专题强化训练二 空间向量及其应用重难点必刷专题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

这是一份专题强化训练二 空间向量及其应用重难点必刷专题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，平行六面体中，与交于点，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知空间向量，且与垂直，则等于（ ）
A．4B．1C．3D．2
3．已知向量是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量是直线的一个方向向量，则且是l⊥α的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则（ ）
B．
C．D．
5．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知a、b是相互垂直的异面直线，分别为取自直线a、b上的单位向量，且=2+3，=k－4，，则实数k的值为（ ）．
A．－6B．6C．3D．－3
7．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）．
A．B．97C．D．61
8．给出下列命题
①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；
③若满足，且同向，则；
④零向量没有方向；⑤对于任意向量，必有．
其中正确命题的序号为（ ）
A．①②③B．⑤C．④⑤D．①⑤
9．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）.
A．A､B､DB．A､B､CC．B､C､DD．A､C､D
10．如图中，已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量，，表示向量，设，则，，的值分别为（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
11．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ）
A．B．
C．D．
12．在四面体O－ABC中，G是底面△ABC的重心，且＝x＋y＋z，则lg3|xyz|等于（ ）
A．－3B．－1
C．1D．3

二、多选题
13．如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为60°，为锐角，且侧面底面，下列四个结论正确的是（ ）
A．B．
C．直线与平面所成的角为45°D．
14．在正方体中，设，，，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
15．已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A．与是共线向量
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
16．下列四个选项说法正确的是（ ）
A．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底．
B．若空间的三个向量共面，则存在惟一的实数λ，μ，使
C．若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，
D．若两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则
17．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，.则下列正确的是（ ）
A．B．
C．的长为D．
18．下列命题中不正确的是（ ）.
A．若､､､是空间任意四点，则有
B．若，则､的长度相等而方向相同或相反
C．是､共线的充分条件
D．对空间任意一点与不共线的三点､､，若()，则､､､四点共面
19．设所有空间向量的集合为，若非空集合满足：①，，②，，，则称为的一个向量次空间，已知，均为向量次空间，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．为向量次空间
C．若，则
D．若，则，总且，使得
20．如图，在正方体中，、、分别为、、的中点，则（ ）
A．B．平面
C．D．向量与向量的夹角是


三、填空题
21．已知空间直角坐标系中，点，，若，，则________．
22．若，，与的夹角为，则的值为________.
23．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（O为坐标原点）__________.
24．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，到，，，的距离都等于2．给出以下结论：
①；②；③；④；⑤．
其中正确结论的序号是______．
25．如图，在直三棱柱中，，，点､､分别是､､的中点，点是上的动点.若，则线段长度为___________.
26．已知是空间五点，且任何三点不共线，若与均不能构成空间的一个基底，则有下列结论:
①不能构成空间的一个基底； ②不能构成空间的一个基底；
③不能构成空间的一个基底； ④能构成空间的一个基底．
其中正确的有_______个．
27．如图，已知空间四边形，其对角线为、，是边的中点，是的重心，则用基向量，，表示向量的表达式为___________.

四、解答题
28．如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为的重心，
（1）求证：；
（2）化简：.
29．已知，．
（1）若，求的值．
（2）若，求实数的值．
（3）若，求实数的值．
30．如图，已知正四棱锥，点是正方形的中心，是的中点．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
31．如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
参考答案
1．D
【详解】
.
故选：D.
2．A
【详解】
由于与垂直，所以.
故选：A
3．B
【详解】
当不共线时，由且，可推出l⊥α；当为共线向量时，由且，不能够推出，所以且是l⊥α的不充分条件；
若，则一定有且，所以且是l⊥α的必要条件.
故选：.
4．B
【详解】
.
故选：．
5．A
【详解】

故选：A
6．B
【详解】
因为a、b是异面直线，且a⊥b，分别为取自直线a、b上的单位向量，
所以，有
又=2+3，=k－4，，
得，即(2+3).(k－4)=0，
有2k－12=0，所以k=6.
故选：B
7．C
【详解】
∵
，
∴，
故选：C.
8．B
【详解】
对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误；
对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误；
对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误；
对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，故④错误；
对于⑤，为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确．
综上，正确的命题只有⑤，
故选：.
9．A
【详解】
因为，所以，又有公共点，所以A､B､D三点共线，故选项A正确；
显然不共线，所以、、三点不共线，故选项B错误；
显然不共线，所以、、三点不共线，故选项C错误；
因为，所以不共线，从而、、三点不共线，故选项D错误.
故选：A.
10．D
【详解】
解：，分别是对边，的中点，
，.
点在线段上，且分所成的定比为，
.
.
即，，.
故选：D.
11．C
【详解】
解：如图，以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
因为，
所以，，,
所以点P到AB的距离．
故选：C.
12．A
【详解】
如图所示：
连接AG，
则，
，
所以，
所以，
故选：A
13．ACD
【详解】
如图，过作，为垂足，连结，如图建立空间直角坐标系
对于A选项，侧棱与底面所成角为，为锐角，且侧面底面，，又三棱柱的各棱长相等，可知四边形为菱形，，故A选项正确；
对于B选项，易知
，故B选项不正确；
对于C选项，由题意可知即为与平面所成的角，
，，故C选项正确；
对于D选项，，
因此，故D选项正确.
故选：ACD
14．AC
根据向量的线性运算法则，根据正方体性质，结合图象，分析可得：
对于A：，由图象可得三个向量不共面，所以，，不共面，故A正确；
对于B：，由图象可得三个向量共面，所以，，共面，故B错误；
对于C：由图象可得三个向量不共面，所以，，不共面，故C正确；
对于D：，由图象可得共面，所以，，共面，故D错误.
故选：AC
15．CD
【详解】
对于，不存在实数，使得，所以与不是共线向量，所以错误;
对于，因为，所以与共线的单位向量为或，所以错误;
对于，向量，所以，所以C正确;
对于，设平面的法向量是，因为，所
以，即，令，则，所以D正确．
故选：.
16．ACD
【详解】
解：对于A：已知向量，，是空间的一组基底，即向量，，不共面，则向量，，也不共面，向量向量，，是空间的一个基底，故A正确；
对于B：当时，若三个向量共面，即与共面，则不一定存在实数λ，μ，使，故B错误；
对于C：根据直线的方向向量的定义可知，，故C正确；
对于D：因为两平面的法向量，，所以，即，所以，故D正确；
故选：ACD
17．BD
【详解】
由空间向量的加法法则得，B正确，
，A错误；
由已知，
，C错；
，D正确．
故选：BD．
18．ABD
【详解】
A选项，而不是，故A错，
B选项，仅表示与的模相等，与方向无关，故B错，
C选项，，
即，
即，与方向相反，故C对，
D选项，空间任意一个向量都可以用不共面的三个向量､､表示，
∴､､､四点不一定共面，故D错，
故选ABD.
19．BCD
若为的一个向量次空间，则由②，，可知，，
再结合①可得向量次空间包含元素
所以向量次空间所包含的元素对应的点为穿过空间坐标系原点的一条直线，
或者经过空间坐标系原点的一个平面，或者是整个空间.
对于A，显然当，均为向量次空间时，，所以A正确；
对于B，当，分别为空间中经过原点的两条不同的直线时，取，且不为，
则，不符合①，所以B错误；.
对于C，例如对应一条过原点的直线，对应一个过直线的平面时，满足，
但，C错误；
对于D，当，分别对应空间中两条过了原点，但是不相互垂直的直线时，不成立，D错误.
故选：BCD
20．BC
【详解】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则、、、、、、、、、、.
对于A选项，，，则，故A选项错误；
对于B选项，设平面的法向量为，，，
由，可得，取，可得，，
，，平面，平面，故B选项正确；
对于C选项，，，，故C选项正确；
对于D选项，，，，
所以，向量与向量的夹角是，故D选项错误.
故选：BC.
21．
∵，，∴，
∵，∴存在，使得，
∴，解得，
∴或．
故答案为：或
22．或
由已知，，
，解得或.
故答案为：或.
23．
【详解】
设，则，
因为点Q在直线OP上运动，所以，
所以，即，，
所以，
所以
，
所以当时，取得最小值，此时点Q的坐标为.
故答案为：.
24．③④
【详解】
由图象可知，①错误.
，②错误.
，所以③正确；
底面是边长为1的正方形，，所以，，而，，因此④正确.
由于数量积是数量，不是向量，所以⑤错误.
故答案为：③④
25．
【详解】
因为三棱柱是直三棱柱，且
所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，点､､分别是､､的中点，
所以，，，
因为点是上的动点，设，所以，
因为，所以，解得：，
所以，，
所以，即线段长度为，
故答案为：.
26．3
是空间五点，因不能构成空间的一个基底，则点A，B，C，D共面，而点A，B，C不共线，
即点D在点A，B，C确定的平面内，因不能构成空间的一个基底，同理，点E在点A，B，C确定的平面内，
于是得空间五点共面，从而得五点中每两点确定的所有向量都共面，因此，①②③正确，④错误，
所以正确的有3个.
故答案为：3
27．
【详解】
如图所示，连AG延长交BC于，
故答案为：.
28．（1），①，②
，③，
①+②+③得.
（2）因为，
所以，
，
.
29．（1）．（2）．（3）
【详解】
（1）由已知可得，，
．
（2），，
，
存在实数使得，
联立解得：.
（3），
即，解得.
30．（1）；（2）.
(1)因为=
=，
所以.
(2)因为O为AC中点，Q为CD中点，
所以
所以，
所以
所以.
31．
联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，
则
.
联结DM，点，，，M共面，故存在实数，
满足，即，
因此，
由空间向量基本定理知，
，
故，为定值.
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