专题强化训练三 向量与立几25道必刷解答题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

这是一份专题强化训练三 向量与立几25道必刷解答题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册），共36页。

（1）求证：；
（2）若的大小为，求的正弦值．
2．如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于，平面，为的中点，点在上，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
3．如图，四边形是直角梯形，∥，，，，平面，为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．
4．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求点到平面的距离；
（4）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.
5．如图，在四棱锥中，底面，四边形中，，.
（1）求证：平面平面；
（2）设，若直线与平面所成角大小为30°，求线段的长.
6．如图1，在等腰中，，D，E分别为，的中点，F为的中点，G在线段上，且.，将沿折起，使点A到的位置（如图2所示），且.
（1）证明：平面；
（2）求平面平面所成锐二面角的余弦值.
7．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面，平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.
8．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，.
（1）求与平面所成角的正弦；
（2）求点到面PBC的距离.
9．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是等边三角形，为的中点，为的中点，.
（1）求证：平面.
（2）求平面与平面所成锐角的余弦值.
10．如图所示，在等腰梯形中，，，，，平面，．
（1）求证：平面；
（2）若为线段上一点，且，是否存在实数，使平面与平面所成锐二面角为？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．
11．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是中点.
（1）求直线与平面的夹角余弦值；
（2）求平面和平面的夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
12．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60，DEAB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1DDC，如图2.
（1）求证：A1E平面BCDE；
（2）求二面角E—A1B—C的余弦值.
13．如图，四棱锥中，底面是梯形，，，是等边三角形，是棱的中点，，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
14．如图，在多面体中四边形是正方形，平面，平面，．
（1）证明：平面平面．
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
15．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．
（1）求证平面；
（2）若点为的中点，线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由．
16．如图1，在平面四边形ABCD中，BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，点E为AB的中点，M为线段AC上的一点，且ME⊥AB.沿着AC将△ACD折起来，使得平面ACD⊥平面ABC，如图2.
（1）求证∶BC⊥AD；
（2）求二面角A-DM-E的余弦值.
17．如图，在底面为矩形的四棱锥中，为棱上一点，底面．
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的大小．
18．如图在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，E为中点，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．如图，在四棱锥中，平面平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，.
（1）求证：；
（2）若为棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值.
20．如图①，在直角梯形中，，，，的是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图②．
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
21．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
22．如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
23．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
24．（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
25．如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．
（1）取的中点，连接，，，如图，
因为正三角形，则，又底面是菱形，且，则是正三角形，于是得，
而，平面，则平面，又平面，
所以；
（2）由(1)知的平面角为，即，，
显然平面平面，在平面内过作，平面平面，则平面，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
，
设的大小为，从而得，
所以的正弦值为.
2．
（1）设交于，连结，因为，分别是，的中点，则G为的重心，所以，易知O为AC的中点 ，所以．又因为，所以，所以∥，又因为平面，平面，所以∥平面．
（2）如图，以为原点，OA，OB，OP分别为，，轴，建立空间直角坐标系．
设．在菱形中，因为，所以是等边三角形，故．
又因为，平面，所以．
所以，，，，
所以，，，
设平面（即平面）的一个法向量为，由，取，则.
设平面PAB（即平面FAB）的一个法向量为，由，
取a=1，则.
所以．
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
3．
（1）取的中点，连接，，又∵是的中点，∴∥，.
∵∥，，
∴∥，且，
∴四边形是平行四边形，
∴∥，
∵平面，平面，
∴∥平面.
（2）∵AB∥DC，AB⊥AD，
∴∠ADC=90°，由AB=AD=1，则，且∠ADB=45°，
∴∠BDC=45°，
∵DC=2，则在中，由余弦定理：，∴，
∴，∴BD⊥BC.
又底面，设，
则，解得，
∵E为PC的中点，∴.
∴以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，.
设平面的一个法向量为，则，令y=1，则.
设平面的一个法向量为，则，令b=1，则.
∴，∴二面角的平面角的正弦值为.
4．
【详解】
（1）证明：以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，，，
因为，分别为，的中点，
则，，
由题意可知，是平面的一个法向量，
又，
所以，
又平面，
故平面；
（2）解：由（1）可知，，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故，
所以，
故二面角的正弦值为；
（3）解：因为，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故，
所以，
设点到平面的距离为，
则，
所以点到平面的距离为；
（4）解：由题意，设，其中，
则，
所以，
又时平面的一个法向量，
因为直线和平面所成角的正弦值为，
则，
整理可得，
又，解得或（舍），
故线段的长为.
5．
（1）证明：底面，平面，
又，且，平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如图以为原点，以，，所在直线为轴建立空间坐标系，
在底面内，作交于E，则，
在直角中，
设，则，，
由，则，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，得，
取，则
故由直线与平面所成角大小为30°，则有，
即，化简得：，
解得：或（舍去，因为），即.
6．
解：（1）证明：取的中点M，连接，∵，∴G为的中点，
又F为的中点，所以，
由，，∴平行四边形，
∴，所以，又平面，如图，
所以平面；
（2）根据题意，以F为原点，直线为x轴，过F平行于的直线为y轴，直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，
则，
，，，，
设平面的法向量为，
由，得，故，
设平面的法向量，
由，得，故，
∴，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
7．
解：（1）证明，在梯形中，
∵，，，
∴，，∴，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，，
又∵，∴平面.
又四边形是矩形，∴，∴平面，∴，
∵，∴平面.
（2）由（1）可建立直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，
∴，.
设为平面的法向量，由，得，
取，则.
∵是平面的一个法向量，∴.
∵，∴当时，有最大值，∴的最小值为.
8．
（1）因为底面是矩形，平面，
所以以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，即，
设与平面所成角为，
则
（2），，
设平面的法向量，
则，令，即，
设点到面PBC的距离为，
则
9．
（1）连接，.在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，
∴是边长为2的等边三角形，又是等边三角形，∴是等腰三角形.
∵为的中点，∴，又，，
∴由勾股定理得，∴，
又由，都是边长为2的等边三角形，可知，
∴，∴，
由为等边三角形，为的中点，可知.
又∵，平面，平面.∴平面.
（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
∴，，，.
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，∴.
设平面的法向量为，
则，即.令，则，，∴.
设平面与平面所成锐角为，则，
平面与平面所成锐角的余弦值为.
10．
（1）因为，，所以四边形ACFE为平行四边形，所以．
在等腰梯形ABCD中，，，所以，
所以．
又平面ABCD，所以BC，平面BCF，
所以平面BCF．
因为，所以平面BCF；
依题意，以C为坐标原点，分别以直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，设
所以 设为平面MAB的法向量，
由得取，所以
因为是平面ABC的一个法向量，设平面MAB与平面ABC所成的锐二面角为，
所以．因为，所以，
所以
所以存在使平面MAB与平面ABC所成锐二面角为．
11．
因为平面，且四边形是矩形，所以两两垂直，
所以分别以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系：
（1），，，，
所以，，
设平面的法向量为，
由可得，取则，，
所以，
记直线和平面的夹角为.
则，
所以，
（2）由图可知，平面即平面.
所以平面的法向量为
记面和面的夹角为.
则
由图可知面和面夹角为锐角
所以；
（3），，平面的法向量为
设点到平面的距离为，则，
所以点到平面的距离为.
12．
解:（1）证明:∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60，DEAB于点E
∴，，∴.
又∵，，
∴平面，∴.
又∵，，
∴平面.
（2）∵平面，，
∴以，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系（如图）.
易知，则，，，，
∴，，
易知平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
由，，得，令，得，
∴.
由图得二面角为钝二面角，
∴二面角的余弦值为.

13．
（1）证明：因为，，所以四边形是平行四边形，
所以.在等边中，是中点，，所以.
在中，，所以，所以.
又因为，，所以平面.
（2）解法一：因为平面，所以三棱锥的体积为
.
设点到平面的距离为，又，所以三棱锥的体积为
.
由，得，所以.
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
解法二：因为平面，，所以，以为原点，分别以射线，，为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，.
设平面的一个法向量为.
由得取，得.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
14．
（1）证明：因为平面，平面，所以．
因为平面，平面，所以平面．
因为四边形是正方形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
因为平面，平面，且，
所以平面平面．
（2）解：由题意可知，，两两垂直，则以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，，从而，．
设平面的法向量为，则，令，得．
平面的一个法向量为．故，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
15．
（1）因为平面，所以，又，，所以平面，又，所以面，面，．
又，为的中点，所以，而，所以平面．
（2）以A为坐标原点，所在方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，．
所以，设（），所以，则，所以，，
设平面的法向量为，则，，
即，令，则，
由（1）可知为平面的一个法向量，若平面平面，则，即，解得．
即时平面平面.
16．
（1）∵平面ACD⊥平面ABC.平面ACD∩平面ABC=AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACD，∵AD平面ACD，∴BC⊥AD.
（2）根据题意，以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴建立如图的空间直角坐标系，
∵BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，
∴BC=2，AC=，CD=，CM=AC-AM=.
∴，
∴，，
设平面MDE的法向量为，则，即，令，得y=3，z=-1，∴，
由（1）知，平面MAD的一个法向量为=（0，2，0），
∴.
∴二面角A-DM-E的余弦值为.
17．
（1）因为四边形为矩形，则，
平面，平面，则，
，平面，
平面，因此，；
（2）平面，不妨以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
、、、，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，
由，取，可得，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
因此，二面角的大小为.
18．
（1）连接交于点O，连接、，
因为为等边三角形，所以，
因为底面为正方形，所以，
因为，所以平面，
又平面，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为E为中点，所以，则平面.
（2）如图，以分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设，则，
所以，，，，
则，，，
因为平面平面，且平面平面=BD，,
所以面EBD,
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
所以，不妨设x=1，所以，
所以，
显然二面角的平面角为锐角或直角，
所以二面角的余弦值为.
19．
（1）∵，，为的中点，∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴，∵平面，平面，∴平面，
∵平面，平面平面，∴.
（2）∵，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，分别以，，所在的直线为，，轴，
建立直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，则，，
即，令，则，
∴直线与平面所成角的正弦值.
20．
（1）在题图①中，因为，，是的中点，，
所以，即在题图②中，，，又，
所以平面．
又，
所以四边形是平行四边形，
所以，所以平面．
（2）由已知，平面平面，又由（1）知，，，
所以为二面角的平面角，
所以．
如图，以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
因为，，
所以，，，，
则，，．
设平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
平面与平面的夹角为．
则即可取；
即可取．
从而，
即平面与平面夹角的余弦值为．
21．
（1）由题设，知为等边三角形，设，
则，，所以，
又为等边三角形，则，所以，
，则，所以，
同理，又，所以平面；
（2）过O作∥BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
所以，
设平面的一个法向量为
由，得，令，得，
所以
故，
设二面角的大小为，则.
22．
(1)如图所示，连结，
等边中，，则，
平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，
由面面垂直的性质定理可得：平面，故，
由三棱柱的性质可知，而，故，且，
由线面垂直的判定定理可得：平面，
结合⊆平面，故.
(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.
设，则，,，
据此可得：，
由可得点的坐标为，
利用中点坐标公式可得：，由于，
故直线EF的方向向量为：
设平面的法向量为，则：
，
据此可得平面的一个法向量为，
此时，
设直线EF与平面所成角为，则.
23．
(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易知：，
由可得点F的坐标为，
由可得，
设平面AEF的法向量为：，则
，
据此可得平面AEF的一个法向量为：，
很明显平面AEP的一个法向量为，
，
二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.
(Ⅲ)易知，由可得，
则，
注意到平面AEF的一个法向量为：，
其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.
24．
（1）由题设可得，，从而.
又是直角三角形，所以.
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.
又由于是正三角形，故.
所以为二面角的平面角.
在中，.
又，所以，
故.
所以平面ACD⊥平面ABC.
（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.
故.
设是平面DAE的法向量，则即
可取.
设是平面AEC的法向量，则同理可取.
则.
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
25．
（1）由题意，因为，，，∴，
又∴，∴，
∵侧面，∴.
又∵，，平面
∴直线平面.
（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，，，
设平面的一个法向量为
，
∵，∴，令，则，∴
设平面的一个法向量为，，，
∵，∴，令，则，∴，
，，，∴.
设二面角为，则.
∴设二面角的余弦值为.
（3）假设存在点，设，∵，，
∴，∴∴
设平面的一个法向量为，
∴，得.
即，∴或，∴或.
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