第五章 数列-备战2024年高考数学重难点专题测试模拟卷（新高考专用）

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本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·浙江杭州·统考二模）在数列中，“数列是等比数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质及充分不必要条件的定义即可判断，
【详解】数列是等比数列，得，
若数列中，则数列不一定是等比数列，如数列，
所以反之不成立，则“数列是等比数列”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
2．（2023•江西一模）已知等差数列的前项和，若，则
A．150B．160
C．170D．与和公差有关
【答案】B
【分析】根据题意，由等差数列的性质可得，由此计算可得答案．
【详解】解：根据题意，等差数列中，若，则，
故．
故选B．
3．（2023•吉林一模）已知为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则等于
A．35B．C．D．
【答案】C
【分析】设等比数列的公比为，由已知可得首项和公比的方程，解得首项和公比，再由等比数列的求和公式求解．
【详解】解：设等比数列的公比设为，
由，且与的等差中项为，可得，，
解得，，
则．
故选C．
4．（2023·山东菏泽·统考一模）2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（ ）（，）
A. 40B. 41C. 42D. 43
【答案】C
【解析】
【分析】
设对折次时，纸的厚度为，则是以为首项，公比为的等比数列，
求出的通项，解不等式即可求解
【详解】设对折次时，纸的厚度为，每次对折厚度变为原来的倍，
由题意知是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
令，
即，所以，即，
解得：，
所以至少对折的次数是，
故选：C
5.（贵州凯里一中2023届高三三模）正项等比数列的前n项积为，且满足，，则下列判断错误的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．
【答案】D
【分析】先根据题干条件判断出，然后结合等比数列的性质逐一分析每个选项.
【详解】由知：或，若，
此时，但与矛盾，
故，故，故A正确，
根据等比中项可得，，B正确；
由于，显然C正确，
，D错误．
故选：D
6．（2023春·吉林通化二模）数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知①，
当时，，
当时，②，
①-②，得，
若，，符合题意，
所以，则，
所以，
则
.
故选：D.
7．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．2nC．D．
【答案】D
【解析】令，
由可得：，
两式作差可得：，
化简整理可得：，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，进而可得：．
故选：D．
8.（2023•福建一模）任意写出一个正整数，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成，如果是个偶数，则下一步变成，无论是怎样一个数字，最终必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列为正整数），若，则的所有可能取值之和为
A．188B．190C．192D．201
【答案】B
【分析】根据“冰雹猜想”，一一列举出所有可能的情况即可．
【详解】解：由题意，的可能情况有：
①：②；
③：④
⑤：⑥．
．的所有可能取值为2，16，20，3，128，21，所有可能取值的和为190．
故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.（2023·福建·统考一模）记正项等比数列an的前n项和为Sn，则下列数列为等比数列的有（ ）
A．an+1+anB．an+1anC．SnanD．SnSn+1
【答案】AB
【分析】根据等比数列的定义和前n项公式和逐项分析判断.
【详解】由题意可得：等比数列an的首项a1>0，公比q>0，即an>0,Sn>0，
对A：an+1+an>0，且an+2+an+1an+1+an=an+1+anqan+1+an=q，即an+1+an为等比数列，A正确；
对B：an+1an>0，且an+2an+1an+1an=an+2an=q2，即an+1an为等比数列，B正确；
∵Sn=na1,q=1a11-qn1-q,q≠1，则有：
对C：Sn+1an+1Snan=anan+1Sn+1Sn=1qSn+1Sn=n+1n,q=11q1-qn+11-qn,q≠1，均不为定值，即Snan不是等比数列，C错误；
对D：Sn+1Sn+2SnSn+1=Sn+2Sn=n+2n,q=11-qn+21-qn,q≠1，均不为定值，即SnSn+1不是等比数列，D错误；
故选：AB.
10．（辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试题）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】运用累和法、裂项相消法，结合等差数列的前n项和公式逐一判断即可.
【详解】由题意可知：，于是有，
显然可得：， ，因此选项A不正确，选项B正确；
当 时，，
显然适合上式，，因此选项D不正确；
，
，因此选项C正确，
故选：BC
11.（2023·山东枣庄·统考二模）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（ ）
A．
B．当戓6时，取得最小值为30
C．数列的前10项和为50
D．当时，与数列共有671项互为相反数．
【答案】AC
【解析】因为等差数列，且，公差，
所以，
，
所以，，
所以选项A正确；
因为，
根据二次函数的对称性及开口向下可知：
取得最大值为，故选项B错误；
记的前10项和为，
因为，当时，解得，
当时，解得，
所以
，
因为，所以，
所以，故选项C正确；
记，因为，，
所以，所以当时，，
由，，可知为偶数，
若与互为相反数，则，且为偶数，
由，所以为偶数，即为偶数，即为偶数，
即，即，且为偶数，所以，且为偶数，
故这样的有670个，故选项D错误.
故选：AC
12.（2023·浙江·校联考二模）定义：若存在正实数M使，则称正数列为有界正数列．已知数列满足，为数列的前n项和．则（ ）
A．数列为递增数列B．数列为递增数列
C．数列为有界正数列D．数列为有界正数列
【答案】BC
【分析】对于A，设，求导后放缩为，从而可知当时，单调递减，即可判断；对于B，由可知数列为递增数列，即可判断；对于C，由A分析，即可判断；对于D，借助不等式，从而可得，即可得到，从而可判断.
【详解】对于A，设，，
当时，，则，
所以当时，，则当时，，
所以当时，单调递减，A错误；
对于B，因为，所以数列为递增数列，B正确；
对于C，由A分析可知，当正实数M为前6项的最大项时，就有，所以数列为有界正数列，C正确；
对于D，令，则，
所以当时，，即在上单调递减，
所以，即，
由，
所以，D错误.
故选：BC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·河北唐山·统考三模）设为等比数列的前项和，，，则__________.
【答案】/0.875
【详解】设等比数列的公比为，
由，得，则，
由等比数列求和公式可知．
故答案为：．
14．（江苏省七市2023届高三三模数学试题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，a1＋a5＝3a2，则_____．
【答案】/
【分析】由，得到与的关系，再利用等差数列的前n项和公式和通项公式求解.
【详解】解：，
∴，
∴，
．
故答案为：
15.（2023·山东聊城·统考一模）记为不大于实数的最大整数，已知数列的通项公式为，则的前2023项的和______．
【答案】4962
【解析】
【分析】根据定义表示出由此计算出；
【详解】根据题意知：
；
故答案为：4962
16．（2023·辽宁大连·统考三模）定义：对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在数列与不是同一数列，且满足下面两个条件：
（1）是的一个排列；
（2）数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”.给出下面三个数列：
①数列的前项和；
②数列：1，2，3，4，5；
③数列：1，2，3，4，5，6.
具有“性质”的为________；具有“变换性质”的为_________.
【答案】 ① ②
【详解】解：对于①，当时，
，
，2，3，为完全平方数
数列具有“性质”；
对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换性质”，数列为3，2，1，5，4，具有“性质”， 数列具有“变换性质”；
对于③，，1都只有与3的和才能构成完全平方数，，2，3，4，5，6，不具有“变换性质”．
故答案为：①；②．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研）记数列的前n项和为，对任意，有．
(1)证明：是等差数列；
(2)若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围．
【详解】（1）因为①，则②
①－②可得
，
故为等差数列．
（2）若当且仅当时，取得最大值，
则有,得则，，
故的取值范围为．
18．（2023·山东烟台·统考一模）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可；
（2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
设数列的公比为，
因为，，成等差数列，
所以，
即，
解得或，
因为各项均为正数，
所以，
所以，
由，
得，
解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
则，
所以，
两式相减可得，
整理可得．
19．（南京二模）已知数列的前项和为，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
【详解】（1），则，
整理得到，故，
故是常数列，故，即，
当时，，
验证时满足，故
（2），
故
.
20.（2023·浙江·校联考二模）设数列的前n项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设且，求数列的前n项和为．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用及等比数列的定义求的通项公式；
（2）讨论的奇偶性，应用分组求和及等比数列前n项和公式求.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，则.
（2）由题设知：，，
当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上，，.
21．（浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期3月联考数学试题）已知数列是以d为公差的等差数列，为的前n项和．
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若中的部分项组成的数列是以为首项，4为公比的等比数列，且，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，可得，后由等差数列性质可得公差，即可得通项公式；
（2）由题可得，.后由是以d为公差的等差数列，可得数列是以为首项．4为公比的等比数列，可求得数列的通项公式，后由分组求和法可得的前n项和．
【详解】（1））因为，所以，
所以.
所以.
则数列的通项公式为.
（2）因为数列是以首项为，公比为4等比数列.
所以.
因为数列是等差数列，所以.
化简得.
因为，所以，即.
所以.
因为，所以数列是以为首项．4为公比的等比数列
所以.
所以.
则数列的前n项和为：.
22．（2023·浙江温州·统考三模）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，是否存在实数，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，.
【详解】（1）设，第一行从左到右成等差数列的公差为，
则，
由，得，即有，
于是，又，解得，因此，，
所以，即.
（2）由（1）知，
当为奇数时，不等式等价于恒成立，而恒成立，则；
当为偶数时, 不等式等价于恒成立，而恒成立，则 ，
因此, 所以存在，使得恒成立.