2023-2024学年高一年级上学期数学人教A版（2019）必修一期末考试

这是一份2023-2024学年高一年级上学期数学人教A版（2019）必修一期末考试，共16页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上；，已知，，，则，若，且，则的值为，函数的大致图象是，已知函数，则，成立的充分不必要条件可以是等内容，欢迎下载使用。
期末考试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．请将答案正确填写在答题卡上；
3. 本试卷考试时间：120分钟，试卷总分：150分。
第I卷（选择题 共60分）
一、单选题：本题共8题，每题5分，共40分
1．设集合，或，则（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ）
A．B．12C．D．
6．为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
7．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4题，每题5分，共20分
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于点中心对称
C．的图象关于直线对称D．在上单调递增
10．成立的充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递减
D．函数在上有3个零点
12．设常数，函数，若方程有三个不相等的实数根，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B． C．的取值范围为D．
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4题，每题5分，共20分
13．对任意实数且，函数的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则 .
14．已知函数，则的单调增区间为 .
15．“，”是假命题，则实数的取值范围为 .
16．已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6题，17题10分，18-22题每题12分，共70分
17．（本题共10分）
计算：
(1)；
(2)．
18．（本题共12分）
已知全集为，集合，．
(1)若，求集合；
(2)请在①“”是“”的充分条件，② ，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并完成问题解答．若________，求实数a的取值范围．
19．（本题共12分）
已知函数。
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的值.
20．（本题共12分）
某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
(1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值．
21．（本题共12分）
已知函数且.
(1)讨论函数的奇偶性；
(2)当时，判断在的单调性并加以证明；
(3)解关于的不等式.
22．（本题共12分）
已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】由题意得，所以，
故选：A
2．B
【分析】由可解得结果.
【详解】由函数有意义，得解得，
所以函数的定义域为.
故选：B
3．A
【分析】根据指数、对数函数的单调性，将a，b，c与0或1比较，分析即可得答案.
【详解】由题意得，，所以，
又，
所以.
故选：A
4．C
【分析】根据已知求出，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.
【详解】解：因为，所以，
又，所以，
所以.
故选：C.
5．D
【分析】根据题意，结合对数的运算法则，得到，代入即可求解.
【详解】由题意，函数为上的奇函数，且，即，
且当时，，
又由.
故选：D.
6．B
【分析】由函数图像的伸缩变换和平移变化规律求解.
【详解】由可知，函数的图像每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图像，再向右平移个单位，得函数的图像.
故选：B
7．C
【分析】根据函数解析式判断奇偶性排除B，再由函数值的符号可排除AD，即可得解.
【详解】因为定义域为，关于原点对称，
且，
所以函数为偶函数，故排除B选项，
令可得，当或时，，故排除AD.
故选：C
8．B
【分析】先利用指数函数与一次函数的单调性，分段讨论的单调性，从而得到，再由在上的单调性得处有，从而得到，由此得解.
【详解】因为在上单调递增，
当时，在上单调递增，所以；
当时，在上单调递增，所以，即；
同时，在处，，即，即，
因为，所以，即，
解得或（舍去），
综上：，即.
故选：B.
9．ACD
【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】的最小正周期为，A正确，
，B错误，
，C正确，
当时，，单调递增，D正确，
故选：ACD
10．BC
【分析】先求得的等价条件，再利用充分不必要条件的性质得到集合的包含关系，从而得解.
【详解】令，，
由得，故，
若是成立的充分不必要条件，则是的真子集，
对于A，不是的真子集，故A错误；
对于B，是的真子集，故B正确；
对于C，是的真子集，故C正确；
对于D，不是的真子集，故D错误；
故选：BC.
11．AC
【分析】根据周期及奇函数的性质求出，再利用正弦函数性质逐项判断即可.
【详解】因为函数的最小正周期是，所以，
则，
把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为，
因为为奇函数，所以，，即，，
因为，所以，，所以，
对于A，，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，，
所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，当时，，
函数在上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，故C正确；
对于D，由，得，即，
令，解得，又，所以或，
所以函数在上有2个零点，分别为，，故D错误.
故选：AC.
12．ABD
【分析】由解析式作出图象，采用数形结合的方式可确定AC正确；由知B正确；根据分段函数的函数值求法可知D正确.
【详解】由解析式可得图象如下图所示，

有三个不等实根等价于与有三个不同交点，
由图像可知：，A正确；
若，则，即，，B正确；
，则，，C错误；
，D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围、方程根的和等知识；解题的基本思路是根据解析式作出函数图象，采用数形结合的方式来进行观察求解.
13．/
【分析】函数过定点得到，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】函数的图象经过定点，点P在角θ的终边上，故，
.
故答案为：
14．/（-1，1）
【分析】先求定义域为，再利用复合函数的单调性法则“同增异减”即可求得.
【详解】因为，解得：，所以的定义域为.
令，则.
要求的单调增区间，只需.
所以，所以的单调增区间为.
故答案为：.
15．
【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围.
【详解】由题意可知，“，”的否定是真命题，
即“，”是真命题，
当时，，不等式显然成立，
当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
16．
【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间 上恰有个零点得到，求得答案.
【详解】由已知得：恒成立，则 ，
，
由得，
由于在区间 上恰有3个零点，
故，则， ，
则,
只有当时，不等式组有解，此时，故，
故答案为：
17．(1)；(2)；
【分析】（1）利用有理数指数幂运算性质求解即可；
（2）利用对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
18．(1)或；(2)或；
【分析】（1）直接根据集合的补集以及交集的定义计算即可；
（2）若选①，则可知，列出相应的不等式，解得答案；若选②，求出，再根据集合的交集运算，列出相应的不等式，解得答案；若选③，根据集合的并集运算，列出相应的不等式，解得答案；
【详解】（1）集合或，集合，
若，
所以或
所以或.
（2）若选①“”是“”的充分条件，则，
即或，
所以或，
或；
若选②，
所以或
或
若选③，，
则或，或.
19．(1)2；(2)
【分析】(1)将分子分母同除以 ，得到，再根据，即可解得结果；
（2）将化简得到，再将该式平方，整理可得到，进而解得的值，代入表达式中计算即可.
【详解】（1）由得; ,
所以，即，
解得 ；
（2）由得： ①，
所以 ，
则 ，所以 ，
则 ，
而 ，所以 ②，
由①②联立可得 ，故 ，
所以 .
20．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式；
（2）由（1）中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得；
（3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；
【详解】（1）设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为
则，
∴，
依题意，∴，
当时，∴，
∴．
（2）令，即，
∴，
∵，∴，
∴或，
解得或，
∴或时，1号座舱与地面的距离为17米．
（3）依题意，
∴
令，解得，
所以当时，H取得最大值
21．(1)奇函数
(2)增函数，证明见解析
(3)当时，解集为，当时，解集为.
【分析】(1)根据奇函数的定义证明；
(2)根基单调性的定义证明；
(3)利用单调性和奇偶性解不等式.
【详解】（1）由可得，所以的定义域为，
又因为，
所以，
所以函数为奇函数.
（2）判断：在的单调递增，证明如下，
，
因为，所以，
且
所以所以，
所以在的单调递增.
（3）由(2)可知，当时，在的单调递增，
且函数为奇函数，所以在的单调递增，
又因为同号，所以由可得解得，
当时，以下先证明在的单调递减，
，
因为，所以，
且
所以所以，
所以在的单调递减.
且函数为奇函数，所以在的单调递减，
又因为同号，所以由可得解得，
综上，当时，解集为，当时，解集为.
22．(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据，代入计算可得；
（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.
（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.
【详解】（1）由题意知，，
即，所以，
故.
（2）由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
（3）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.