新高考数学一轮复习讲义+分层练习 1.4《基本不等式》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1.基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(eq \f(a＋b,2))2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(s2,4)(简记：和定积最大).
eq \a\vs4\al([常用结论])
1.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤(eq \f(a＋b,2))2≤eq \f(a2＋b2,2).
3.eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0).
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是相同的.( )
(2)若a>0，则a3＋eq \f(1,a2)的最小值为2eq \r(a).( )
(3)函数f(x)＝sin x＋eq \f(4,sin x)，x∈(0，π)的最小值为4.( )
(4)x＞0且y＞0是eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2的充要条件.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改编
1.设a＞0，b＞0，且a＋b＝18，则ab的最大值为( )
A.80 B.77 C.81 D.82
答案为：C.
解析：ab≤(eq \f(a＋b,2))2＝81，当且仅当a＝b＝9时，等号成立.故选C.]
2.若x2)的最小值为________.
答案为：4.
解析：[当x>2时，x﹣2>0，f(x)＝(x﹣2)＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r(（x－2）×\f(1,x－2))＋2＝4，
当且仅当x﹣2＝eq \f(1,x－2)(x>2)，即x＝3时取等号.]
4.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.
答案为：25.
解析：[设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，
则另一边为eq \f(1,2)×(20﹣2x)＝(10﹣x)m，则y＝x(10﹣x)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x＋（10－x）,2)))eq \s\up8(2)＝25，
当且仅当x＝10﹣x，即x＝5时，ymax＝25.]
考点1 利用基本不等式求最值
配凑法求最值
配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x＋eq \f(a,x)(a＞0)，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法.
(1)已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是( )
A.eq \f(9,8) B.eq \f(9,4) C.3 D.9
(2)函数y＝eq \f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为________.
(3)已知x>eq \f(5,4)，则y＝4x＋eq \f(1,4x－5)的最小值为________，此时x＝________.
答案为：(1)C (2)2eq \r(3)＋2 (3)7 eq \f(3,2).
解析：[(1)∵a>0，b>0，4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝eq \f(1,3)·3a(a＋3b)≤eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a＋a＋3b,2)))eq \s\up8(2)
＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2)))eq \s\up8(2)＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝eq \f(2,3)时，a(a＋3b)的最大值是3.
(2)∵x>1，∴x﹣1>0，∴y＝eq \f(x2＋2,x－1)＝eq \f(（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3,x－1)
＝eq \f(（x－1）2＋2（x－1）＋3,x－1)＝(x﹣1)＋eq \f(3,x－1)＋2≥2eq \r(3)＋2.
当且仅当x﹣1＝eq \f(3,x－1)，即x＝eq \r(3)＋1时，等号成立.
(3)∵x>eq \f(5,4)，∴4x﹣5>0.y＝4x＋eq \f(1,4x－5)＝4x﹣5＋eq \f(1,4x－5)＋5≥2＋5＝7.
当且仅当4x﹣5＝eq \f(1,4x－5)，即x＝eq \f(3,2)时上式“＝”成立.即x＝eq \f(3,2)时，ymin＝7.]
[母题探究] 把本例(3)中的条件“x>eq \f(5,4)”，改为“x0，则eq \f(1,2|a|)＋eq \f(|a|,b)取最小值时，a的值为________.
答案为：﹣2
解析：[∵a＋b＝2，b>0，
∴eq \f(1,2|a|)＋eq \f(|a|,b)＝eq \f(2,4|a|)＋eq \f(|a|,b)＝eq \f(a＋b,4|a|)＋eq \f(|a|,b)＝eq \f(a,4|a|)＋eq \f(b,4|a|)＋eq \f(|a|,b)≥eq \f(a,4|a|)＋2eq \r(\f(b,4|a|)×\f(|a|,b))＝eq \f(a,4|a|)＋1，
当且仅当eq \f(b,4|a|)＝eq \f(|a|,b)时等号成立.
又a＋b＝2，b>0，∴当b＝﹣2a，a＝﹣2时，eq \f(1,2|a|)＋eq \f(|a|,b)取得最小值.]
已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则eq \f(1,a－1)＋eq \f(1,2b)的最小值为( )
A.eq \f(3,2)＋eq \r(2) B.eq \f(3,4)＋eq \f(\r(2),2) C.3＋2eq \r(2) D.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),3)
答案为：A.
解析：已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a﹣1)＋b＝1，
又a﹣1＞0，则eq \f(1,a－1)＋eq \f(1,2b)＝解析：[(a﹣1)＋b](eq \f(1,a－1)＋eq \f(1,2b))
＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(a－1,2b)＋eq \f(b,a－1)≥eq \f(3,2)＋2eq \r(\f(a－1,2b)×\f(b,a－1))＝eq \f(3,2)＋eq \r(2).
当且仅当eq \f(a－1,2b)＝eq \f(b,a－1)，a＋b＝2时取等号.则eq \f(1,a－1)＋eq \f(1,2b)的最小值为eq \f(3,2)＋eq \r(2).故选A.]
消元法求最值
对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元).
已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab﹣1，则a＋2b的最小值为( )
A.5＋2eq \r(6) B.8eq \r(2) C.5 D.9
答案为：A.
解析：∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab﹣1，∴a＝eq \f(b＋1,b－2)＞0，∴b＞2，
∴a＋2b＝eq \f(b＋1,b－2)＋2b＝2(b﹣2)＋eq \f(3,b－2)＋5≥5＋2eq \r(2（b－2）·\f(3,b－2))＝5＋2eq \r(6).
当且仅当2(b﹣2)＝eq \f(3,b－2)，即b＝2＋eq \f(\r(6),2)时取等号.
∴a＋2b的最小值为5＋2eq \r(6).故选A.]
求解本题的关键是将等式“2a＋b＝ab﹣1”变形为“a＝eq \f(b＋1,b－2)”，然后借助配凑法求最值.
已知正实数a，b，c满足a2﹣2ab＋9b2﹣c＝0，则当eq \f(ab,c)取得最大值时，eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)﹣eq \f(12,c)的最大值为( )
A.3 B.eq \f(9,4) C.1 D.0
答案为：C.
解析：由正实数a，b，c满足a2﹣2ab＋9b2＝c，得eq \f(ab,c)＝eq \f(ab,a2－2ab＋9b2)
＝eq \f(1,\f(a2－2ab＋9b2,ab))＝eq \f(1,\f(a,b)＋\f(9b,a)－2)≤eq \f(1,4)，当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(9b,a)，即a＝3b时，eq \f(ab,c)取最大值eq \f(1,4).
又因为a2﹣2ab＋9b2﹣c＝0，所以此时c＝12b2，
所以eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)﹣eq \f(12,c)＝eq \f(1,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,b)))≤eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)＋2－\f(1,b)))\s\up8(2),4)＝1，故最大值为1.]
利用两次基本不等式求最值
当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性.
已知a＞b＞0，那么a2＋eq \f(1,b（a－b）)的最小值为________.
答案为：4.
解析：[由题意a＞b＞0，则a﹣b＞0，所以b(a﹣b)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋a－b,2)))eq \s\up8(2)＝eq \f(a2,4)，
所以a2＋eq \f(1,b（a－b）)≥a2＋eq \f(4,a2)≥2eq \r(a2·\f(4,a2))＝4，当且仅当b＝a﹣b且a2＝eq \f(4,a2)，
即a＝eq \r(2)，b＝eq \f(\r(2),2)时取等号，所以a2＋eq \f(1,b（a－b）)的最小值为4.]
由于b＋(a﹣b)为定值，故可求出b(a﹣b)的最大值，然后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值.
若a，b∈R，ab＞0，则eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为________.
答案为：4 解析：[因为ab＞0，所以eq \f(a4＋4b4＋1,ab)≥eq \f(2\r(4a4b4)＋1,ab)＝eq \f(4a2b2＋1,ab)＝4ab＋eq \f(1,ab)
≥2eq \r(4ab·\f(1,ab))＝4，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝2b2，,ab＝\f(1,2)))时取等号，故eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值是4.]
考点2 利用基本不等式解决实际问题
利用基本不等式解决实际问题的3个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,75)（x2－130x＋4 900），x∈[50，80），,12－\f(x,60)，x∈[80，120].))
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？
(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
[解] (1)当x∈[50，80)时，y＝eq \f(1,75)(x2﹣130x＋4 900)＝eq \f(1,75)[(x﹣65)2＋675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为eq \f(1,75)×675＝9.
当x∈[80，120]时，函数y＝12﹣eq \f(x,60)单调递减，
故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12﹣eq \f(120,60)＝10.
因为90，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案为：B.
解析：法一：(直接法)由于a＋b＝ab≤eq \f(（a＋b）2,4)，因此a＋b≥4，
当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
法二：(常数代换法)由题意，得eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)(eq \f(1,a)＋eq \f(1,b))＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.]
5.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a>0，b>0) B.a2＋b2≥2eq \r(ab)(a>0，b>0)
C.eq \f(2ab,a＋b)≤eq \r(ab)(a>0，b>0) D.eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)
答案为：D.
解析：由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝eq \f(a＋b,2)，又OC＝OB﹣BC＝eq \f(a＋b,2)﹣b＝eq \f(a－b,2)，
则FC2＝OC2＋OF2＝eq \f(（a－b）2,4)＋eq \f(（a＋b）2,4)＝eq \f(a2＋b2,2)，
再根据题图知FO≤FC，即eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))，当且仅当a＝b时取等号.故选D.]
二、填空题
6.若对任意x＞0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________.
答案为：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞)).
解析：[∵对任意x＞0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，∴对x∈(0，＋∞)，a≥(eq \f(x,x2＋3x＋1))max，
而对x∈(0，＋∞)，eq \f(x,x2＋3x＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq \f(1,2\r(x·\f(1,x))＋3)＝eq \f(1,5)，
当且仅当x＝eq \f(1,x)时等号成立，∴a≥eq \f(1,5).]
7.如图，已知正方形OABC，其中OA＝a(a＞1)，函数y＝3x2交BC于点P，函数y＝xeq \s\up8(－\f(1,2))交AB于点Q，当|AQ|＋|CP|最小时，则a的值为________.
答案为：eq \r(3).
解析：[由题意得：P点坐标为(eq \r(\f(a,3)),a)，Q点坐标为(a,eq \r(\f(1,a)))，
|AQ|＋|CP|＝eq \r(\f(a,3))＋eq \r(\f(1,a))≥2eq \r(\f(1,\r(3)))，当且仅当a＝eq \r(3)时，取最小值.]
8.设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则eq \f(（x＋1）（2y＋1）,xy)的最小值为________.
答案为：eq \f(9,2).
解析：[eq \f(（x＋1）（2y＋1）,xy)＝eq \f(2xy＋2y＋x＋1,xy)＝eq \f(2xy＋5,xy)＝2＋eq \f(5,xy).
因为x＞0，y＞0，x＋2y＝4，所以x＋2y＝4≥2eq \r(x·2y)，
即eq \r(2xy)≤2，0＜xy≤2，当且仅当x＝2y＝2时等号成立.
所以2＋eq \f(5,xy)≥2＋5×eq \f(1,2)＝eq \f(9,2)，所以eq \f(（x＋1）（2y＋1）,xy)的最小值为eq \f(9,2).]
三、解答题
9.已知x>0，y>0，且2x＋8y﹣xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值.
[解] (1)由2x＋8y﹣xy＝0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，又x>0，y>0，
则1＝eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)≥2 eq \r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq \f(8,\r(xy))，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.
故xy的最小值为64.
(2)法一：(消元法)由2x＋8y﹣xy＝0，得x＝eq \f(8y,y－2)，
因为x＞0，y＞0，所以y＞2，则x＋y＝y＋eq \f(8y,y－2)＝(y﹣2)＋eq \f(16,y－2)＋10≥18，
当且仅当y﹣2＝eq \f(16,y－2)，即y＝6，x＝12时等号成立.故x＋y的最小值为18.
法二：(常数代换法)由2x＋8y﹣xy＝0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，
则x＋y＝(eq \f(8,x)＋eq \f(2,y))·(x＋y)＝10＋eq \f(2x,y)＋eq \f(8y,x)≥10＋2 eq \r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18，
当且仅当y＝6，x＝12时等号成立，故x＋y的最小值为18.
10.某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3﹣eq \f(k,m＋1)(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
[解] (1)由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3﹣k，k＝2，
∴x＝3﹣eq \f(2,m＋1)，每万件产品的销售价格为1.5×eq \f(8＋16x,x)(万元)，
∴2020年的利润y＝1.5x×eq \f(8＋16x,x)﹣8﹣16x﹣m＝4＋8x﹣m
＝4＋8(3﹣eq \f(2,m＋1))﹣m＝﹣解析：[eq \f(16,m＋1)＋(m＋1)]＋29(m≥0).
(2)∵m≥0时，eq \f(16,m＋1)＋(m＋1)≥2eq \r(16)＝8，
∴y≤﹣8＋29＝21，
当且仅当eq \f(16,m＋1)＝m＋1，即m＝3(万元)时，ymax＝21(万元).
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元.
1.已知函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则eq \f(8a＋b,ab)的最小值是( )
A.10 B.9 C.8 D.3eq \r(2)
答案为：B.
解析：由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2a＋b＝2，
所以eq \f(8a＋b,ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(8,b)＝eq \f(1,2)(eq \f(1,a)＋eq \f(8,b))(2a＋b)＝eq \f(1,2)(10＋eq \f(b,a)＋eq \f(16a,b))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋2\r(\f(b,a)·\f(16a,b))))
＝eq \f(1,2)(10＋8)＝9，当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(16a,b)，即a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(4,3)时等号成立，
所以eq \f(8a＋b,ab)的最小值为9，故选B.]
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(2a－c,b)＝eq \f(cs C,cs B)，b＝4，则△ABC面积的最大值为( )
A.4eq \r(3) B.2eq \r(3) C.3eq \r(3) D.eq \r(3)
答案为：A.
解析：[∵eq \f(2a－c,b)＝eq \f(cs C,cs B)，∴(2a﹣c)cs B＝bcs C，
由正弦定理得(2sin A﹣sin C)cs B＝sin Bcs C，
∴2sin Acs B＝sin Ccs B＋sin Bcs C＝sin(B＋C)＝sin A.
又sin A≠0，∴cs B＝eq \f(1,2).∵03).
(2)S＝1 808﹣3x﹣eq \f(8,3)×eq \f(1 800,x)＝1 808﹣(3x＋eq \f(4 800,x))≤1 808﹣2eq \r(3x×\f(4 800,x))
＝1 808﹣240＝1 568，
当且仅当3x＝eq \f(4 800,x)，即x＝40时等号成立，S取得最大值，此时y＝eq \f(1 800,x)＝45，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值.
1.在△ABC中，点P满足eq \(BP,\s\up8(→))＝2eq \(PC,\s\up8(→))，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若eq \(AM,\s\up8(→))＝meq \(AB,\s\up8(→))，eq \(AN,\s\up8(→))＝neq \(AC,\s\up8(→))(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为( )
A.3 B.4 C.eq \f(8,3) D.eq \f(10,3)
答案为：A.
解析：[∵eq \(AP,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BP,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up8(→))﹣eq \(AB,\s\up8(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \f(1,3m)eq \(AM,\s\up8(→))＋eq \f(2,3n)eq \(AN,\s\up8(→))，
∵M，P，N 三点共线，∴eq \f(1,3m)＋eq \f(2,3n)＝1，∴m＋2n＝(m＋2n)(eq \f(1,3m)＋eq \f(2,3n))
＝eq \f(1,3)＋eq \f(4,3)＋eq \f(2n,3m)＋eq \f(2m,3n)≥eq \f(5,3)＋2eq \r(\f(2n,3m)×\f(2m,3n))＝eq \f(5,3)＋eq \f(4,3)＝3，当且仅当m＝n＝1时等号成立.]
2.已知函数f(x)＝lg2(eq \r(x2＋1)﹣x)，若对任意的正数a，b，满足f(a)＋f(3b﹣1)＝0，则eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)的最小值为( )
A.6 B.8 C.12 D.24
答案为：C.
解析：易知函数f(x)＝lg2(eq \r(x2＋1)﹣x)的定义域为R，
又f(x)＝lg2(eq \r(x2＋1)﹣x)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))，所以f(x)为R上的减函数.
又f(﹣x)＝lg2(eq \r(x2＋1)＋x)，所以f(x)＝﹣f(﹣x)，即f(x)为奇函数，
因为f(a)＋f(3b﹣1)＝0，所以f(a)＝f(1﹣3b)，所以a＝1﹣3b，即a＋3b＝1，
所以eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)＝(eq \f(3,a)＋eq \f(1,b))(a＋3b)＝eq \f(9b,a)＋eq \f(a,b)＋6，因为eq \f(9b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(9b,a)×\f(a,b))＝6，
所以eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)＝(eq \f(3,a)＋eq \f(1,b))(a＋3b)＝eq \f(9b,a)＋eq \f(a,b)＋6≥12(当且仅当a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,6)时，等号成立)，故选C.]