， ∠1＝∠2；
∴△ABD≌△ACD；
∴∠B＝∠C；
又∵∠BAF＝∠CAE ， AB＝AC ，
∴△ACE≌△ABF；②
∴BE＝CF；
又∵∠BDE＝∠CDF
∴△BDE≌△CDF；③
∵∠1＝∠2，AD＝AD ， AE＝AF ，
∴△ADE≌△ADF ． ④
因此共有4对全等三角形．
故答案为：B ．

【分析】根据三角形全等的判定方法和性质定理，即可得到答案.
3. ( 3分 ) 如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（ ）
A. △ABC与△ABD不全等
B. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等
C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
【答案】 D
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意可知：AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，
满足有两边和其中一边的对角分别相等的三角形有△ABC与△ABD，而这两个三角形大小形状都不一样，故不确定.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件可知△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，但它们并不全等，从而得出SSA不能判定两个三角形全等.
4. ( 3分 ) 如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到 △ MBC≌ △ ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定 △ MBC≌ △ ABC的理由是（ ）
A. SAS B. AAA C. SSS D. ASA
【答案】 D
【考点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】在△ABC和△MBC中 {∠ABC=∠MBCBC=BC∠ACB=∠MCB ，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可.
5. ( 3分 ) 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】 A
【考点】角平分线的性质
【解析】【分析】过P作PF⊥AB于F，

∵点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC，PF⊥AB，PE=3，
∴PE=PF=3，
故选A．
6. ( 3分 ) 如图，已知 AC⊥BD ，垂足为 O ， AO=CO ， AB=CD ，则可得到 ΔAOB≅ΔCOD ，理由是( )
A. HL B. SAS C. ASA D. AAS
【答案】 A
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解:∵ AC⊥BD
∴∠AOB=∠COD=90°
在Rt△AOB和Rt△COD中
{AO=COAB=CD
∴ ΔAOB≅ΔCOD （HL）
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可．
7. ( 3分 ) 如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（ ）
A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. ∠1=∠2
【答案】 A
【考点】三角形全等的判定，平行四边形的性质
【解析】【解答】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD,AB=CD，所以∠ABD=∠CDB,所以要使△ABE≌△CDF，
若添加条件：∠1=∠2，可以利用ASA证明△ABE≌△CDF，所以D不符合题意，
若添加条件：BE=FD，可以利用SAS证明△ABE≌△CDF，所以B不符合题意，
若添加条件：BF=DE，可以得到BE=FD，可以利用SAS证明△ABE≌△CDF，所以C不符合题意；
若添加条件：AE=CF，因为∠ABD=∠CDB,不是两边的夹角，所以不能证明△ABE≌△CDF，所以A符合题意，
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质及平行线的性质，可证得AB=CD，∠ABD=∠CDB，要证△ABE≌△CDF，若利用SAS，可以添加BE=FD或BF=DE；若利用ASA，可以添加∠1=∠2，若利用AAS，可以添加∠AEB=∠DFC或∠AED=∠BFC，即可得答案。
8. ( 3分 ) 如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（ ）
A. 3：2 B. 4：6 C. 9：4 D. 不能确定
【答案】 A
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∵AD为∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
又AB：AC=3：2，
∴S△ABD：S△ACD=（ 12 AB•DE）：（ 12 AC•DF）=AB：AC=3：2．
故答案为：A．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得DE=DF，则△ABD与△ACD的面积之比等于线段AB与AC的比。
9. ( 3分 ) 如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：（1）△ABD≌△ACD；（2）AB=AC；（3）∠B=∠C；（4）AD是△ABC的角平分线．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】 D
【考点】三角形全等及其性质，直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AD=AD、∠ADB=∠ADC、BD=CD
∴（1.）△ABD≌△ACD正确；
∴（2.）AB=AC正确；
（3.）∠B=∠C正确；
∠BAD=∠CAD
∴（4）AD是△ABC的角平分线．
故选D．
【分析】先运用SAS证明△ABD≌△ACD，再得（1）△ABD≌△ACD正确；（2）AB=AC正确；（3）∠B=∠C正确；∠BAD=∠CAD（4）AD是△ABC的角平分线．即可找到答案．
10. ( 3分 ) 如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P ， 作PE⊥AC于E ， Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D ， 则DE的长为（ ）
A. 12 B. 1 C. 43 D. 不能确定
【答案】 B
【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
在△PFD和△QCD中，
{∠PFD=∠QCD∠PDF=∠QDCPF=CQ ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝ 12 AC，
∵AC＝2，
∴DE＝1．
故答案为：B．
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE= 12 AC即可．
二、填空题
11. ( 4分 ) 已知图中的两个三角形全等，则∠1等于________．
【答案】 58°
【考点】三角形内角和定理，三角形全等及其性质
【解析】【解答】如图,∠2=180°−50°−72°=58°，
∵两个三角形全等，
∴∠1=∠2=58°.
故答案为：58°.
【分析】先利用三角形内角和定理求出∠2的度数，然后根据全等三角形对应角相等，可得∠1=∠2，据此即得结论.
12. ( 4分 ) 已知△ADF≌△CBE,∠A=20°,∠B=120°,则∠CEB= ________.
【答案】 40°
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ADF≌△CBE，∴∠C=∠A=20°,∵∠B=120°,∴∠CEB=180°-∠C-∠B=180°-20°-120°=40°
故答案为：40°，
【分析】根据全等三角形的对应角相等得出∠C=∠A=20°,然后根据三角形的内角和即可算出∠CEB的度数。
13. ( 4分 )△ABC ≌ △DEF ，且 △ABC 的周长为 12，若AC=3，EF=4，AB= ________.
【答案】 5
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF=4,
∵△ABC的周长为12，AC=3,
∴AB=12-3-4=5.
故答案为：5.
【分析】利用三角形全等的性质得出BC=EF，从而求出AB的长.
14. ( 4分 ) 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ范围是________．
【答案】 大于等于2
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】PQ垂直OM时，PQ=PA=2最小，所以PQ范围是大于等于2.
【分析】根据垂线段最短和角平分线的性质得出，当PQ垂直OM时，PQ=PA=2最小，即可求出PQ的取值范围是大于等于2.
15. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为________.
【答案】 3
【考点】角平分线的性质，含30°角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，过点D作 DE⊥AB 于点E，
∵ ∠ACB=90° ， ∠ABC=60° ，
∴ ∠A=90°−60°=30° ，
∴ DE=12AD=3 ，
∵BD平分 ∠ABC ，
∴ CD=DE=3 ， ∠CBD=12∠ABC=30° ，
在 Rt△BCD 中， BD=2CD=6 ，
∵P是BD的中点，
∴ CP=12BD=3 .
故答案是：3.
【分析】过点D作 DE⊥AB 于点E，根据直角三角形中， 30° 所对的直角边是斜边的一半求出DE长，再根据角平分线的性质得CD=DE，再用一次刚才的定理求出BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CP的长.
16. ( 4分 ) 如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使A、C、E三点在一条直线上，这时测得________的长就等于AB的长．

【答案】 DE
【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据题意可知：
∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，
即 {∠B=∠D=90°BC=CD∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE．
故答案为：DE．
【分析】由对顶角相等，两个直角相等及BD＝CD，可以判断两个三角形全等；所以AB＝DE．
17. ( 4分 ) 如图，△OAD≌△OBC，且∠O=72°，∠C=20°，则∠AEB=________°．
【答案】 112
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠C=∠D=20°，
在△AOD中，∠CAE=∠D+∠O=20°+72°=92°，
在△ACE中，∠AEB=∠C+∠CAE=20°+92°=112°．
故答案为：112．
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
18. ( 4分 ) 如图， ΔABC 中， ∠ACB=90∘,AC=6,BC=8 .点 P 从点 A 出发沿 A→C→B 路径向终点 B 运动；点 Q 从 B 点出发沿 B→C→A 路径向终点 A 运动.点 P 和 Q 分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过 P 和 Q 作 PE⊥l 于 E ， QF⊥l 于 F .则点 P 运动时间等于________时， △PEC 与 △QFC 全等。
【答案】 1或3.5或12秒
【考点】三角形全等及其性质，三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC，
∵△PEC≌△QFC，
∴斜边CP=CQ，
有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，
CP=6-t，CQ=8-3t，
∴6-t=8-3t，
∴t=1；
②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，
∴CP=6-t=3t-8，
∴t=3.5；
③P在BC上，Q在AC时，此时不存在；
理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上时，P应也在AC上；
④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，
∵CQ=CP，CQ=AC=6，CP=t-6，
∴t-6=6
∴t=12
∵t＜14
∴t=12符合题意。
故答案为： 1或3.5或12秒。
【分析】设运动时间为t秒时，根据全等三角形的性质，斜边CP=CQ，然后分类讨论：①P在AC上，Q在BC上，根据路程等于速度乘以时间及线段的和差得出CP=6-t，CQ=8-3t，从而列出方程求解即可；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，根据CP=6-t=3t-8，列出方程，求解即可；③P在BC上，Q在AC时，此时不存在；④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，由于CQ=CP，CQ=AC=6，CP=t-6，从而列出方程，求解即可，综上所述即可得出答案。
三、解答题
19. ( 7分 ) 如图，线段 AC 、 BD 相交于点 E , AE=DE , BE=CE .求证： ∠B=∠C .
【答案】 证明：在△AEB和△DEC中，
{AE=DE∠AEB=∠DECBE=CE
∴△AEB≌△DEC
故 ∠B=∠C .
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据已知条件判定 △AEB≌△DEC ，再据其性质得∠B=∠C。
20. ( 7分 ) 如图，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=11，BC=7，求线段AB的长.
【答案】 解：∵△ACF≌△DBE，∴AC=DB，
∴AC–BC=DB–BC，即AB=CD，
∵AD=11，BC=7，
∴AB= 12 （AD–BC）= 12 ×（11–7）=2，
即AB=2.
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形对应边相等，可得AC=DB，从而可得AB=CD，利用AB=12（AD–BC）即可求出结论.
21. ( 7分 ) 如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=70°，BD平分∠ABC，求∠DBC的度数.
【答案】 解：∵∠A=36°，∠C=70°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C
=180°-36°-70°
=74°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC= 12 ∠ABC= 12 ×74°=37°．
即：∠DBC的度数为37°．
【考点】三角形内角和定理，角平分线的性质
【解析】【分析】在三角形ABC中，根据∠A和∠C的度数，根据三角形的内角和为180°即可求出∠ABC的度数；因为BD为∠ABC的角平分线，所以即可求出∠DBC的度数。
22. ( 7分 ) 已知：如图，AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC．试问BE与CF的关系，并加以说明．
【答案】 解：BE=CF．
理由：∵∠B=90°，
∴BD⊥AB．
∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC，
∴DB=DF．
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
{DE=DCDB=DF ，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），
∴BE=CF
【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【解析】【分析】先由角平分线的性质就可以得出DB=DF，再证明△BDE≌△FDC就可以求出结论．
23. ( 7分 ) 如图，在矩形 ABCD 中， O 为对角线 AC 的中点，过点 O 作直线分别与矩形的边 AD ， BC 交于 M ， N 两点，且 MN⊥AC ，连接 CM ， AN ．求证：四边形 ANCM 为菱形．
【答案】 证明：∵在矩形 ABCD 中， O 为对角线 AC 的中点
∴ AD//BC ， AO=CO
∴ ∠OAM=∠OCN
在 △AOM 和 △CON 中 {∠OAM=∠OCNAO=CO∠MOA=∠NOC
∴ △AOM≌△CON(ASA)
∴ AM=CN
又∵ AM//CN
∴四边形 ANCM 为平行四边形
又∵ MN⊥AC
∴平行四边形 ANCM 为菱形．
【考点】三角形全等的判定，菱形的判定，矩形的性质
【解析】【分析】图形中已连接了对角线AC、MN，故此证明对角线互相垂直是本题判断菱形的首选思路。
24. ( 8分 ) 已知：如图，AB=EF，BC=FD，AD=EC，求证：∠B=∠F．
【答案】 证明：∵AD=CE，
∴AD﹣DC=CE﹣DC即AC=ED．
在△ABC和△EFD中，
{AB=EFBC=FDAC=ED ，
∴△ABC≌△EFD（SSS）．
∴∠B=∠F．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由已知条件先根据SSS判定△ABC≌△EFD，从而由三角形全等的性质求得∠B=∠F．
25. ( 15分 ) 在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC．
【答案】 证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△BAD和△CAD中，
{AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD ，
∴△BAD≌△CAD（ASA），
∴∠ADB=∠ADC，
∵∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】证△BAD≌△CAD，推出∠ADB=∠ADC，求出∠ADB=90°即可．也可以根据等腰三角形的性质求出AD⊥BC．