河南省2023年数学九年级第一学期期末质量跟踪监视试题

这是一份河南省2023年数学九年级第一学期期末质量跟踪监视试题，共21页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，如果两个相似三角形的相似比为2，一元二次方程的根的情况为等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知点，如果把点绕坐标原点顺时针旋转后得到点，那么点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．袋子中有4个黑球和3个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出一个球，摸到白球的概率为( )
A．B．C．D．
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：
则方程ax2＋bx＋1.37＝0的根是（ ）
A．0或4B．或C．1或5D．无实根
5．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．B．C．D．
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ）
A．10B．24C．48D．50
7．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为（ ）
A．2：3B．：C．4：9D．9：4
8．小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x=-1D．有两个相等的实数根
9．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
10．如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．三边的垂直平分线的交点
12．气象台预报“铜陵市明天降水概率是75%”．据此信息，下列说法正确的是（ ）
A．铜陵市明天将有75％的时间降水B．铜陵市明天将有75％的地区降水
C．铜陵市明天降水的可能性比较大D．铜陵市明天肯定下雨
二、填空题（每题4分，共24分）
13．计算：________．
14．如图，假设可以在两个完全相同的正方形拼成的图案中随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率是______．
15．已知平行四边形中，，且于点，则_____．
16．如果抛物线经过原点，那么______.
17．某10人数学小组的一次测试中，有4人的成绩都是80分，其他6人的成绩都是90分，则这个小组成绩的平均数等于_____分．
18．如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB=∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图1，抛物线y = ax2+bx-3经过A、B、C三点，己知点A(-3，0)、C (1， 0)．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B重合)．
①过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求 出此时P点的坐标；
②如图2，连接AP，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，当它恰好有一个顶点落在抛物 线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．
20．（8分）如图，的直径垂直于弦，垂足为，为延长线上一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径．
21．（8分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2;
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少?
22．（10分）四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品．已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，售价每上涨1元，销量下降10件．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？
（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，CD＝5，求FG的长．
24．（10分）已知抛物线y＝x2+bx﹣3经过点A（1，0），顶点为点M．
（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）求∠OAM的正弦值．
25．（12分）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AE，交CD于点F，求证：AB：CE＝BE：CF．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）将△ABC各顶点的横纵坐标都缩小为原来的得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1；
（2）求A1C1的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴，
∴S△DOE：S△AOC＝，
故选：D．
此题考查相似三角形的判定及性质，根据BE：EC＝1：3得到同高两个三角形的底的关系是解题的关键，再利用相似三角形即可解答.
2、B
【分析】连接OP，OP1，过P作PN⊥y轴于N，过P1作P1M⊥y轴于M，根据旋转的性质，证明，再根据所在的象限，即可确定点的坐标．
【详解】如图
连接OP，OP1，过P作PN⊥y轴于N，过P1作P1M⊥y轴于M
∵点绕坐标原点顺时针旋转后得到点
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
∵在第四象限
∴点的坐标为
故答案为：B．
本题考查了坐标轴的旋转问题，掌握旋转的性质是解题的关键．
3、A
【分析】根据题意，让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【详解】解：根据题意，袋子中有4个黑球和3个白球，
∴摸到白球的概率为：；
故选：A.
本题考查了概率的基本计算，摸到白球的概率是白球数比总的球数．
4、B
【分析】利用抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线经过点，由于方程ax2+bx+1.37=0变形为ax2+bx+0.37=-1，则方程ax2+bx+1.37=0的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+1.37=0的根为.
【详解】解：由抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，
因为抛物线经过点（0，0.37）、（4，0.37），
所以抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线经过点
所以抛物线经过点
方程ax2+bx+1.37=0变形为ax2+bx+0.37=-1，
所以方程ax2+bx+0.37=-1的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，
所以方程ax2+bx+1.37=0的根为.
故选：B．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
5、A
【分析】延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF∥BC知∠ADE=90°，由∠AEF=143°知∠AED=37°，根据sin∠AED，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．
【详解】如图，延长BA、FE，交于点D．
∵AB⊥BC，EF∥BC，
∴BD⊥DF，即∠ADE=90°．
∵∠AEF=143°，
∴∠AED=37°．
在Rt△ADE中，
∵sin∠AED，AE=1.2米，
∴AD=AE•sin∠AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，
则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．
故选：A．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．
6、C
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点，
∴，
∵．
∴，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数经过点C，
∴
故选C．
本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
7、C
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答．
【详解】∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个三角形的面积比为4：9，
故选：C．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
8、A
【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程求出答案．
【详解】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1，
∴（-1）2-4+c=0，
解得：c=3，
∵所抄的c比原方程的c值小2．
故原方程中c=5，
即方程为：x2+4x+5=0
则b2-4ac=16-4×1×5=-4＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
此题主要考查了方程解的定义和根的判别式，利用有根必代的原则正确得出c的值是解题关键．
9、B
【分析】直接利用判别式△判断即可．
【详解】∵△=
∴一元二次方程有两个不等的实根
故选：B．
本题考查一元二次方程根的情况，注意在求解判别式△时，正负号不要弄错了．
10、B
【分析】利用比例式a：b=c：x，与已知图形作对比，可以得出结论．
【详解】A、a：b=x：c与已知a：b=c：x不符合，故选项A不正确；
B、a：b=c：x与已知a：b=c：x符合，故选项B正确；
C、a：c=x：b与已知a：b=c：x不符合，故选项C不正确；
D、a：x=b：c与已知a：b=c：x不符合，故选项D不正确；
故选：B．
本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
11、D
【分析】可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到A点、B点的距离相等，然后思考满足到C点、B点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得．
【详解】解：如图：
∵OA＝OB，∴O在线段AB的垂直平分线上，
∵OB＝OC，∴O在线段BC的垂直平分线上，
∵OA＝OC，∴O在线段AC的垂直平分线上，
又三个交点相交于一点，
∴与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．
故选：D．
此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等．
12、C
【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依次分析选项可得答案．
【详解】解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得：
A、铜陵市明天将有75%的时间降水，故此选项错误；
B、铜陵市明天将有75%的地区降水，故此选项错误；
C、明天降水的可能性为75%，比较大，故此选项正确；
D、明天肯定下雨，故此选项错误；
故选：C．
此题主要考查了概率的意义，关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
【详解】
故答案为：．
本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．
14、
【分析】先设一个阴影部分的面积是x，可得整个阴影面积为3x，整个图形的面积是7x，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【详解】设一个阴影部分的面积是x，
∴整个阴影面积为3x，整个图形的面积是7x，
∴这个点取在阴影部分的概率是=，
故答案为：
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
15、60°
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据等腰三角形性质和三角形内角和求出，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
∴，
，
∴
，
，
，
故答案为：60°．
本题考查平行四边形的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用平行四边形的性质以及等腰三角形的性质求出，属于中考常考题型．
16、1
【分析】把原点坐标代入中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】∵抛物线经过点（0，0），
∴−1＋m＝0，
∴m＝1．
故答案为1．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
17、1．
【分析】根据平均数的定义解决问题即可．
【详解】平均成绩＝（4×80+6×90）＝1（分），
故答案为1．
本题考查平均数的定义，解题的关键是掌握平均数的定义.
18、∠P=∠B（答案不唯一）
【分析】要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或．
【详解】解：这个条件为：∠B=∠P
∵∠PAB=∠QAC，
∴∠PAQ=∠BAC
∵∠B=∠P，
∴△APQ∽△ABC，
故答案为：∠B=∠P或∠C=∠Q或．
本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）y = x2+2x﹣3；（2）①（﹣，），②（﹣－1，2）或（，）或(-1，-4)
【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）①由抛物线解析式y = x2+2x﹣3，令x=0，y=﹣3，求出点B（0，-3），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（﹣3,0）和B（0，﹣3）代入y =kx+b求出k=-1，b=-3，直线AB的解析式为y=﹣x﹣3，设E（x，﹣x﹣3），则PE=﹣（x+）2+，从而得当PE最大时，P点坐标为（﹣，）；
②抛物线对称轴为直线x=﹣1，A（﹣3,0），正方形APMN的顶点落在抛物线对称轴上的情况有两种情况，i) 当点N在抛物线对称轴直线x=﹣1上；ii）当点M在抛物线对称轴直线x=﹣1；根据这两种情况，作出图形，找到线段之间的等量关系，解之即可．.
【详解】（1）把A（﹣3,0）和C（1,0）代入y = ax2+bx﹣3得，
，解得，
∴抛物线解析式为y = x2+2x﹣3；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y=kx+b，
①由抛物线解析式y = x2+2x﹣3，令x=0，y=﹣3，
∴B（0，﹣3），
把A（﹣3,0）和B（0，﹣3）代入y =kx+b得，
解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣3，
∵PE⊥x轴，
∴E（x，﹣x﹣3），
∵P在直线AB下方，
∴PE=﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，
当x=﹣时，y= x2+2x﹣3=，
∴当PE最大时，P点坐标为（﹣，）.
②抛物线对称轴为直线x=﹣1，A（﹣3,0），正方形APMN的顶点落在抛物线对称轴上的情况有三种：
i)当点N在抛物线对称轴直线x=﹣1上时，作PR⊥x轴于点R，设对称轴与x轴的交点为L，如图①，
∵四边形APMN为正方形，
∴AN=AP，∠PAR+∠RAN=90°，
∵∠PAR+∠APR=90°，
∴∠APR=∠RAN，
在△APR和△NAL中

∴△APR≌△NAL（AAS），
∴PR=AL，
∵AL=﹣1－（﹣3）=2，
∴PR=2，此时x2+2x﹣3=2，解得x1=－1，x2=﹣－1，
∵P在直线AB下方，
∴x=﹣－1，
∴P（﹣－1，2）；
ii)当点M在抛物线对称轴直线x=﹣1上时，如图②，过点P作PH⊥对称轴于点H、作AG⊥HP于点G，
∵四边形APMN为正方形，
∴PA=PM，∠APM=90°，
∴∠APG+∠MPH=90°，
∵∠APG+∠GAP=90°，
∴∠GAP=∠HPM，
在△APG和△PMH中

∴△APG≌△PMH（AAS），
∴AG=PH，PG=MH，
∴GH=PG+PH
∵P(x，x2+2x-3)
∴x+3+（-x2-2x+3）=2，解得x1=，x2=，
∵P在直线AB下方，
∴x=，
∴P（，）
ⅲ) 当点P在抛物线对称轴直线x=-1.上时,P(-1，-4)，
终上所述，点P对应的坐标为（﹣－1，2）或（，）或(-1，-4).
本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式、配方法求二次函数最值、全等三角形的判定与性质等知识点，有一定综合性，难度适中．第（3）问的两种情况当中，根据图形，构造全等三角形是关键．
20、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理证得∠CBD=90°，然后根据等边对等角以及等量代换，证得∠OBF=90°即可证得；
（2）首先利用垂径定理求得BE的长，根据勾股定理求得圆的半径．
【详解】（1）连接OB．
∵CD是直径，
∴∠CBD=90°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=∠D，
又∠CBF=∠D，
∴∠CBF=∠OBD，
∴∠CBF+∠OBC=∠OBD+∠OBC，
∴∠OBF=∠CBD=90°，即OB⊥BF，
∴FB是圆的切线；
（2）∵CD是圆的直径，CD⊥AB，
∴，
设圆的半径是R，
在直角△OEB中，根据勾股定理得：，
解得：
本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
21、（1）W1=-2x²+60x+8000，W2=-19x+950；（2）当x=10时，W总最大为9160元.
【解析】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉（50-x）盆，根据盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元，②花卉的平均每盆利润始终不变，即可得到利润W1，W2与x的关系式；
（2）由W总=W1+W2可得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可得.
【详解】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉[100-(50+x)]=（50-x）盆，由题意得
W1=(50+x)(160-2x)=-2x²+60x+8000，
W2=19(50-x)=-19x+950；
（2）W总=W1+W2=-2x²+60x+8000+（-19x+950）=-2x²+41x+8950，
∵-2＜0，=10.25，
故当x=10时，W总最大，
W总最大=-2×10²+41×10+8950=9160.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找准数量关系列出函数解析式是解题的关键.
22、（1）为y＝﹣10x+2；（2）3元时每天获取的利润最大利润是4元；（3）45≤x≤1．
【分析】（1）根据每上涨1元，销量下降10件即可求解；
（2）根据每天获得利润等于单件利润乘以销售量列出二次函数，再根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据每天剩余利润不低于3600元和二次函数图象即可求解．
【详解】解：（1）根据题意，得
y＝250﹣10（x﹣45）＝﹣10x+2．
答：每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣10x+2．
（2）销售量不低于240件，得﹣10x+2≥240
解得x≤3，
∴30＜x≤3．
设销售单价为x元时，每天获取的利润是w元，根据题意，得
w＝（x﹣30）（﹣10x+2）
＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000
∵﹣10＜0，
所以x＜50时，w随x的增大而增大，
所以当x＝3时，w有最大值，
w的最大值为﹣10（3﹣50）2+4000＝4．
答：销售单价为3元时，每天获取的利润最大，最大利润是4元．
（3）根据题意，得
w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600
即﹣10（x﹣50）2＝﹣250
解得x1＝1，x2＝45，
根据图象得，当45≤x≤1时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
本题考查了二次函数的应用，利用二次函数的性质求最大值，正确求出二次函数关系式，理解二次函数的性质是解题的关键.
23、（1）与相切，证明见详解；（2）
【分析】（1）如图，连接OF，DF，根据直角三角形的性质得到CD=BD，由CD为直径，得到DF⊥BC，得到F为BC中点，证明OF∥AB，进而证明GF⊥OF，于是得到结论；
（2）根据勾股定理求出BC，BF,根据三角函数sinB的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）答：与相切．
证明：连接OF，DF，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD=BD=，
∵CD为 ⊙O直径，
∴DF⊥BC，
∴F为BC中点，
∵OC=OD，
∴OF∥AB，
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF，
∴为的切线；
（2）∵CD为Rt△ABC斜边上中线，
∴AB=2CD=10，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴BC=，
∴BF=，
∵FG⊥AB，
∴sinB=，
∴，
∴．
本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的中位线，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
24、（1）M的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）．
【解析】（1）把A坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出抛物线表达式，并求出顶点坐标即可；
（2）根据（1）确定出抛物线对称轴，求出抛物线与x轴的交点B坐标，根据题意得到三角形AMB为直角三角形，由MB与AB的长，利用勾股定理求出AM的长，再利用锐角三角函数定义求出所求即可．
【详解】解：（1）由题意，得1＋b﹣3＝0，
解这个方程，得，b＝2，
所以，这个抛物线的表达式是y＝x2＋2x﹣3，
所以y＝（x＋1）2﹣4，
则顶点M的坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）由（1）得：这个抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
设直线x＝-1与x轴的交点为点B，
则点B的坐标为（﹣1，0），且∠MBA＝90°，
在Rt△ABM中，MB＝4，AB＝2，
由勾股定理得：AM2＝MB2＋AB2＝16＋4＝20，即AM＝2，
所以sin∠OAM＝＝．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及解直角三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25、详见解析
【分析】证明△AEB∽△EFC，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论．
【详解】∵EF⊥AE，∠B=∠C=90°，
∴∠AEB+∠FEC=∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠AEB=∠EFC，
∴△AEB∽△EFC，
∴，
即AB：CE=BE：CF
本题考查了正方形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
26、（1）作图见解析；（2）
【解析】(1)直接利用位似图形的性质求解即可;(2)根据题意利用勾股定理解答即可.
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，△A2B2C2，都是符合题意的图形；
（2）A1C1的长为：．
本题考查了位似变换及勾股定理的知识点，解题的关键是由题意正确得出对应点的位置.
x
…
0
4
…
y
…
0.37
-1
0.37
…