新高考数学一轮复习讲义+分层练习 2.6《指数与指数函数》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)的指数函数的图象.
3.体会指数函数是一类重要的函数模型.
1.根式
(1)n次方根的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
②a的n次方根的表示
xn＝a⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(n,a)，当n为奇数且n∈N*，n＞1时，,x＝±\r(n,a)，当n为偶数且n∈N*时.))
(2)根式的性质
①(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，n＞1).
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a＜0，))n为偶数.))
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：aeq \s\up8(\f(m,n))＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：a﹣eq \f(m,n)＝eq \f(1,aeq \s\up5(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
eq \a\vs4\al([常用结论])
1.指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大.
3.指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)eq \r(n,an)＝(eq \r(n,a))n＝a.( )
(2)(﹣1)eq \s\up5(\f(2,4))＝(﹣1)eq \s\up5(\f(1,2))＝eq \r(－1).( )
(3)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞).( )
(4)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改编
1.函数f(x)＝21﹣x的大致图象为( )
A B C D
答案为：A.
解析：f(x)＝21﹣x＝(eq \f(1,2))x-1，又f(0)＝2，f(1)＝1，故排除B，C，D，故选A.]
2.若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点P(2,eq \f(1,2))，则f(﹣1)＝________.
eq \r(2).
[由题意知eq \f(1,2)＝a2，所以a＝eq \f(\r(2),2)，所以f(x)＝(eq \f(\r(2),2))x，所以f(﹣1)＝(eq \f(\r(2),2))-1＝eq \r(2).]
3.化简eq \r(4,16x8y4)(x＜0，y＜0)＝________.
[答案] ﹣2x2y
4.已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(－\f(1,3))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(－\f(1,4))，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－\f(3,4))，则a，b，c的大小关系是________.
c＜b＜a.
[∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up1(x)是减函数，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(－\f(1,3))＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(－\f(1,4))＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up1(0)，则a＞b＞1，
又c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－\f(3,4))＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up1(0)＝1，∴c＜b＜a.]
考点1 指数幂的运算
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算.
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.
1.化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－\f(1,2))·eq \f(（\r(4ab－1)）3,（0.1）－1·（a3·b－3）eq \s\up12(\f(1,2)))(a＞0，b＞0)＝________.
eq \f(8,5) [原式＝2×eq \f(23·aeq \s\up5(\f(3,2))·beq \s\up5(－\f(3,2)),10·aeq \s\up5(\f(3,2))·beq \s\up5(－\f(3,2)))＝21＋3×10﹣1＝eq \f(8,5).]
2.计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋0.002eq \s\up12(－\f(1,2))﹣10(eq \r(5)﹣2)﹣1＋π0＝________.
﹣eq \f(167,9).[原式＝(-eq \f(3,2))-2＋500eq \s\up5(\f(1,2))﹣eq \f(10（\r(5)＋2）,（\r(5)－2）（\r(5)＋2）)＋1＝eq \f(4,9)＋10eq \r(5)﹣10eq \r(5)﹣20＋1＝﹣eq \f(167,9).]
运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.
考点2 指数函数的图象及应用
(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象.
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.
(1)函数f(x)＝ax﹣b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A.a＞1，b＜0
B.a＞1，b＞0
C.0＜a＜1，b＞0
D.0＜a＜1，b＜0
(2)若曲线y＝|3x﹣1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________.
(1)D (2)(0，1) [(1)由f(x)＝ax﹣b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax﹣b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax﹣b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D.
(2)曲线y＝|3x﹣1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x﹣1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0，1).]
[母题探究]
1.(变条件)若本例(2)条件变为：方程3|x|﹣1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________.
(0，＋∞) [作出函数y＝3|x|﹣1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是(0，＋∞).
]
2.(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x﹣1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________.
(﹣∞，﹣1] [作出函数y＝|3x﹣1|＋m的图象如图所示.
由图象知m≤﹣1，即m∈(﹣∞，﹣1].]
应用指数函数图象的技巧
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(-1,eq \f(1,a)).
(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.
(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
1.函数f(x)＝1﹣e|x|的图象大致是( )

A B C D
答案为：A.解析：f(x)＝1﹣e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0，符合条件的图象只有A.]
2.函数y＝ax﹣b(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________.
(0，1) [因为函数y＝ax﹣b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax﹣b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.令x＝0，则y＝a0﹣b＝1﹣b，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＜a＜1，,1－b＜0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＜a＜1，,b＞1，))故ab∈(0，1).]
3.已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________(填序号).
③④ [作出y＝2 019x及y＝2 020x的图象如图所示，由图可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0时，有2 019a＝2 020b，故③④不可能成立.]
考点3 指数函数的性质及应用
指数函数性质的应用主要是利用单调性解决相关问题，而指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论.
比较指数式的大小
(1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
(2)设函数f(x)＝x2﹣a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a﹣1)0.2与N＝(eq \f(1,a))0.1的大小关系是( )
A.M＝N B.M≤N
C.M＜N D.M＞N
(1)A (2)答案为：D.解析：(1)由0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.
(2)因为f(x)＝x2﹣a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a＞2，所以M＝(a﹣1)0.2＞1，N＝(eq \f(1,a))0.1＜1，所以M＞N.故选D.]
指数式的大小比较，依据的就是指数函数的单调性，原则上化为同底的指数式，并要注意底数范围是(0，1)还是(1，＋∞)，若不能化为同底，则可化为同指数，或利用中间变量比较，如本例(1).
解简单的指数方程或不等式
(1)已知函数f(x)＝a＋eq \f(1,4x＋1)的图象过点(1,﹣eq \f(3,10))，若﹣eq \f(1,6)≤f(x)≤0，则实数x的取值范围是________.
(2)方程4x＋|1﹣2x|＝11的解为________.
(1)[0,eq \f(1,2)] (2)x＝lg23.
[(1)∵f(x)＝a＋eq \f(1,4x＋1)的图象过点(1,﹣eq \f(3,10))，∴a＋eq \f(1,5)＝﹣eq \f(3,10)，即a＝﹣eq \f(1,2).
∴f(x)＝﹣eq \f(1,2)＋eq \f(1,4x＋1).∵﹣eq \f(1,6)≤f(x)≤0，∴﹣eq \f(1,6)≤eq \f(1,4x＋1)﹣eq \f(1,2)≤0，∴eq \f(1,3)≤eq \f(1,4x＋1)≤eq \f(1,2)，
∴2≤4x＋1≤3，即1≤4x≤2，∴0≤x≤eq \f(1,2).
(2)当x≥0时，原方程化为4x＋2x﹣12＝0，即(2x)2＋2x﹣12＝0.
∴(2x﹣3)(2x＋4)＝0，∴2x＝3，即x＝lg23.
当x＜0时，原方程化为4x﹣2x﹣10＝0.令t＝2x，则t2﹣t﹣10＝0(0＜t＜1).
由求根公式得t＝eq \f(1±\r(1＋40),2)均不符合题意，故x＜0时，方程无解.]
(1)af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x).(2)af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x).(3)有些含参指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题.
与指数函数有关的复合函数的单调性
(1)函数f(x)＝(eq \f(1,2))eq \s\up1(－x2＋2x＋1)的单调减区间为________.
(2)函数f(x)＝4x﹣2x＋1的单调增区间是________.
(1)(﹣∞，1] (2)[0，＋∞) [(1)设u＝﹣x2＋2x＋1，∵y＝(eq \f(1,2))u在R上为减函数，所以函数f(x)＝(eq \f(1,2))eq \s\up1(－x2＋2x＋1)的减区间即为函数u＝﹣x2＋2x＋1的增区间.
又u＝﹣x2＋2x＋1的增区间为(﹣∞，1]，所以f(x)的减区间为(﹣∞，1].
(2)设t＝2x(t＞0)，则y＝t2﹣2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，所以函数f(x)＝4x﹣2x＋1的单调增区间是[0，＋∞).]
[逆向问题] 已知函数f(x)＝2|2x﹣m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________.
(﹣∞，4].
[令t＝|2x﹣m|，则t＝|2x﹣m|在区间[eq \f(m,2),+∞)上单调递增，在区间(-∞,eq \f(m,2)]上单调递减.而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x﹣m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq \f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(﹣∞，4].]
求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
指数函数性质的综合应用
(1)函数f(x)＝a＋eq \f(b,ex＋1)(a，b∈R)是奇函数，且图象经过点(ln3,eq \f(1,2))，则函数f(x)的值域为( )
A.(﹣1，1) B.(﹣2，2)
C.(﹣3，3) D.(﹣4，4)
(2)若不等式1＋2x＋4x·a＞0在x∈(﹣∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是________.
(1)A (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，＋∞)).
[(1)函数f(x)为奇函数，定义域是R，则f(0)＝a＋eq \f(b,2)＝0①，
函数图象过点(ln3,eq \f(1,2))，则f(ln 3)＝a＋eq \f(b,4)＝eq \f(1,2)②.
结合①②可得a＝1，b＝﹣2，则f(x)＝1﹣eq \f(2,ex＋1).
因为ex＞0，所以ex＋1＞1，所以0＜eq \f(2,ex＋1)＜2，所以﹣1＜1﹣eq \f(2,ex＋1)＜1，
即函数f(x)的值域为(﹣1，1).
(2)从已知不等式中分离出实数a，得a＞﹣[(eq \f(1,4))x＋(eq \f(1,2))x].
因为函数y＝(eq \f(1,4))x和y＝(eq \f(1,2))x在R上都是减函数，
所以当x∈(﹣∞，1]时，(eq \f(1,4))x≥eq \f(1,4)，(eq \f(1,2))x≥eq \f(1,2)，所以(eq \f(1,4))x＋(eq \f(1,2))x≥eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,4)，
从而得﹣[(eq \f(1,4))x＋(eq \f(1,2))x]≤﹣eq \f(3,4).故实数a的取值范围为a＞﹣eq \f(3,4).]
指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化.
1.函数y＝(eq \f(1,2))x2＋2x﹣1的值域是( )
A.(﹣∞，4) B.(0，＋∞)
C.(0，4] D.[4，＋∞)
C.[设t＝x2＋2x﹣1，则y＝(eq \f(1,2))t.因为0＜eq \f(1,2)＜1，所以y＝(eq \f(1,2))t为关于t的减函数.
因为t＝(x＋1)2﹣2≥﹣2，所以0＜y＝(eq \f(1,2))t≤(eq \f(1,2))﹣2＝4，故所求函数的值域为(0，4].]
2.已知实数a≠1，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x，x≥0，,2a－x，x＜0，))若f(1﹣a)＝f(a﹣1)，则a的值为________.
eq \f(1,2) [当a＜1时，41﹣a＝21，所以a＝eq \f(1,2)；当a＞1时，代入可知不成立，所以a的值为eq \f(1,2).]
3.设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（\f(1,2)）x－7，x＜0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)＜1，则实数a的取值范围是________.
(﹣3，1) [当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为(eq \f(1,2))a﹣7＜1，即(eq \f(1,2))a＜8，
即(eq \f(1,2))a＜(eq \f(1,2))﹣3，∴a＞﹣3.又a＜0，∴﹣3＜a＜0.
当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为eq \r(a)＜1.
∴0≤a＜1，综上，a的取值范围为(﹣3，1).]
指数与指数函数
建议用时：45分钟
一、选择题
1.设a＞0，将eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A.aeq \s\up8(\f(1,2)) B.aeq \s\up8(\f(5,6)) C.aeq \s\up8(\f(7,6)) D.aeq \s\up8(\f(3,2))
答案为：C.解析：eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))＝eq \f(a2,\r(a·aeq \s\up8(\f(2,3))))＝eq \f(a2,\r(aeq \s\up8(\f(5,3))))＝eq \f(a2,aeq \s\up8(\f(5,6)))＝aeq \s\up7(2－eq \f(5,6))＝aeq \s\up8(\f(7,6)).故选C.]
2.已知函数f(x)＝4＋2ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )
A.(1，6) B.(1，5)
C.(0，5) D.(5，0)
答案为：A.解析：由于函数y＝ax的图象过定点(0，1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2ax﹣1的图象恒过定点P(1，6).]
3.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
答案为：C.解析：y＝0.6x在R上是减函数，又0.6＜1.5，∴0.60.6＞
又y＝x0.6为R上的增函数，∴1.50.6＞0.60.6，∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5，即c＞a＞b.]
4.函数y＝eq \f(xax,|x|)(0＜a＜1)的图象的大致形状是( )

A B C D
答案为：D.解析：函数的定义域为{x|x≠0}，所以y＝eq \f(xax,|x|)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax，x＞0，,－ax，x＜0，))当x＞0时，函数是指数函数y＝ax，其底数0＜a＜1，所以函数递减；当x＜0时，函数y＝﹣ax的图象与指数函数y＝ax(0＜a＜1)的图象关于x轴对称，所以函数递增，所以应选D.]
5.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－2－x，x≥0，,2x－1，x＜0，))则函数f(x)是( )
A.偶函数，在[0，＋∞)上单调递增
B.偶函数，在[0，＋∞)上单调递减
C.奇函数，且单调递增
D.奇函数，且单调递减
答案为：C.解析：易知f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝1﹣2﹣x，﹣f(x)＝2﹣x﹣1，此时﹣x＜0，则f(﹣x)＝2﹣x﹣1＝﹣f(x)；当x＜0时，f(x)＝2x﹣1，﹣f(x)＝1﹣2x，此时，﹣x＞0，则f(﹣x)＝1﹣2﹣(﹣x)＝1﹣2x＝﹣f(x).即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.]
二、填空题
6.若函数f(x)＝a|2x﹣4|(a＞0，a≠1)满足f(1)＝eq \f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是________.
[2，＋∞) [由f(1)＝eq \f(1,9)得a2＝eq \f(1,9)，所以a＝eq \f(1,3)或a＝﹣eq \f(1,3)(舍去)，即f(x)＝(eq \f(1,3))|2x﹣4|.
由于y＝|2x﹣4|在(﹣∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(﹣∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减.]
7.不等式2eq \s\up8(－x2＋2x)＞(eq \f(1,2))x＋4的解集为________.
(﹣1，4).
[原不等式等价为2eq \s\up8(－x2＋2x)＞2﹣x﹣4，又函数y＝2x为增函数，∴﹣x2＋2x＞﹣x﹣4，
即x2﹣3x﹣4＜0，∴﹣1＜x＜4.]
8.若直线y1＝2a与函数y2＝|ax﹣1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________.
(0，eq \f(1,2)) [(数形结合法)当0＜a＜1时，作出函数y2＝|ax﹣1|的图象，
由图象可知0＜2a＜1，∴0＜a＜eq \f(1,2)；同理，当a＞1时，解得0＜a＜eq \f(1,2)，与a＞1矛盾.
综上，a的取值范围是(0，eq \f(1,2)).]
三、解答题
9.已知函数f(x)＝(eq \f(1,3))eq \s\up8(ax2－4x＋3).
(1)若a＝﹣1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值.
[解] (1)当a＝﹣1时，f(x)＝(eq \f(1,3))eq \s\up8(－x2－4x＋3)，
令u＝﹣x2﹣4x＋3＝﹣(x＋2)2＋7.
则u在(﹣∞，﹣2)上单调递增，在(﹣2，＋∞)上单调递减，
而y＝(eq \f(1,3))u在R上单调递减，
所以f(x)在(﹣∞，﹣2)上单调递减，在(﹣2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的单调递增区间是(﹣2，＋∞)，单调递减区间是(﹣∞，﹣2).
(2)令h(x)＝ax2﹣4x＋3，则f(x)＝(eq \f(1,3))h(x)，由于f(x)有最大值3，
所以h(x)应有最小值﹣1.
因此必有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＞0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，函数y＝ax2﹣4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
10.已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式(eq \f(1,a))x＋(eq \f(1,b))x﹣m≥0在(﹣∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围.
[解] (1)因为f(x)的图象过A(1，6)，B(3，24)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b·a＝6，,b·a3＝24.))所以a2＝4，又a＞0，所以a＝2，b＝3.所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(﹣∞，1]时，(eq \f(1,2))x＋(eq \f(1,3))x﹣m≥0恒成立，
即m≤(eq \f(1,2))x＋(eq \f(1,3))x在(﹣∞，1]上恒成立.
又因为y＝(eq \f(1,2))x与y＝(eq \f(1,3))x均为减函数，所以y＝(eq \f(1,2))x＋(eq \f(1,3))x也是减函数，
所以当x＝1时，y＝(eq \f(1,2))x＋(eq \f(1,3))x有最小值eq \f(5,6).
所以m≤eq \f(5,6).即m的取值范围是(﹣∞，eq \f(5,6)].
1.已知a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x＞0时，1＜bx＜ax，则( )
A.0＜b＜a＜1 B.0＜a＜b＜1
C.1＜b＜a D.1＜a＜b
答案为：C.解析：∵当x＞0时，1＜bx，∴b＞1.
∵当x＞0时，bx＜ax，∴当x＞0时，(eq \f(a,b))x＞1.∴eq \f(a,b)＞1，∴a＞b.∴1＜b＜a，故选C.]
2.设f(x)＝ex，0＜a＜b，若p＝f(eq \r(ab))，q＝f(eq \f(a＋b,2))，r＝eq \r(f（a）f（b）)，则下列关系式中正确的是( )
A.q＝r＜p B.p＝r＜q
C.q＝r＞p D.p＝r＞q
答案为：C.解析：∵0＜a＜b，∴eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)，又f(x)＝ex在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(eq \f(a＋b,2))＞f(eq \r(ab))，即q＞p.又r＝eq \r(f（a）f（b）)＝eq \r(eaeb)＝eeq \s\up8(eq \f(a＋b,2))＝q，故q＝r＞p.故选C.]
3.已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大eq \f(a,2)，则a的值为________.
eq \f(1,2)或eq \f(3,2) [当0＜a＜1时，a﹣a2＝eq \f(a,2)，∴a＝eq \f(1,2)或a＝0(舍去).
当a＞1时，a2﹣a＝eq \f(a,2)，∴a＝eq \f(3,2)或a＝0(舍去).综上所述，a＝eq \f(1,2)或eq \f(3,2).]
4.已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函数.
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2﹣2t)＋f(2t2﹣k)＜0恒成立，求k的取值范围.
[解] (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即eq \f(－1＋b,2＋a)＝0，解得b＝1，所以f(x)＝eq \f(－2x＋1,2x＋1＋a).
又由f(1)＝﹣f(﹣1)知eq \f(－2＋1,4＋a)＝﹣eq \f(－\f(1,2)＋1,1＋a)，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝eq \f(－2x＋1,2x＋1＋2)＝﹣eq \f(1,2)＋eq \f(1,2x＋1)，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2﹣2t)＋f(2t2﹣k)＜0等价于f(t2﹣2t)＜﹣f(2t2﹣k)＝f(﹣2t2＋k).
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2﹣2t＞﹣2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2﹣2t﹣k＞0，从而Δ＝4＋12k＜0，解得k＜﹣eq \f(1,3).
故k的取值范围为(﹣∞，﹣eq \f(1,3)).
1.设y＝f(x)在(﹣∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x），f（x）≤K，,K，f（x）＞K.))给出函数f(x)＝2x＋1﹣4x，若对于任意x∈(﹣∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则( )
A.K的最大值为0 B.K的最小值为0
C.K的最大值为1 D.K的最小值为1
答案为：D.解析：根据题意可知，对于任意x∈(﹣∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可.
令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝﹣t2＋2t＝﹣(t﹣1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故选D.]
2.已知函数f(x)＝eq \f(1,4x)﹣eq \f(λ,2x－1)＋3(﹣1≤x≤2).
(1)若λ＝eq \f(3,2)，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值.
[解] (1)f(x)＝eq \f(1,4x)﹣eq \f(λ,2x－1)＋3＝(eq \f(1,2))2x﹣2λ·(eq \f(1,2))x＋3(﹣1≤x≤2).
设t＝(eq \f(1,2))x，得g(t)＝t2﹣2λt＋3(eq \f(1,4)≤t≤2).
当λ＝eq \f(3,2)时，g(t)＝t2﹣3t＋3＝(t﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(3,4)(eq \f(1,4)≤t≤2).
所以g(t)max＝g(eq \f(1,4))＝eq \f(37,16)，g(t)min＝g(eq \f(3,2))＝eq \f(3,4).所以f(x)max＝eq \f(37,16)，f(x)min＝eq \f(3,4)，
故函数f(x)的值域为[eq \f(3,4)，eq \f(37,16)].
(2)由(1)得g(t)＝t2﹣2λt＋3＝(t﹣λ)2＋3﹣λ2(eq \f(1,4)≤t≤2)，
①当λ≤eq \f(1,4)时，g(t)min＝g(eq \f(1,4))＝﹣eq \f(λ,2)＋eq \f(49,16)，
令﹣eq \f(λ,2)＋eq \f(49,16)＝1，得λ＝eq \f(33,8)＞eq \f(1,4)，不符合，舍去；
②当eq \f(1,4)＜λ≤2时，g(t)min＝g(λ)＝﹣λ2＋3，
令﹣λ2＋3＝1，得λ＝eq \r(2)(λ＝﹣eq \r(2)＜eq \f(1,4)，不符合，舍去)；
③当λ＞2时，g(t)min＝g(2)＝﹣4λ＋7，
令﹣4λ＋7＝1，得λ＝eq \f(3,2)＜2，不符合，舍去.
综上所述，实数λ的值为eq \r(2).
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)
当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数