2023-2024学年辽宁省名校联盟高一上学期12月份联合考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省名校联盟高一上学期12月份联合考试数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知命题p:∃x>0，πx−2x>0，则p的否定为
( )
A. ∃x≤0，πx−2x<0B. ∀x≤0，πx−2x≤0
C. ∀x>0，πx−2x<0D. ∀x>0，πx−2x≤0
2.已知函数fx=x3−2,x≥01x2−1,x<0，则ff1=( )
A. 1B. 0C. −1D. −2
3.已知3a=2，b=lg312−lg38，则a+b=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
4.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为−∞,m∪−1,+∞m<−1，则b+4a1−m的最小值为
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知集合M=x,y∣ax−by=1，N=x,y∣x−3y=−2，在求M∩N时，甲同学因将x−3y=−2看成x+3y=−2，求得M∩N=−15,−35，乙同学因将x−3y=−2看成x−3y=2，求得M∩N=−13,−79.若甲、乙同学求解过程正确，则M∩N=( )
A. 1,1B. −1,1C. −1,−1D. 1,−1
6.某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以a%的增长率生长，经过8天后，该植物的长度是原来的32倍，则28天后该植物的长度是原来的
( )
A. 27 632倍B. 27 616倍C. 27 68倍D. 27 64倍
7.设a>0且a≠1，若函数fx=ax3x−2x是R上的奇函数，则a=( )
A. 66B. 12C. 33D. 22
8.若9a−lg66b=3b−lg62a，则
( )
A. 2a二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知12( )
A. 34C. 1310.已知全集U=R，集合M=xx>3，N=x−2A. M∩∁UNB. ∁UM∪NC. ∁UM∩ND. ∁UM∩∁UN
11.已知函数fx=5x+5−x，则
( )
A. fx的图象关于y轴对称B. fx的单调递增区间为−∞,0
C. fx的最小值为2D. fa2+2>f2a
12.已知x1，x2分别为函数fx=2xx−22−3xx>2与gx=2lg3x−4x−2−2x>2的零点，则下列关系式正确的是
( )
A. 43C. 2x1+2x2=x1x2D. x1x2>16
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数fx=x−1−1在区间2,3上的平均变化率为______．
14.若函数fx=12023x2−2x在区间D上单调递增，请写出一个满足条件的区间D为______．
15.已知实数016.函数fx= x− 2−x+ x2−x的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知全集U=x∈Z−3≤x<3，A=xx2+x−6=0，B=xax2−x=0，C=−1,2．
(1)若B∩C≠⌀，且(B∩C)⊆A，求a的值及集合B；
(2)若∁U(A∪B∪C)=1，求a的值及(∁UA)∩(∁UB)．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)= 13x+2−1+lg(9−x2)的定义域为M，N=(−∞,a−3]∪[a+4,+∞)．
(1)求集合M；
(2)设全集为R，若“x∈M”是“x∈∁RN”的充分不必要条件，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=(8m2−1)xm的图象过点−m,n．
(1)求实数n的值；
(2)设函数gx=fx+1fx，用定义证明：gx在0,1上单调递减．
20.(本小题12分)
某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力发展特色产业，为提升特色产品的知名度，在一家广告设计公司制作了一批宣传特色产品的展牌.该公司制作x张展牌与其总成本y(元)之间的函数关系可近似地表示为y=3x2−200x+30000．
(1)当制作多少张展牌时，能够使得每张展牌的平均成本最小?
(2)若公司每张展牌的售价为550元，公司要想盈利，对制作展牌张数有何要求?制作多少张展牌可盈利最大?(盈利=总售价−总成本)
21.(本小题12分)
已知函数fx=4a−7⋅ax+b−4(a>0且a≠1)是指数函数．
(1)求fx的解析式；
(2)若不等式bxm+ax+1−axbx+1+m≤0对任意x≥0恒成立，求m的 取值范围．
22.(本小题12分)
小颖同学在学习探究活动中，定义了一种运等“⊗”：对于任意实数a，b，都有a⊗b=lg10a+10b，通过研究发现新运算满足交换律：a⊗b=b⊗a.小颖提出了两个猜想：∀x，y，z∈R，①x⊗y⊗z=x⊗y⊗z；②x⊗y+z=x+z⊗y+z．
(1)请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；(注：两个猜想都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分)
(2)设a>0且a≠1，s=lgax−2ax−4a，当0答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可写出答案．
解：根据特称命题的否定为全称命题，
所以命题p的否定为：∀x>0，πx−2x≤0．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】直接计算得到答案．
解：fx=x3−2,x≥01x2−1,x<0，则ff1=f−1=1−1=0．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据指数式和对数式的互化，表示出a，根据对数的运算性质，即可求得答案．
解：由3a=2可得a=lg32，而b=lg312−lg38，
故a+b=lg32+lg312−lg38=lg3248=lg33=1，
故选：C
4.【答案】D
【解析】【分析】根据给定的解集，可得m−1=−ba并且b>0，再利用均值不等式求出最小值即得．
解：由一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为−∞,m∪−1,+∞m<−1，
得m,−1是方程ax2+bx+c=0的两个不等实根，并且a>0，
于是m−1=−ba，即有b=a(1−m)>0，因此b+4a(1−m)=b+4b≥2 b⋅4b=4，
当且仅当b=4b，即b=2时取等号，所以b+4a(1−m)的最小值为4．
故选：D
5.【答案】A
【解析】【分析】确定−15a+35b=1且−13a+79b=1，得到a=4b=3，根据交集的概念联立方程解得答案．
解：根据题意：−15a+35b=1且−13a+79b=1，解得a=4b=3,
即M=x,y∣4x−3y=1，
由4x−3y=1x−3y=−2，解得x=1y=1,
故M∩N=1,1．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】设植物原来长度m，根据8天后，该植物的长度是原来的32倍，求出1+a%=(32)18，再结合指数幂的运算即可求得28天后该植物的长度是原来的多少倍．
解：设植物原来长度m，经过8天后，该植物的长度是原来的32倍，
故m(1+a%)8=32m，即(1+a%)8=32，即1+a%=(32)18
28天后该植物的长度是m(1+a%)28，即为原来的(1+a%)28倍，
则(1+a%)28=(32)18×28=(32)72=278× 32=27 616，
即28天后该植物的长度是原来的27 616倍，
故选：B
7.【答案】A
【解析】【分析】根据函数fx=ax3x−2x为奇函数可得a−x3−x−2−x=−ax3x−2x，结合指数幂的运算化简，即可求得答案．
解：由于函数fx=ax3x−2x是R上的奇函数，
故f−x=−f(x)，即a−x3−x−2−x=−ax3x−2x，
故a2x=−3−x−2−x3x−2x=13x⋅2x=(16)x，即(a2)x=(16)x,∴a2=16，
因为a>0，故a= 66，
故选：A
8.【答案】D
【解析】【分析】设fx=3x+lg6x，函数在0,+∞上单调递增，根据f2a>fb和f2a解：9a−lg66b=3b−lg62a，即32a+lg62a=3b+lg66b，
设fx=3x+lg6x，函数在0,+∞上单调递增，
①32a+lg62a=3b+lg66b>3b+lg6b，即f2a>fb，故2a>b；
②32a+lg62a=3b+lg66b<36b+lg66b，即f2a综上所述：12b故选：D．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】由不等式12解：由不等式12根据不等式的基本性质，可得34所以A、B、D正确，C不正确．
故选：ABD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、交集、并集的定义逐项计算判断即得．
解：全集U=R，集合M=xx>3，N=x−2则∁UM={x|x≤3},∁UN={x|x≤−2或x≥4}，
对于A，M∩(∁UN)={x|x≥4}，A不是；
对于B，M∪N={x|x>−2}，∁U(M∪N)={x|x≤−2}，B是；
对于C，(∁UM)∩N={x|−2对于D，(∁UM)∩(∁UN)={x|x≤−2}，D是．
故选：BD
11.【答案】ACD
【解析】【分析】计算f−x=fx得到 A正确，举反例得到B错误，根据均值不等式计算C正确，确定函数单调性，根据a2+2>2a得到答案．
解：对选项A：fx=5x+5−x定义域为R，则f−x=5x+5−x=fx，函数为偶函数，正确；
对选项B：f−1=265，f−2=62625，f−1对选项C：fx=5x+5−x≥2 5x×5−x=2，当且仅当x=0时等号成立，正确；
对选项D：当x≥0时，设5x=5x=t，t≥1，则y=t+1t在1,+∞上单调递增，
故fx在0,+∞上单调递增，
a2+2≥2，2a≥0，a2+2−2a=a−12+1>0，即a2+2>2a，
故fa2+2>f2a，正确；
故选：ACD．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】确定函数单调性，计算f4<0，f3>0，得到30，得到3解：对选项A：fx=2+4x−22−3x，函数在2,+∞上单调递减，
f4=−65<0，f3=9>0，故3对选项B：gx=2lg3x−4x−2−2，函数在2,+∞上单调递增，
g3=−4，g6=2lg36−3=lg33627>0，故3对选项C：fx=2xx−22−3x=0，即2xx−2= 3x，
gx=2lg3x−4x−2−2=0，即2xx−2=lg 3x，
y= 3x和y=lg 3x关于y=x对称，y=2xx−2关于y=x对称，
故x1,2x1x1−2和x2,2x2x2−2关于y=x对称，x1=2x2x2−2，即x1x2=2x1+2x2，正确；
对选项D：x1x2=2x1+2x2，x1,x2>2，故x1x2=2x1+2x2≥2 4x1x2，即x1x2≥16，
等号成立的条件为x1=x2=4，此条件不成立，故x1x2>16，正确；
故选：BCD
13.【答案】−16
【解析】【分析】根据给定的函数，利用函数平均变化率的定义列式计算即得．
解：函数fx=x−1−1在区间2,3上的平均变化率为(13−1)−(12−1)3−2=−16．
故答案为：−16
14.【答案】[−3,0](答案不唯一)．
【解析】【分析】令gx=x2−2x，根据二次函数的性质，求得函数gx的单调区间，结合指数函数的单调性和复合函数单调性的判定方法，即可求解．
解：由函数fx=12023x2−2x，
令gx=x2−2x，可得函数gx在(−∞,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，
又由函数fx=12023x在定义域R上为单调递减函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数fx在(−∞,1]上单调递减，
则函数fx的一个单调[−3,0]．
故答案为：[−3,0](答案不唯一)．
15.【答案】−1
【解析】【分析】将1a+1b−a+b化为1a+a+1b−a+(b−a)，利用基本不等式可确定1a+1b−a+b取得最小值时a,b的值，即可求得答案．
解：由题意00，
故1a+1b−a+b=1a+a+1b−a+(b−a)≥2+2=4，
当且仅当1a=a且1b−a=b−a，即a=1,b=2时等号成立，
故a−b=−1，
故答案为：−1
16.【答案】32
【解析】【分析】求出函数f(x)的定义域，按0≤x≤1,1 求含有二次根式的函数最值，可通过换元转化为熟悉的函数，再利用相应的方法求最值．
解：函数f(x)= x− 2−x+ x(2−x)的定义域为[0,2]，
函数y= x− 2−x在[0,2]上单调递增，当0≤x≤1时，y= x(2−x)单调递增，
于是函数f(x)在[0,1]上单调递增，当0≤x≤1时，f(x)≤f(1)=1，
当10，f(x)= 2−2 x(2−x)+ x(2−x)，
显然 x(2−x)∈[0,1)，令 2−2 x(2−x)=t∈(0, 2]，则 x(2−x)=1−12t2，
于是y=t+1−12t2=−12(t−1)2+32，当且仅当t=1，即x=1+ 32时，ymax=32，
所以当x=1+ 32时，函数f(x)= x− 2−x+ x(2−x)取得最大值32．
故答案为：32
17.【答案】解：(1)依题意，A={−3,2}，由C=−1,2，且B∩C≠⌀，(B∩C)⊆A，得B∩C={2}，
即2∈B，因此4a−2=0，解得a=12，经验证符合题意，
解方程12x2−x=0，得x=0或x=2，B=0,2，
所以a=12，B={0,2}．
(2)依题意，U={−3,−2,−1,0,1,2}，由∁U(A∪B∪C)=1，得A∪B∪C={−3,−2,−1,0,2}，
由(1)知A∪C={−3,−1,2}，因此B={−2,0}，有4a+2=0，解得a=−12，经验证符合题意，
∁UA={−2,−1,0,1},∁UB={−3,−1,1,2}，则(∁UA)∩(∁UB)={−1,1}，
所以a=−12，(∁UA)∩(∁UB)={−1,1}．

【解析】【分析】(1)求出集合A，由(B∩C)⊆A确定集合B∩C中元素，进而求出a的值及集合B．
(2)将全集U用列举法表示，由补集的意义求出A∪B∪C，进而求出集合B即可求解．
18.【答案】解：(1)由函数f(x)= 13x+2−1+lg(9−x2)有意义，得3x+2−1>09−x2>0，解得x>−2−3所以M=(−2,3)．
(2)由(1)知M=(−2,3)，由N=(−∞,a−3]∪[a+4,+∞)，得∁RN=(a−3,a+4)，
由“x∈M”是“x∈∁RN”的 充分不必要条件，得MÜ∁RN，即(−2,3)Ü(a−3,a+4)，
因此a−3≤−2a+4>3或a−3<−2a+4≥3，解得−1所以a的取值范围是−1≤a≤1．

【解析】【分析】(1)根据给定的函数有意义，列出不等式求解即得定义域．
(2)求出∁RN，利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得．
19.【答案】解：(1)由函数f(x)=(8m2−1)xm是幂函数，得8m2−1=1，解得m=±12，
当m=12时，函数y=x12的定义域为[0,+∞)，显然此函数图象不可能过点(−12,n)，即m=12不符合题意，
当m=−12时，函数y=x−12的定义域为(0,+∞)，显然此函数图象可以过点(12,n)，
所以m=−12，函数f(x)=x−12，n=f(12)=(12)−12= 2．
(2)由(1)知，函数f(x)=x−12，则函数g(x)=x−12+x12= x+1 x，
∀x1,x2∈(0,1),x1由0即有( x1− x2)(1−1 x1x2)>0，则g(x1)>g(x2)，
所以函数gx在0,1上单调递减．

【解析】【分析】(1)由幂函数的 定义求出m，再利用函数定义域确定m值，进而求出n的值．
(2)利用(1)的结论，利用函数单调性定义证明单调性．
20.【答案】解：(1)由题意知制作x张展牌与其总成本y(元)之间的函数关系可近似地表示为y=3x2−200x+30000，
故每张展牌的平均成本为yx=3x+30000x−200(元)，
则yx=3x+30000x−200≥2 3x⋅30000x−200=400(元)，
当且仅当3x=30000x，即x=100时等号成立，
当制作100张展牌时，能够使得每张展牌的平均成本最小；
(2)设公司盈利为f(x)元，则f(x)=550x−(3x2−200x+30000)=−3x2+750x−30000，
令f(x)=−3x2+750x−30000>0，则50故公司要想盈利，制作展牌张数需满足集合{x∈N∗|50又f(x)=−3x2+750x−30000=−3(x−125)2+16875，
当x=125时，f(x)取到最大值16875，
故制作125张展牌可盈利最大．

【解析】【分析】(1)由题意用总成本除以张数即可得平均成本的表达式，利用基本不等式可求得答案；
(2)求出盈利的函数表达式，解一元二次不等式可求得制作展牌张数的要求，结合二次函数的最值可求得制作多少张展牌可盈利最大．
21.【答案】解：(1)因为f(x)=(4a−7)⋅ax+b−4(a>0且a≠1)是指数函数，
所以4a−7=1,b−4=0，解得a=2,b=4，
所以fx的解析式为f(x)=2x．
(2)将a=2,b=4代入不等式bxm+ax+1−axbx+1+m≤0，
得4xm+2x+1−2x4x+1+m≤0，
由于2x>0，上式同时除以2x，得2xm+2×2x−4×22x+m≤0，
整理得2x−1m−2⋅2x2≤0，
因为x≥0，令t=2x−1≥0，则2x=t+1，
所以不等式转化为mt−2⋅t+12≤0，整理得tm≤2t2+4t+2恒成立，
当t=0时，0≤2恒成立．
当t>0时，m≤2t+2t+4，
因为2t+2t+4≥2 2t⋅2t+4=8，当且仅当2t=2t，即t=1时等号成立，
所以m≤8，即m的取值范围是−∞,8．

【解析】【分析】(1)利用指数函数的定义即可得解；
(2)代入a,b，将不等式转化为tm≤2t2+4t+2恒成立，从而分类讨论，结合基本不等式即可得解．
22.【答案】解：(1)若选①x⊗y⊗z=x⊗y⊗z，猜想正确；
证明：x⊗y⊗z=lg(10x+10y)⊗z=lg[10lg(10x+10y)+10z]=lg(10x+10y+10z)，
x⊗y⊗z=x⊗lg(10y+10z)=lg[10x+10lg(10y+10z)]=lg(10x+10y+10z)，
故x⊗y⊗z=x⊗y⊗z；
若选②x⊗y+z=x+z⊗y+z，猜想成立；
证明：x⊗y+z=lg(10x+10y)+z，
而x+z⊗y+z=lg(10x+z+10y+z)=lg[(10x+10y)⋅10z]=lg(10x+10y)+z，
故x⊗y+z=x+z⊗y+z；
(2)由题意可知fx=s+1⊗s+3−1−lg101=lg(10s+1+10s+3)−1−lg101
=lg[10s+1⋅(1+102)]−1−lg101=s+1+lg101−1−lg101=s
=lgax−2ax−4a，
令g(x)=(x−2a)(x−4a)=x2−6a+8a2，其图象对称轴为x=3a，
故g(x)在(0,2a)上单调递减，
因为fx在区间m,n上的值域为lgan,lgam，
故lgan此时y=lgax在(0,+∞)上单调递减，
所以fx=lgag(x)在m,n上单调递增，则f(m)=lganf=lgam，即lgam−2am−4a=lganlgan−2an−4a=lgam,( )
即m−2am−4a=nn−2an−4a=m，整理得m2−n2−6a(m−n)=−(m−n)，
即m+n−6a=−1，将n=6a−m−1代入m−2am−4a=n，
得m2−6a−1m+8a2−6a+1=0，同理得n2−6a−1n+8a2−6a+1=0，
即m,n是x2−6a−1x+8a2−6a+1=0在(0,2a)上的两个不同的根，
令ℎ(x)=x2−6a−1x+8a2−6a+1，则ℎ0=8a2−6a+1>0ℎ2a=−4a+1>00<6a−12<2aΔ=6a−12−48a2−6a+1>0,
解得a14或a12a<1416
【解析】【分析】(1)无论选①还是选②，均要根据新运算定义分别计算两个猜想等式的两边，比较其结果，即可证明结论；
(2)根据新运算定义化简可得fx的表达式，根据复合函数的单调性判断其单调性，结合其值域可得关于m,n的方程，继而推出m,n是x2−6a−1x+8a2−6a+1=0在(0,2a)上的两个不同的根，结合方程根的分布列出不等式组，即可求得答案．
本题给出了新运算的定义，解答时要理解其含义，并根据新定义去运算，解答的难点在于第二问，要结合新运算求得fx的表达式，并判断其单调性，进而结合值域得到关于参数的方程，再利用方程根的分布求解即可．