2023-2024学年湖北省鄂西南三校高一上学期12月联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省鄂西南三校高一上学期12月联考数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x∣x>3},N=x∣x2−8x+7<0，则M∩N=( )
A. 3,8B. 3,7C. 1,3D. 1,7
2.已知函数fx的定义域为1,4，则fx+2x的定义域为
( )
A. −1,2B. 3,6C. −1,0∪0,2D. −1,0∪0,3
3.已知f(x+1)=x+1，则函数f(x)的解析式为
( )
A. f(x)=x2B. f(x)=x2+1(x≥1)
C. f(x)=x2−2x+2(x≥1)D. f(x)=x2−2x(x≥1)
4.已知函数f(x)=x(2x−2−x)|x|−1，则f(x)的图象大致是
( )
A. B.
C. D.
5.碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物组织内的碳14质量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡t年后，碳14所剩质量C(t)=C0(12)t5730，其中C0为活体生物组织内碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物处亡年代.2023年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的质量约为原始质量的0.92倍，已知(12)2.12≈0.23，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为
( )
A. 金(公元1115−1234年)B. 元(公元1206−1368年)
C. 明(公元1368−1644年)D. 清(公元1616−1911年)
6.已知关于x的不等式x2−a+1x+a<0恰有四个整数解，则实数a的取值范围是
( )
A. 5,6B. −4,−3C. −4,−3∪5,6D. −4,−3∪5,6
7.已知x>0,y>0，且1x+2+1y=23，若x+y>m2+3m恒成立，则实数m的取值范围是
( )
A. −4,6B. −3,0C. −4,1D. 1,3
8.函数y=2 −x2+2x+8的单调区间为
( )
A. 在(−∞,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增
B. 在[−2,1]上单调递减，在[1,4]上单调递增
C. 在(−∞,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减
D. 在[−2,1]上单调递增，在[1,4]上单调递减
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列比较大小正确的是( )
A. 20.1<20.2B. 5 2>6 2C. 0.3−3.5>0.3−2.3D. 1.20.5<0.51.2
10.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是( )
A. y=x0−1与y=0B. y= x⋅ 1−x与y= x−x2
C. y=|x|与z=4y4D. y=x+1与y=x3+1x2−x+1
11.定义函数x=x−x为实数x的小数部分，x为不超过x的最大整数，则不正确的有
( )
A. x的最小值为0，最大值为1B. x在n,n+1n∈Z为增函数
C. x是奇函数D. x满足x+1=x
12.已知定义在0,+∞的函数fx满足：当x1≠x2时，恒有x2fx1−x1fx2x1−x2>0，则
( )
A. 3f4<4f3
B. 函数y=fxx在区间0,+∞为增函数
C. 函数y=xfx在区间0,+∞为增函数
D. f2x1+x2+fx1+2x2>3fx1+x2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题“∀x∈R，1x−2<0”的否定是________________．
14.已知fx=a+2x,x<1x2−2ax+1,x≥1在定义域内单调，则a的取值范围是_____________．
15.已知f(x)= mx2−mx+1，若函数y=f(x)的值域为[0,+∞)，则实数m的取值范围为__________．
16.已知函数gx的定义域为R，满足g2−x=−gx，gx−1的图象关于直线x=1对称，且g0=1，则g2= ；i=123gi2= ．附注：i=1ngi=g1+g2+g3+⋯+gn．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算下列各式的值
(1)−0.10+32×223+14−12
(2)设3x=4y=36，2x+1y的值．
18.(本小题12分)
已知集合A=x|x2−3x+2=0，B=x|ax2−2a+1x+2=0．
(1)若a=2，求A∩B；
(2)若A∩B=B，求实数a的取值集合．
19.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=(m2−2m+2)x3k−k2(k∈Z)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增．
(1)求函数f(x)的解析式
(2)若f(2x−1)20.(本小题12分)
已知函数fx=−x2+ax,x≥0mx2+nx,x<0是定义在R上的奇函数．
(1)当a=4时，求m，n的值：
(2)若函数fx在0,+∞上单调递减．
(i)求实数a的取值范围：
(ii)若对任意实数u，不等式fu−1+fu2+t<0恒成立，求实数t的取值范围．
21.(本小题12分)
2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产x(百辆)，需另投入成本Cx(万元)，且Cx=10x2+900x,0(1)求2023年的利润fx(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
22.(本小题12分)
函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1．
(1)求f(x)的对称中心；
(2)已知函数g(x)=−x2+mx，若对任意的x1∈−1,1，总存在x2∈1,+∞，使得g(x1)≤f(x2)，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】先解一元二次不等式，再根据交集定义计算即可．
解：因为 N={x∣1故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据题意，结合抽象函数的定义域的求解方法，以及函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解．
解：由题意知，函数 fx 的定义域为 1,4 ，
则函数 fx+2x 满足 1即函数 fx+2x 的定义域为 −1,0∪0,2 ．
故选：C．
3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查函数解析式的求解，属基础题．
直接采用换元法令t= x+1，再代入化简即可得到答案．
【解答】解：设 x+1=t，则x=(t−1)2(t≥1)，
所以f(t)=(t−1)2+1=t2−2t+2(t≥1)，
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2−2x+2(x≥1)．
故选C．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，属于基础题．
根据函数的奇偶性判断A选项；由f(12)<0可以判断B、C选项，即可求解．
【解答】
解：易得函数f(x)的定义域为x|x≠±1，关于原点对称，
在定义域内有f(−x)=−x(2−x−2x)|−x|−1=x(2x−2−x)|x|−1=f(x)，
所以函数f(x)在定义域x|x≠±1上是偶函数，其图象关于y轴对称，则A选项错误；
又f(12)=12(212−2−12)|12|−1=− 22<0，则B、C选项错误．
故选D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查指数函数的应用和指数的运算性质，属于中档题．
【解答】
解析由题意知(12)t5730=0.92，又0.92=0.23×4≈(12)2.12×(12)−2=(12)0.12，
∴t≈5730×0.12=687.6，
2023−687.6=1335.4≈1335，
所以该生物死亡的朝代为元．
6.【答案】C
【解析】【分析】化不等式为 x−ax−1<0 ，分 a=1 ， a>1 和 a<1 三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解．
解：不等式 x2−a+1x+a<0 ，可化为 x−ax−1<0 ，
当 a=1 时，不等式 x2−a+1x+a<0 的解集为空集，不合题意；
当 a>1 时，不等式 x2−a+1x+a<0 的解集为 1,a ，
要使不等式 x2−a+1x+a<0 恰有四个整数解，则 5当 a<1 时，不等式 x2−a+1x+a<0 的解集为 a,1 ，
要使不等式 x2−a+1x+a<0 恰有四个整数解，则 −4≤a<−3 ，
综上可得，实数 a 的取值范围是 −4,−3∪5,6 ．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】【分析】利用基本不等式求出 x+2+y 的最小值，即可得到 x+y≥4 ，从而得到 m2+3m<4 ，解得即可．
解：因为 x>0 ， y>0 ，且 1x+2+1y=23 ，
所以 x+2+y=32x+2+y1x+2+1y=321+yx+2+x+2y+1
≥322+2 yx+2⋅x+2y=6 ，
当且仅当 yx+2=x+2y ，即 y=3 ， x=1 时取等号，
所以 x+y≥4 ，因为 x+y>m2+3m 恒成立，所以 m2+3m<4 ，
即 m−1m+4<0 ，解得 −4故选：C
8.【答案】D
【解析】【分析】本小题主要考查复合函数单调性的求法，考查函数定义域的求法，属于基础题.根据复合函数单调性同增异减，求得函数的单调区间．
解：由 −x2+2x+8=−x+2x−4≥0 ，解得函数 y=2 −x2+2x+8 的定义域为 −2,4 .由于 y=−x2+2x+8 开口向下，对称轴为 x=1 . y=2x 在 R 上递增，根据复合函数单调性同增异减可知函数 y=2 −x2+2x+8 在 [−2,1] 上单调递增，在 [1,4] 上单调递减．
故选：D
9.【答案】AC
【解析】【分析】根据指数函数与幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．
解：对于A，由指数函数 y=2x 为单调递增函数，可得 20.1<20.2 成立，所以A正确；
对于B，由幂函数 y=x 2 在 0,+∞ 上单调递增，可得 5 2<6 2 成立，所以B不正确；
对于C，由指数函数 y=0.3x为单调递减函数，可得 0.3−3.5>0.3−2.3 成立，所以C正确；
对于D，由 1.20.5>1.20=1,0.51.2<0.50=1 ，所以 1.20.5>0.51.2 ，所以D不正确．
故选：AC．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考题考查函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同，属于基础题．
判断两个函数是否为同一函数是两函数定义域相同和解析式相同，据此求解．
【解答】
解：对于A，y=x0−1的定义域为{x|x≠0}，y=0的定义域为R，定义域不同，故不是同一个函数；
对于B，y= x⋅ 1−x，由x⩾01−x⩾0，解得0⩽x⩽1，所以y= x−x2= x⋅ 1−x，由x−x2⩾0的定义域为{x|0⩽x⩽1}；
定义域、解析式相同，故为同一函数;
对于C，因为y=|x|与z=4y4=|y|的定义域、对应关系相同，故为同一函数，
对于D，因为y=x+1与y=x3+1x2−x+1=(x+1)(x2−x+1)x2−x+1=x+1的定义域、解析式相同，故为同一函数，
故选：BCD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】本题的关键是注意到 ∀x∈R,∃k∈Z ，使得 k≤x解：对于D，因为 ∀x∈R,∃k∈Z ，使得 k≤xk+1≤x+1这表明了 x+1=x ，故D正确；
对于B，首先 n对于C，由D选项分析可知， x 是周期为1的周期函数，
所以 12+−12=212=2×12−0=1≠0 ，故C错误；
对于A，由D选项分析得知， x 是周期为1的周期函数，
所以只需研究它在 0,1 上的最值情况即可，
而当 x∈0,1 时， x=x−0=x∈0,1 ，即 x 的最小值为0，没有最大值，故A错误．
故选：ABC．
12.【答案】BD
【解析】【分析】令 x1=4,x2=3 可判断A；不妨设 x1>x2>0 ，可得 x2fx1−x1fx2>0 ，即 f(x1)x1>f(x2)x2 ，即可判断B；结合选项B，可取 fx=x−4 判断C；结合选项B及不等式的性质判断D．
解：令 x1=4,x2=3 ，则有 3f4−4f34−3>0 ，即 3f4>4f3 ，故A错误；
不妨设 x1>x2>0 ，由 x2fx1−x1fx2x1−x2>0 ，可得 x2fx1−x1fx2>0 ，
∴ f(x1)x1>f(x2)x2 ，∴函数 y=fxx 在区间 0,+∞ 为增函数，故B正确；
由选项B可知，函数 y=fxx 在区间 0,+∞ 为增函数，
可取 fx=x−4 ，此时 y=fxx=1−4x 在区间 0,+∞ 为增函数，
而 y=xfx=x2−4x=x−22−4 ，可知函数 y=xfx 在 0,2 上为减函数，在 [2,+∞) 上为增函数，故C错误；
∵函数 y=fxx 在区间 0,+∞ 为增函数， 2x1+x2>x1+x2,x1+2x2>x1+x2 ，
∴ f2x1+x22x1+x2>fx1+x2x1+x2,fx1+2x2x1+2x2>fx1+x2x1+x2 ，
∴ f2x1+x2>2x1+x2fx1+x2x1+x2,fx1+2x2>x1+2x2fx1+x2x1+x2 ，
∴ f2x1+x2+fx1+2x2>2x1+x2fx1+x2x1+x2+x1+2x2fx1+x2x1+x2 =3fx1+x2 ，故D正确．
故选：BD．
13.【答案】∃x∈R ，使得 x≥2
【解析】【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出 ¬p ．
解：因为对全称量词的否定用特称量词，
所以命题“∀x∈R， 1x−2 <0”即为：“∀x∈R， x<2 ”，
所以其否定是：“ ∃x∈R ，使得 x≥2 ”．
故答案为： ∃x∈R ，使得 x≥2 ．
14.【答案】−1,0
【解析】【分析】根据指数函数，二次函数的单调性，结合分段函数单调性的要求即可求解．
解：由分段函数中当 x≥1 时， f(x)=x2−2ax+1 ，对称轴为 x=a ，所以，
当 a≤1 时，函数 fx 在 1,+∞ 上增函数；
当 a>1 时，函数 fx 在 1,a 上单调递减， a,+∞ 上单调递增函数，而在 [1,+∞) 上不单调．
综上可知，函数 fx=a+2x,x<1x2−2ax+1,x≥1 在R上单调递增函数．
因此可得 a+2>1a≤1a+2≤2−2a ，解得 −1故 a 的取值范围是 −1,0 ．
15.【答案】[4,+∞)
【解析】【分析】分类讨论，在 m>0 时由 Δ≥0 可得．
解： m=0 时， f(x)=1 不合题意，
因此 m>0 且 Δ=m2−4m≥0 ，∴ m≥4 ，
故答案为： [4,+∞) ．
16.【答案】−1；−1
【解析】【分析】根据函数的对称性得函数的周期，从而利用周期和对称性求和是解决本题的关键.根据已知可得 gx 的图象关于 1,0 对称、关于直线 x=0 对称，利用对称性可得 gx 的周期，结合已知条件和周期即可求和．
解：因为 g2−x=−gx ，所以函数 gx 的图象关于点 1,0 对称，且 g2=−g0=−1 ；
又 gx−1 的图象关于直线 x=1 对称，所以 gx 的图象关于直线 x=0 对称，
即 gx 为偶函数，所以 g4−x=g2−x−2=−g2−x=gx ，所以 gx 以4为周期，
所以 g8=g4=g0=1 ， g10=g6=g2=−1 ， g9=g5=g1=0 ，
g11=g7=g3=g−1=g1=0 ，所以 g1+g2+g3+⋯+g11=−1 ，
因为 g2−12=−g12 ，所以 g12+g32=0 ，同理 g52+g72=0 ， g92+g112=0 ， g132+g152=0 ， g172+g192=0 ， g212+g232=0 ，
所以 g12+g32+g52+⋯+g232=0 ．
所以 23i=1 g(i2)=g(12)+g(1)+g(32)+⋯+g(232)=−1 ．
故答案为： −1 ； −1
17.【答案】解：(1) −0.10+32×223+14−12
=1+213×223+4−1−12
=1+2+2=5 ．
(2) ∵3x=4y=36 ，
∴x=lg336 ， y=lg436
∴1x=lg363 ， 1y=lg364
∴2x+1y=2lg363+lg364=lg3632×4=1

【解析】【分析】本题考查分数指数幂的运算，对数和指数的关系，以及对数的运算，属于基础题.(1)根据分数指数幂的计算可得；
(2)根据对数和指数的关系，将指数式化成对数，再根据对数的运算及性质计算可得；
18.【答案】解：(1)由题意得集合 A=x|x2−3x+2=0={1,2} ， B=x|2x2−5x+2=0={2,12} ，
故 A∩B={2} ；
(2)由 A∩B=B 得 B⊆A ，
由于 A={1,2} ，
故 a=0 时， B=x|−x+2=0={2} ，满足题意；
当 a≠0 时，对于 ax2−2a+1x+2=0 ， Δ=(2a+1)2−8a=4(a−12)2≥0 ，
当 Δ=0 时， a=12 ，此时 B=x|12x2−2x+2=0={2} ，满足题意；
当 Δ>0 时， a≠12 ， a≠0 ，此时 B=1a,2 ，要满足 B⊆A ，则 1a=1,∴a=1 ，
故实数a的取值集合为 {0,1,12} ．

【解析】【分析】(1)求出集合A，B，根据集合的交集运算即得答案；
(2)由 A∩B=B 得 B⊆A ，分类讨论，根据判别式讨论集合B中元素，判断是否满足题意，确定a的值，即可得答案．
19.【答案】解：(1)∵幂函数f(x)=(m2−2m+2)x3k−k2(k∈Z)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，
∴m2−2m+2=1，且3k−k2 为正偶数，
∴m=1，k=1或2，故f(x)=x2．
(2)因为函数的f(x)是偶函数且在(0,+∞)上单调递增，且f(2x−1)∴|2x−1|<|2−x|，
∴4x2−4x+1即3x2<3，解得−1故x的取值范围为{x|−1【解析】本题考查幂函数的定义、性质，函数的单调性，奇偶性，不等式的求解，属于中档题．
(1)由幂函数性质得到m2−2m+2=1，且3k−k2 为正偶数，从而得到m，k，即可得f(x)求得解析式；
(2)利用函数的单调性和奇偶性可得|2x−1|<|2−x|，然后解不等式即可．
20.【答案】解：(1)当 x≥0 时， fx=−x2+4x ，
当 x<0 时， −x>0 ， f−x=−−x2−4x=−x2−4x ，
因为 fx 为定义在 R 上的奇函数，
所以 f−x=−fx ，故 −fx=−x2−4x ，所以 fx=x2+4x ，
所以 m=1,n=4 ；
(2)(i) fx 在 0,+∞ 上单调递减，
fx=−x2+ax ，开口向下，对称轴为 x=−a−2=a2 ，
所以 a2≤0 ，解得 a≤0 ，
(ii) fx 为定义在 R 上的奇函数，
故 fu−1+fu2+t<0⇒fu2+t<−fu−1=f1−u ，
又 fx 在 0,+∞ 上单调递减，故 fx 在R上单调递减，
故 u2+t>1−u ，即 t>−u2−u+1=−u+122+54 恒成立，
由于 gu=−u+122+54≤54 ，故 t>54 ，
实数 t 的取值范围为 54,+∞ ．

【解析】【分析】(1)根据函数的奇偶性得到 x<0 时的解析式，求出 m ， n 的值；
(2)(i)根据函数开口方向，对称轴，得到不等式，求出 a≤0 ；(ii)根据函数的奇偶性和单调性得到不等式，转化为 t>−u2−u+1=−u+122+54 恒成立，求出答案．
21.【答案】解：(1)当 0当 x≥40 时， f(x)=15×100x−1501x−10000x+9600−5000=−x−10000x+4600 ，
综上， fx=−10x2+600x−5000,0(2)由(1)知， fx=−10x2+600x−5000,0当 0因为 30∈0,40 ，所以，当 x=30 时， f(x)max=f(30)=4000 ，
当 x≥40 时， f(x)=−x−10000x+4600=−(x+10000x)+4600≤4600−2 x×10000x=4600−200=4400 ，
当且仅当 x=10000x ，即 x=100 时取等号，此时 x=100>40 ，又 4400>4000 ，
所以，2023年产量为 100 百辆时，企业所获利润最大，最大利润为 4400 万元．

【解析】【分析】(1)根据利润=销售额−成本，结合分类讨论思想进行求解即可；
(2)根据配方法、基本不等式进行求解即可．
22.【答案】解：(1)假设 fx 的图象存在对称中心 a,b ，
则 ℎx=fx+a−b=13x+a+1−b 的图象关于原点中心对称，
因为 ℎx 的定义域为 R ，所以 ℎ−x+ℎx=13−x+a+1−b+13x+a+1−b=0 恒成立，
即 1−2b3x+a+3−x+a+2−2b−2b⋅32a=0 恒成立，
所以 1−2b=02−2b−2b⋅32a=0 ，解得 a=0b=12 ，
所以 fx 的图象存在对称中心 0,12 ．
(2)函数 fx=13x+1x∈R 在区间 1,+∞ 上单调递减，在区间 1,+∞ 上值域为 0,14 ，
由题意可知： gx≤14 对 x∈−1,1 恒成立，
因为 g(x)=−x2+mx 开口向下，对称轴为 x=m2 ，
若 m2≤−1 ，即 m≤−2 时，则 g(x) 在 −1,1 上单调递减，
则 −1−m≤14 ，解得 m≥−54 ，不合题意；
若 −1则 −m24+m22≤14 ，解得 −1≤m≤1 ；
若 m2≥1 ，即 m≥2 时，则 g(x) 在 −1,1 上单调递增，
则 −1+m≤14 ，解得 m≤54 ，不合题意；
综上所述： m 的取值范围为 −1,1 ．

【解析】【分析】(1)构造函数 ℎx=fx+a−b ，由 ℎ−x+ℎx=0 列方程组，从而求得对称中心．
(2)先求得 fx 在区间 1,+∞ 上的值域，根据“任意”、“存在”以及绝对值不等式的知识列不等式，从而求得 m 的取值范围．