福建省厦门市2018_2019学年高二数学上学期期末质量检测试题理（含解析）

这是一份福建省厦门市2018_2019学年高二数学上学期期末质量检测试题理（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题“”为真，“”为真，则下列说法正确的是（ ）
A. 真真 B. 假真 C. 真假 D. 假假
【答案】B
【解析】
【分析】
根据逻辑或真假判断的真值表， p是假命题，又“”为真命题，进而可得q是真命题．
【详解】解：命题“ ”和命题“非”均为真命题，
为假命题，为真命题，
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假判断，熟练掌握复合命题真假判断的真值表是解答的关键．
2.双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用双曲线的方程直接求解渐近线方程即可．
【详解】解：双曲线即，其中a=2，b=1，
故其渐近线方程是：．
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的求法，是基础题．
3.记为等差数列的前项和，若，，则的公差等于（ ）
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由等差数列的前项和公式可得，解可得，又由，可得，由等差数列的通项公式分析可得答案．
【详解】解：根据题意，等差数列中，若，即，
则，
又由，则，
则等差数列的公差；
故选：D
【点睛】本题考查等差数列的性质以及前项和的性质，注意等差数列通项公式的应用，属于基础题．
4.若实数，满足约束条件则的最大值是（ ）
A. -7 B. -1 C. 1 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．
【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），
由得，
平移直线，
由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，
此时最大．
由，解得，解得，
代入目标函数得．
即目标函数的最大值为1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
5.若，且，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据基本不等式，,
又ab,;
由a>b，易知a+b故.
故选：A.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于简单题．
6.如图，在平行六面体中，为的中点，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间向量的几何运算可得结果．
【详解】根据向量的三角形法则得到
.
故选：A.
【点睛】本题考查空间向量以及线性运算，属于基础题.
7.在中，，，，则的面积是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据正弦定理求出角，从而求出角，再根据三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：由，，，
根据正弦定理得：，
为三角形的内角，
或，
或
在中，由，，或
则面积或．
故选：C.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．
8.已知，，若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据是的必要条件，列不等式方程确定实数的取值范围．
【详解】解：设满足p的实数集合为M,满足q的实数集合为N，
是的必要条件 ，即
解得.
故选：D.
【点睛】本题考查必要条件的定义，属于基础题.
9.已知，则的最小值是（ ）
A. 4 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
进行等式变换后，根据基本不等式求解.
【详解】由，根据基本不等式，
.
当且仅当，即时有最小值9.
故选：C.
【点睛】本题主要考查基本不等式的运用．属于基础题.
10.记为数列的前项和，若，，则的最大值为（ ）
A. -1 B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由，将已知项变形得=，同除以，可得出为等差数列，从而得出，再利用单调性即可得解.
【详解】解：
=，等号两侧同除以，得到
,
又,
是以11为首项，以-2为公差的等差数列.
故 ，
，由单调性可知，当n=6时，的最大值为1.
故选：C.
【点睛】本题考查了数列与的关系和运算能力，考查了函数单调性，属于中档题.
11.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是棱的中点，与平面交于点，设,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将平面ABE延展,再利用三角形相似得出点F位置，从而得解.
【详解】解：过点D作垂直于平面ABCD的直线交AE延长线于点M，连接MP、MB，
由题意知平面，PA=AD,且E为DP中点，
所以四边形MPAD为正方形，
,
M,P,B,C四点共面，MB与PC交与点F.
,F为PC三等分点(靠近点C)
又，
.
故选：C.
【点睛】本题考查平面延展和三角形相似，属于中档题.
12.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆和双曲线的定义，分别列出关系式再做差，得出椭圆双曲线“复合”光学装置中光线路程；然后计算单椭圆光学装置中光线路程，两者相比可得出椭圆长半轴和双曲线实半轴的关系，即可得两离心率的关系.
【详解】解：如图，由双曲线定义得： ①，
由椭圆定义得： ②，
②-①得：；
所以椭圆双曲线“复合”光学装置中，光线从出发到回到左焦点走过的路程为
对于单椭圆光学装置，光线经过2次反射后回到左焦点，路程为
；
由于两次光速相同，路程比等于时间比，所以，所以.
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查对圆锥曲线的定义的掌握与应用能力、识图能力、阅读及文字理解能力，属于基础题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.对任意，都有，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式转化为方程，根据判别式求解.
【详解】根据题意，m需满足方程=0无解，即，

故答案为：.
【点睛】本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系，属于基础题.
14.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为和，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度为______米.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．
【详解】解：由题意可知，，，，
．
故答案为：.
【点睛】本题给出实际应用问题，着重考查了三角函数的定义，属于简单题．
15.已知点，，分别是轴、轴上的动点，且满足.若点满足，则点的轨迹方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】
设点M,N,P三点坐标，根据平面向量垂直特性，列出方程可得结果.
【详解】解：设点M坐标（a,0），N坐标（0，b），点P坐标（x,y）,
则=（-1，b），=（-a,b）， ，
而=,=,
,代入可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了平面向量垂直的乘积和点的轨迹方程的求法，属于简单题.
16.记为数列的前项和，若，，，则等于______.
【答案】131
【解析】
【分析】
根据计算得出，再依次计算出的值，遂得出的值.
【详解】解：根据，
，
，，，从而，.
故答案为：131.
【点睛】本题考查了数列递推式的运用和运算能力，属于中档题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.在中，角所对的边分别是，.
（1）求角的大小；
（2）是边上的中线，若，，求的长.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由于，可得：，结合范围，可求的值．
（2）由三角形面积公式可求，进而利用余弦定理可得，即可解得的值．
【详解】解：（1）在中，，由正弦定理得，
∵，∴，
∴，即，
∵，∴.
（2）在中，，，，∴，
∴，
∵是的中线，∴，
在中，由余弦定理得
.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.记为等比数列的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知得到的值，再利用得出q的值，进而得到的值，即得到数列的通项；
（2）由（1）可得到，再利用错位相减，可得解.
【详解】解：（1）∵，，∴，
∴，
∴，即，
∴数列的通项公式为.
（2）由得，即，∴，
∴，①
，②
由①-②得，
∴ .
【点睛】本题考查等比数列的通项、错位相减数列求和等知识，属于基础题.
19.如图，四边形是矩形，，，且，，
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理，求得AC长度，结合FA,FC长度，从而证明FAAC，又由FABA,故FA平面ABCD;
（2）建立空间直角坐标系，根据条件求出平面和平面的法向量，利用法向量夹角余弦值可得二面角余弦值.
【详解】解：（1）∴，
∴，即，
∴，即.
∵四边形为矩形，∴.
∵，，，
∴.
（2）∵，，∴，
∵，，∴，
∴，，两两互相垂直，
建立如图空间直角坐标系，则，，，，，
∴，
∵，
∴平面的一个法向量
设平面的一个法向量为，则
，即，
取，则，，，
∴，
∴二面角的余弦值为.
【点睛】本题主要考査直线与平面位罝关系，利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考査数形结合思想、转化与化归思想.
20.设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，若与圆相切，求的面积
【答案】（1）（2）16
【解析】
【分析】
（1）结合已知条件，根据抛物线定义列出方程可得解；
（2）设出直线方程，与抛物线联立，结合面积公式和韦达定理即可得解.
【详解】解：（1）由抛物线定义，点到准线的距离①
∵点在抛物线上，∴ ②
由①②解得，
∴抛物线方程为.
（2）设直线方程为，，，
∵直线与圆相切，∴，即
由，得，
∴
.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义与标准方程，直线与抛物线、圆的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、函数与方程思想，属于基础题.
21.某公司计划在办公大厅建一面长为米的玻璃幕墙.先等距安装根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃.一根立柱的造价为6400元，一块长为米的玻璃造价为元.假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为元（总造价=立柱造价+玻璃造价）.
（1）求关于的函数关系式；
（2）当时，怎样设计能使总造价最低？
【答案】（1）且；（2）安装8根立柱时，总造价最小.
【解析】
【分析】
（1）分析题意，建立函数关系模型，即可得出函数关系式；
（2）由（1）将函数解析式变形，根据基本不等式，即可求出最值.
【详解】解：（1）依题意可知，所以，
（2）
∵，且，∴.
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
又∵，∴当时，.
所以，安装8根立柱时，总造价最小.
【点睛】本题主要考查函数、基本不等式等知识：考查运算求解能力、数学应用意识；考查函数与方程、化归转化等数学思想，属于中档题.
22.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，.
（1）求的方程；
（2）过点且与轴不重合的直线与交于，两点，直线，分别与直线交于，两点，且以为直径的圆过点.
（ⅰ）求的方程；
（ⅱ）记，的面积分别为，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的定义，根据条件列出方程求解即可；
（2）（ⅰ）设M,N坐标分边为，，直线的方程为，结合椭圆方程可得BM、BN方程，并得出点P、Q坐标的表达式，根据圆过点，故向量，列方程可得m的值；（ⅱ）由（ⅰ），将，的面积，转换为、的表达式，相比可得出的取值范围.
【详解】解：（1）依题意得，即，
∴，解得，
∴椭圆的方程为.
（2）（ⅰ）设，，直线的方程为.
由得，
显然，且，，
直线方程为，直线方程为，
令，得，，
∵以为直径的圆过点，∴，
∴
，
∴，解得或（舍去），
∴的方程为.
（ⅱ）由（ⅰ），
，
∴.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位罝关系、三角形面积公式等知识，考查运算求解能力、推理论证能力：考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想.