福建省南平市2018-2019学年高二上学期期末质量检测数学（理）试题 Word版含解析

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福建省南平市2018-2019学年高二上学期期末质量检测
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线方程直接求解。
【详解】由抛物线得：，
所以，所以抛物线的焦点坐标是：
故选：A
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题。
2.若，，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
解出,由充分、必要条件概念判断即可
【详解】因为，所以,
所以且，所以是的充分不必要条件
故选：A
【点睛】本题主要考查了充分、必要条件的概念，属于基础题。
3. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
: 取出的2张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，CC÷C=
4.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ）
A. 1 B. C. -1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出与的坐标，利用它们互相垂直列方程即可求解。
【详解】因为向量，，
所以=，=，
又与互相垂直，所以，
即：，解得：
故选：B
【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示及向量的坐标运算，属于基础题。
5.一箱产品中有正品4件，次品2件，从中任取2件，以下事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件次品和全是正品，其中互斥事件为（ ）
A. ① B. ①② C. ②③ D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】
由互斥事件的概念直接判断即可。
【详解】由互斥事件的概念可知①中两个事件互斥，
对于②中，至少有1件次品包括全是次品，所以②中两个事件不互斥。
对于③中，至少有1件次品包括：一件次品一件正品，两件都是次品，所以至少有1件次品和全是正品是互斥事件。
故选：D
【点睛】本题主要考查了互斥事件的概念，属于基础题。
6.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为（ ）
A. 3,7 B. 5,5 C. 3,5 D. 5,7
【答案】C
【解析】
【分析】
由这两组数据的中位数相等，且平均值也相等列方程组即可求解。
【详解】因为这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，
所以，解得：
故选：C
【点睛】本题主要考查了茎叶图及样本数据的平均数、中位数定义，考查方程思想，属于基础题。
7.执行如图所示的程序框图，若输入的的值分别为0和9，则输出的的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由流程图逐步执行即可。
【详解】
，
不满足
，
，
不满足
，
，
满足
输出：
故选：A
【点睛】本题主要考查了流程图知识，考查计算能力，属于基础题。
8.三棱锥中，点在棱上，且，则为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量加减运算及数乘运算求解即可。
【详解】由题得：
=
=
=
故选：D
【点睛】本题主要考查了空间向量的加减运算，数乘运算，属于基础题。
9.如图椭圆内切于矩形，其中矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96粒，以此实验数据为依据，可以估计出椭圆的面积约为（ ）
A. 7.68 B. 8.68 C. 16.32 D. 17.32
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可估计出黄豆在椭圆内的概率，由概率列方程即可估计椭圆的面积
【详解】由题可估计出黄豆在椭圆内的概率为：，
又，解得：
故选：C
【点睛】本题主要考查了概率模拟及其应用，属于基础题。
10.已知双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由渐近线方程为可设双曲线的标准方程是：
将点代入上方程即可求出，问题得解。
【详解】因为渐近线方程为，
所以可设双曲线的标准方程是：，
将点代入上方程得：，所以，
所以双曲线的标准方程是：.
故选：D
【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质及方程思想，属于基础题。
11.正方体中，与平面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
连接交于点E，连接AE，求角即可。
【详解】如图，连接交于点E，连接AE，
正方体中，证得： 平面，
所以与平面所成的角为，
设正方体的边长为，
在中，求得：，，
,所以，
故选：A
【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出对应的一个平面角，解三角形即可，属于基础题。
12.中心在原点的椭圆与双曲线有相同的焦点，，为与在第一象限的交点，若，且，椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由可得:,由椭圆的离心率求得，利用双曲线离心率列方程得到关于的一个函数，求该函数取值的范围即可。
【详解】依题作出图像如下：
由可得:，且
又，解得：，
所以双曲线的离心率=
故选：B
【点睛】本题主要考查了椭圆、双曲线的简单性性质，考查了函数思想，属于基础题。
第Ⅱ卷
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
利用是的中位线求得,再利用椭圆定义列方程即可求解。
【详解】如图，是的中位线，
由得：，
由椭圆得：，即：
又，
解得：。
【点睛】本题主要考查了三角形中位线结论及椭圆的定义、标准方程，属于基础题。
14.若“，”是真命题，则实数的最小值为____．
【答案】1
【解析】
【分析】
求出（）的最大值即可。
【详解】因为在单调递增，
所以，
“，”可转化为，
所以
所以实数的最小值为1。
【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想及函数的单调性，属于基础题。
15.若双曲线的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为___．
【答案】2
【解析】
【分析】
求出双曲线的渐近线方程：，利用渐近线与圆相切列方程即可求解。
【详解】双曲线的渐近线方程：，即，
圆的圆心为：，半径为：，
圆心到渐近线的距离为：，
又渐近线与圆相切，
则，即：，整理得：
所以双曲线的离心率为：
【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的几何关系及双曲线的简单性质，考查计算能力，属于基础题。
16.在中国古代数字经典著作《九章算术》中称如图所示的五面体为“刍甍”（chumeng），若此“刍甍”的底面是矩形，“上袤”的长为2，“下袤”的长为4，“广”的长为1，“高”即“点到底面的距离”为1，则此“刍甍”的体积为___．
【答案】
【解析】
【分析】
把该几何体补成一个三棱柱，如图
计算出,即可求得，从而求得三棱柱的体积，又是三棱柱的，问题得解
【详解】把该几何体补成一个三棱柱，如图
则点E是FM的中点，
又，所以，
所以，
所以“刍甍”的体积为：.
【点睛】本题主要考查了补形法及体积计算、考查转化能力，属于基础题。
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设命题：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题，.若“”为真命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
求出命题成立的的范围，再求出命题成立的范围，利用“”为真命题列不等式组即可得解。
【详解】若为真命题，则
得：
若为真命题：则：
得：
所以由：，得：，
所以实数的范围为.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程形式及一元二次不等式恒成立问题，考查复合命题的真假判断，属于基础题。
18.某校两个班级100名学生在一次考试中的成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区如下表：
（1）求频率表分布直方图中的值；
（2）根据频率表分布直方图，估计这100名学生这次考试成绩的平均分；
（3）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.
【答案】(1) a=0.005;(2) 74.5;(3)见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；
（Ⅱ）均值为各组组中值与该组频率之积的和；
（Ⅲ）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解．
试题解析：
解：（Ⅰ）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．
（Ⅱ）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，
[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5
（Ⅲ）由直方图，得：
第3组人数为0.3×100=30，
第4组人数为0.2×100=20人，
第5组人数为0.1×100=10人．
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：
第3组：人，
第4组：人，
第5组：=1人．
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），
其中恰有1人的分数不低于9（0分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为.
考点：①频率分布直方；②平均数的求法；③古典概率．
19.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，，两点，且.
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值.
【答案】（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.
【解析】
试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.
试题解析：
(1)直线AB的方程是y＝2（x-2），与y2＝8x联立，消去y得x2－5x＋4＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝5.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
(2)由x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
【点睛】求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.
20.某零售公司从1月至6月的销售量与利润的统计数据如下：
（1）根据2月至5月4个月的统计数据，求出关于的回归直线方程.（的结果用分数表示）；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与实际数据的误差均不超过1万元，则认为得到的回归直线方程是有效的.试用1月和6月的数据估计所得的回归直线方程是否有效？
参考公式：，.
参考数据：，.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
【分析】
（1）分别计算出，，从而求得，即可求得，问题得解。
（2）将的取值代入回归方程即可求得预测函数值，检验即可。
【详解】（1）由已知得：
所以，所求回归直线方程为：.
（2）当时，，误差，
当时，，误差，
因为误差均不超过1万元
故所得的回归直线方程是有效的.
【点睛】本题主要考查了线性回归方程及其应用，属于基础题。
21.如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形且垂直于底面，底面是矩形，，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）证明CEAD，结合CEPD，即可证得平面。
（2）建立空间直角坐标系，分别求出各点坐标，由直线与直线所成角的余弦值为求得点F的坐标，再求出平面，平面的法向量，利用法向量夹角公式得解。
【详解】（1）平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，.
侧面是等边三角形且是的中点
又
平面
（2）如图，以为原点，以为轴正方向，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，
，，
点在棱上，设，
则，
直线与直线所成角的余弦值为.
又，解得：
即为的中点
，，
设平面的法向量为，则
令，则
设平面的法向量为，则
令，则
二面角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查了线面垂直的判断，考查转化思想，还考查了平面法向量的求法、利用空间向量求二面角的平面角大小、利用向量求线线夹角，考查计算能力，属于基础题。
22.已知点和直线，为曲线上一点，为点到直线的距离且满足.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点作曲线的两条动弦，若直线斜率之积为，试问直线是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）设点为曲线上任一点，由列方程整理即可。
（2）先判断直线斜率存在，设直线的方程为，设，联立直线与椭圆方程，表示出，，由直线斜率之积为得到，化简得到，求得，问题得解。
【详解】（1）设点为曲线上任一点，
则依题意得：，
化简得：
曲线的轨迹方程为：.
（2）一定经过一定点.
设，当直线的斜率不存在时，设的方程为，
则：，
，不合题意.
故直线的斜率存在，
设直线的方程为，并代入椭圆方程，
整理得：，①
由
得：.②
设，则是方程①的两根，由根与系数的关系得：
，，
由
得：，
即，
整理得：
又因为，所以，
此时直线的方程为.
所以直线恒过一定点.
【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，考查了两点斜率公式及韦达定理，考查计算能力及方程思想，计算难度较大，属于中档题。
组号
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
分组
月份
1
2
3
4
5
6
销售量/万件
6
8
12
13
11
10
利润/万元
12
16
26
29
25
22