山东省菏泽外国语学校2024届高三上学期第二次月考试题数学

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高三年级数学试题
满分：120分 时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，使得”的否定形式是（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. ，使得D. ，使得
【答案】C
【解析】
【分析】由全称命题否定是特称命题，按定义即可得解.
【详解】由命题的否定的定义，因为原命题是“，使得”，
因此其否定形式应该把全称量词改为存在量词，把改为，
所以命题“，使得”的否定形式是“，使得”.
故选：C.
2. 已知，，若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简已知条件，利用基本不等式即可得出结论.
【详解】由题意，
，，，
∴，
∴，
当且仅当即时等号成立，
故选：C.
3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意先求出的定义域，再可求出的定义域
【详解】由，得，
所以的定义域为，
由，得，
所以的定义域为，
故选：D
4. 若，，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指数和对数函数的性质，利用中间值确定a，b，c的范围，即可求解．
【详解】指数函数在R上为减函数，则，即，
对数函数在上为增函数，则，
对数函数在上为增函数，则．因此.
故选：B．
5. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A. 0B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据在上的奇函数，且，得到的周期为4求解.
【详解】解：因为在上的奇函数，且，
所以，即，
所以，则周期为，
所以，
故选：A
6. 已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A. B. C. 3D. 或3
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义求出的值，再根据条件即可求出结果.
【详解】因为函数为幂函数，
所以，即，解得或，
又在上单调递减，所以，
故选：B.
7. 已知函数与的图像关于对称，则（ ）
A. 3B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解.
【详解】由题知是的反函数，所以，所以.
故选：B.
8. 定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数的图象关于直线对称可得，再根据当时，单调递减可得答案.
【详解】定义在上的函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
因为当时，为单调递增函数，
定义在上的函数的图象关于直线对称，
所以当时，单调递减，
因为，所以，即.
故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】化简集合，根据交集，并集及补集的定义运算即得.
【详解】由题可得或，，
则，
所以,.
故选：BD.
10. 函数在下列哪个区间内必有零点（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由零点的存在性定理求解即可
【详解】，，
，，
，
因为，
所以在和内存在零点.
故选：AD
11. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值9
B. 的最小值是
C. ab有最大值
D. 的最小值是
【答案】AB
【解析】
【分析】根据已知等量关系，应用基本不等式及“1”的代换、二次函数性质求各式的最值，注意取值条件.
【详解】，当且仅当时等号成立，A对；
，当且仅当即时等号成立，B对；
，则，当且仅当即时等号成立，C错；
由，则，而，
所以，当且仅当时等号成立，D错.
故选：AB
12. 设函数，则（ ）
A. 当时，的值域为
B. 当的单调递增区间为时，
C. 当时，函数有2个零点
D. 当时，关于x的方程有3个实数解
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，先求出函数在每一段范围，进而求出函数的值域；
对B，先得出函数的单调区间，然后结合条件求出的范围；
对C，根据函数零点的个数讨论出a的范围，进而判断答案；
对D，画出函数的图象即可得到答案.
【详解】A.当时，若，，
若，，于是值域为，故A正确；
B.的单调递增区间是和，因为的单调递增区间是，所以，即，故B正确；
C.当时，由，得，
当时，令，得，此方程有唯一解，得，即，故C错误；
D.当时，如图所示，的图象与直线有3个交点，D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则的范围为_______________
【答案】
【解析】
【分析】先求得的取值范围，根据不等式的性质求得的取值范围.
【详解】依题意可知，由于，由不等式的性质可知.
故填：.
【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查运算求解能力，属于基础题.
14. “，”是假命题，则实数的取值范围为 _________ ．（用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围．
【详解】由题意可知，“，”的否定是真命题，
即“，”是真命题，
当时，，不等式显然成立；
当时，由二次函数图像及性质可知，解得，
综上，实数的取值范围为，
故答案为：．
15. 不等式的解集是，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据解集得到，解出值，代入不等式解出即可.
【详解】不等式的解为,
一元二次方程的根为,,
根据根与系数的关系可得:,所以;
不等式即不等式,
整理,得，即
解之得，
不等式的解集是,
故答案为：.
16. 已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 化简求值：
（1）
（2）
【答案】17. 1 18.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可得；
（2）根据对数的运算性质计算即可得.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式.
18. 设全集，集合，集合．
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用集合的包含关系列出不等式求解作答.
（2）将问题转化为，再分空集和非空集合讨论求解作答.
【小问1详解】
由“”是“”的充分不必要条件，得，
又，，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，
则，无解，
所以实数的取值范围.
19. 已知二次函数，，且.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）函数图象与轴交点确定值，函数和函数相等，对应系数相等确定、值.
（2）根据区间上的单调性求出最值，即可得到区间上的值域.
【小问1详解】
解：因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，所以，
即．
【小问2详解】
解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线．
因为在递减，在递增，所以，
因为，，
所以，
所以在上的值域为．
20. 已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求时，函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；
（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解.
【小问1详解】
设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，.
【小问2详解】
作函数的图像如图所示，
要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
21. 已知函数.
（1）求该函数的定义域；
（2）求该函数的单调区间.
【答案】21.
22. 单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）令，解不等式即可求得定义域；
（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定的单调区间.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
的定义域为.
【小问2详解】
令，
在上单调递增；在上单调递减，
又在上单调递减，
的单调递增区间为，单调递减区间为.
22. 已知.
（1）作出函数的图象；
（2）写出函数的单调区间；
（3）若函数有两个零点，求实数m的取值范围.
【答案】（1）作图见解析
（2）的单调增区间是；无单调递减区间；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的表达式，作出函数的图象即可；
（2）根据函数的函数图象，写出单调区间即可；
（3）问题转化为求函数的交点问题，结合函数的图象，数形结合得出结果即可．
【小问1详解】
画出函数的图象，如图所示：
【小问2详解】
由图象得：
的单调增区间是；无单调递减区间；
【小问3详解】
若函数有两个零点，
则与有2个交点，结合图像得.