绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、抛物线的焦点到其准线的距离是( )
A.1B.2C.3D.4
2、某种心脏手术,成功率为0.6,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.6,我们用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功;再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果,经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5
3、如图,在平行六面体中,设,,,则与向量相等的是( )
A.B.C.D.
4、若光线从点射到y轴上,经y轴反射后经过点,则光线从点P到点Q走过的路程为( )
A.10B.C.D.
5、抛掷两枚质地均匀的骰子,设事件“两枚骰子的点数之和为偶数”,事件“恰有一枚骰子的点数为偶数”,则( )
A.B.
C.A与B互为对立事件D.A与B互为互斥但不对立事件
6、已知F为抛物线的焦点,过F作垂直x轴的直线交抛物线于M、N两点,以MN为直径的圆交y轴于C、D两点,且,则抛物线方程为( )
A.B.C.D.
7、已知双曲线的左､右焦点分别为,,P为双曲线上第二象限内一点,若渐近线垂直平分线段,,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
8、阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的焦点为,过F作直线l交椭圆于A,B两点,若弦AB是圆的一条直径,则椭圆的面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知,分别为直线,的方向向量（,不重合）,,分别为平面,的法向量（,不重合）,则下列说法中,正确的是( )
A.B.C.D.
10、某单位健康体测,男性平均体重为64千克,方差为151;女性平均体重为56千克,方差为159,男女人数之比为,该单位全体工作人员平均体重和方差分别为( )
A.B.C.D.
11、已知双曲线的左、右顶点分别为A,B,P是C上任意一点,则下列说法正确的是( )
A.C的渐近线方程为
B.若直线与双曲线C有交点,则
C.点P到C的两条渐近线的距离之积为
D.当点P与A,B两点不重合时,直线PA,PB的斜率之积为2
12、下列四个命题表述正确的是( )
A.倾斜角相等的两条直线,斜率也相等
B.圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1
C.曲线与曲线恰有三条公切线,则
D.已知圆,点P的坐标为,过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点,则弦AB长度的最小值为
三、填空题
13、若直线与直线垂直,则a的值为___________.
14、已知点,直线l过点,且l的一个方向向量为则点P到直线l的距离为____________.
15、已知Q为抛物线上的动点,动点M满足到点的距离与到点F（F是C的焦点）的距离之比为则的最小值是______________.
16、已知椭圆的左,右焦点分别为,,焦距为,P是椭圆C上一点（不在坐标轴上）,Q是的平分线与x轴的交点,若,则椭圆离心率的范围是___________．
四、解答题
17、某景点某天接待了1000名游客,其中老年500人,中青年400人,少年100人,景点为了提升服务质量,采用分层抽样从当天游客中抽取100人,以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照,,,,分成5组,制成如下频率分布直方图：
（1）求抽取的样本老年、中青年、少年的人数;
（2）求频率分布直方图中a的值;
（3）估计当天游客满意度分值的分位数.
18、设O为坐标原点,直线与抛物线交于A,B两点,若.
（1）求抛物线C的方程;
（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点,且与抛物线C交于D,E两点,求的值.
19、已知直线l经过两条直线和的交点,且与直线垂直．
（1）求直线l的方程;
（2）若圆C过点,且圆心在x轴的正半轴上,直线l被该圆所截得的弦长为,求圆C的标准方程．
20、甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏,规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球,其中2个红球,2个白球,甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球,然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符,则乙获胜,否则甲获胜,一轮游戏结束,然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种;
猜法一：猜“第二次取出的球是红球”;
猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：
（1）如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜法,并说明理由;
（2）假定每轮游戏结果相互独立,规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方,且整个游戏停止．若乙按照（1）中选择猜法进行游戏,求乙获得游戏胜利的概率．
21、如图,在四棱锥中,底面ABCD,ABCD是直角梯形,,,点E是PB的中点.

（1）证明：平面平面PBC;
（2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为,求平面PAC与平面ACE所成角的余弦值.
22、已知椭圆的离心率为,且椭圆上的点到焦点的最长距离为．
（1）求椭圆C的方程：
（2）直线l（不过原点O）与抛物线相交于M,N两点,以MN为直径的圆经过原点O,且此直线l也与椭圆C相交于A,B两点,求面积的最大值及此时直线l的方程.
参考答案
1、答案：A
解析：抛物线的焦点为,准线方程为,
所以焦点到准线的距离;
故选：A.
2、答案：A
解析：由题意,10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,表示“3例心脏手术全部成功”的有：569,989,故2个,
故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.
故选：A.
3、答案：C
解析：因为,
所以.
故选：C.
4、答案：C
解析：找到Q点关于y轴的对称点,
由对称性可知P,Q间距离等于间的距离,
求得.
故选：C.
5、答案：C
解析：因为事件“两枚骰子的点数之和为偶数”,
即事件A包括两枚骰子的点数之和为偶数分为两枚骰子都为奇数和偶数,
,
事件“恰有一枚骰子的点数为偶数”,
即事件B为两枚骰子一枚为奇数,一枚偶数,即两枚骰子的点数之和为奇数.
所以,
所以A与B互为对立事件,且
故A,B,D错误;C正确.
故选：C.
6、答案：B
解析：由题意可知通径,所以圆的半径是P,
在中,,,解得：,
所以抛物线方程：.
故选：B.
7、答案：A
解析：到渐近线的距离为,
因为渐近线垂直平分线段,所以,
又因为,据双曲线的定义知：,即,
所以,
故选：A.
8、答案：C
解析：弦AB是圆的一条直径,AB中点坐标为,
又直线l过点,,
设,
由得：,
即,
又,,,
,又,,,
,,椭圆的面积.
故选：C.
9、答案：ACD
解析：A：由题设,对;
B：由题设,或,错;
C：由题设,对;
D：由题设,对.
故选：ACD.
10、答案：AD
解析：依题意,设男性人数为（）,女性人数为,
该单位全体人员体重的平均数为：,
所以该单位全体人员体重的方差为：．
故选：AD.
11、答案：AC
解析：双曲线,则,,
对于A,C的渐近线方程为,A正确;
对于B,由双曲线的渐近线方程为可知,
若直线与双曲线C有交点,则,B错误;
对于C,设点,则,
点P到C的两条渐近线的距离之积为,C正确;
对于D,易得,,设,则,
所以直线PA,PB的斜率之积为,D错误．
故选：AC.
12、答案：BCD
解析：当倾斜角为时,直线的斜率不存在,故A错误;
因为圆心到直线的距离,而圆的半径为2,所以圆上存在三个点到直线距离为1,故B正确;
曲线可化为,即圆心为,半径,
曲线可化为,即圆心为,半径,两圆有3条公切线,故两圆外切,所以,
即,解得,故C正确;
因为点P的坐标为,故点P在直线上,圆心到直线的距离,
如图,
因为PC垂直平分线段AB,
则,当取得最小值,即时,弦AB长度的最小值为,故D正确.
故选：BCD.
13、答案：2
解析：因为直线与直线垂直,
所以,解得,即a的值为2.
故答案为：2.
14、答案：
解析：易知,所以点P到直线l的距离为.
故答案为：.
15、答案：
解析：由题意得,等于点Q到准线的距离,
过点Q作QS垂直准线于点S,则,
设动点,则,整理得,
所以点M的轨迹为以为圆心,半径为的圆,
所以,所以当S,Q,M,B四点共线时,最小,
故
故答案为：.
16、答案：
解析：如图,根据椭圆对称性,假设点P在第一象限,
,,,PQ是的平分线,
,则,由,
可得,由,可得,由,
可得.
故答案为：.
17、答案：（1）50;40;10
（2）
（3）.
解析：（1）老年、中青年、少年的人数比例为,
故抽取100人,样本中老年人数为人,
中青年人数为人,
少年人数为人;
（2）易知组距为10,由频率分布直方图可得,,
解得;
（3）设当天游客满意度分值的分位数为x,
因为,,
所以x位于区间内,则,解得,
可知估计当天游客满意度分值的分位数为82.5.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为与抛物线交于A,B,且,
根据对称性可得,,
代入得,解得,
所以抛物线C的方程.
（2）由（1）知抛物线的焦点为,
可知直线的方程为 ,设,,
联立方程,消去y得,
则,可得,
所以.

19、答案：（1）
（2）
解析：（1）.
直线的斜率为-1,所以直线l的斜率为1,
所以直线l的方程为.
（2）设圆的标准方程为,
则,
所以圆的标准方程为.
20、答案：（1）选择猜法二,理由见解析
（2）
解析：（1）用a,b表示两个红球,用1,2表示两个白球,甲不放回取两球的所有结果：
ab,ba,a1,1a,a2,2a,b1,1b,b2,2b,12,21,共12个不同结果,它们等可能,
令事件A为“第二次取出的是红球”,则事件A所含结果有：ab,ba,1a,2a,1b,2b,共6个,
令事件B为“两次取出球的颜色不同”,则事件B所含结果有：a1,1a,a2,2a,b1,1b,b2,2b,共8个,
于是得,,显然,,
为了尽可能获胜,应该选择猜法二．
（2）由(1)知,乙选择猜法二,每一轮乙获胜的概率为,
游戏结束时,乙获胜的事件M是乙在第一、二轮胜的事件,第一轮负另外两轮胜的事件,第二轮负另外两轮胜的事件的和,它们互斥,
于是得,
所以乙获得游戏胜利的概率是.
21、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）平面ABCD,平面ABCD,.
,由,且ABCD是直角梯形,
,
即,.
,平面PBC,平面PBC,平面PBC.
平面EAC,平面平面PBC.
（2）平面ABCD,平面ABCD,.
又,,平面PAC,平面PAC,平面PAC,
即为直线PB与平面PAC所成角.
,,则,
取AB的中点G,连接CG,以点C为坐标原点,
分别以,,为x轴､y轴､z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
,,,
设为平面PAC的法向量,则,
令,得,得,
设为平面ACE的法向量,
则,
令,则,得.
.
平面PAC与平面ACE所成角的余弦值的余弦值为.
22、答案：（1）
（2）面积的最大值是,此时l的方程为．
解析：（1）设椭圆上的点坐标为,,右焦点,
则点D到焦点距离为
,
当时,取得最大值,
由题意知：
,
椭圆C的方程为;
（2）显然,直线l的斜率存在,设直线l方程为,
,,,,
联立直线与抛物线方程得：,
以MN为直径的圆经过原点O,则,
或（舍去）,所以直线的方程为：,
联立直线与椭圆方程得：,,
,
,
法一：设直线与y轴的交点为,
.
法二：设直线与x轴的交点为,
,
法三：原点到直线l的距离为,所以,
其中,令,．,
当且仅当时等号成立,此时,且满足,
面积的最大值是,此时l的方程为．