2023年河南省九年级数学第一学期期末统考试题

这是一份2023年河南省九年级数学第一学期期末统考试题，共19页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，下列事件中，是必然事件的是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列方程中是关于的一元二次方程的是 ( )
A．B．C．D．
2．如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，下图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，交对角线于点，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（﹣6，0）
6．为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭，并将这些家庭的月用水量进行统计，结果如下表：
则关于这20户家庭的月用水量，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是5B．平均数是5C．众数是6D．方差是6
7．下列事件中，是必然事件的是( )
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B．明天太阳从西方升起
C．三角形内角和是D．购买一张彩票,中奖
8．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球，摸出白球的概率是( )
A．B．C．D．
9．在直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ）
A．B． C．D．
10．如图，在中，点分别在边上，且，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
11．抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（3，﹣1）
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若，BC=2，则sin∠A的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在双曲线的每个分支上，函数值y随自变量x的增大而增大，则实数m的取值范围是________．
14．反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是_______．
15．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB=___°．
16．北京时间2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约55000000年，那么55000000用科学记数法表示为_______．
17．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，1，2，4，5，5，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是__________．
18．抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是____________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？
20．（8分）A箱中装有3张相同的卡片，它们分别写有数字1，2，4；B箱中也装有3张相同的卡片，它们分别写有数字2，4，5；现从A箱、B箱中各随机地取出1张卡片，请你用画树形（状）图或列表的方法求：
（1）两张卡片上的数字恰好相同的概率．
（2）如果取出A箱中卡片上的数字作为十位上的数字，取出B箱中卡片上的数字作为个位上的数字，求两张卡片组成的两位数能被3整除的概率．
21．（8分）已知：二次函数，求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都在两个交点；
22．（10分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO及AO的延长线分别交⊙O于D、C两点，若∠A=40°，求∠C的度数．
23．（10分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根．
24．（10分）如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：△AEF∽△BFC．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
26．某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量P（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝x+1．从市场反馈的信息发现，该食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克，
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种食材能全部售出；当每天的产量大于市场需求量时，只能售出市场需求的量，而剩余的食材由于保质期短作废弃处理；
①当每天的食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x为多少时，y有最大值，并求出最大利润．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A、不是整式方程，故本选项错误；
B、当=0时，方程就不是一元二次方程，故本选项错误；
C、由原方程，得，符合一元二次方程的要求，故本选项正确；
D、方程中含有两个未知数，故本选项错误．
故选C．
此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键．
2、A
【分析】运用动点函数进行分段分析，当点P在AD上和在BD上时，结合图象得出符合要求的解析式．
【详解】①当点P在AD上时，此时BC是定值，BC边的高是定值，则△PBC的面积y是定值；
②当点P在BD上时，此时BC是定值，BC边的高与运动时间x成正比例的关系，则△PBC的面积y与运动时间x是一次函数，并且△PBC的面积y与运动时间x之间是减函数，y≥1．
所以只有A符合要求．
故选：A．
此题主要考查了动点函数的应用，注意将函数分段分析得出解析式是解决问题的关键，有一定难度．
3、C
【解析】根据圆周角的定义来判断即可. 圆周角必须符合两个条件：顶点在圆上，两边与圆相交，二者缺一都不是.
【详解】解：圆周角的定义是：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角叫圆周角.
A、图中的角的顶点不在圆上，不是圆周角;
B、图中的角的顶点也不在圆上，不是圆周角;
C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，是圆周角;
D．图中的角的顶点在圆上，而两边与圆不相交，不是圆周角;
故选：
本题考查了圆周角的定义.圆周角必须符合两个条件.
4、A
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质解答即可.
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴AD∥BC，AD=BC=3ED，
∴∠EDB=∠CBD，∠DEF=∠BCF，
∴△DFE∽△BFC，∴.
故选：A.
本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
5、C
【解析】根据二次函数解析式求得对称轴是x=3，由抛物线的对称性得到答案．
【详解】解：由二次函数得到对称轴是直线，则抛物线与轴的两个交点坐标关于直线对称，
∵其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为，
故选C．
考查抛物线与x轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质．
6、C
【分析】根据中位数的定义、平均数的公式、众数的定义和方差公式计算即可.
【详解】解：A、按大小排列这组数据，第10，11个数据的平均数是中位数，（6+6）÷2＝6，故本选项错误；
B、平均数＝（4×4+5×5+6×7+8×3+13×1）÷20＝6，故本选项错误；
C、6出现了7次，出现的次数最多，则众数是6，故本选项正确；
D、方差是：S2＝ [4×（4﹣6）2+5×（5﹣6）2+7×（6﹣6）2+3×（8﹣6）2+（13﹣6）2]＝4.1，故本选项错误；
故选C．
此题考查的是中位数、平均数、众数和方差的算法，掌握中位数的定义、平均数的公式、众数的定义和方差公式是解决此题的关键.
7、C
【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断
【详解】解：A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件;
B．明天太阳从西方升起是不可能事件;
C．任意画一个三角形,其内角和是是必然事件;
D．购买一张彩票，中奖是随机事件;
故选：
本题考查的是必然事件，必然事件是一定发生的事件.
8、A
【分析】根据概率公式计算即可.
【详解】∵盒子内装有红球1个、绿球1个、白球2个共4个球，
∴出一个球，摸出白球的概率是，
故选：A.
此题考查概率的公式，熟记概率的计算方法是解题的关键.
9、D
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都相反，进行判断即可．
【详解】点A(－1，2)关于原点的对称点的坐标为(1，－2)．
故选：D．
本题考查点的坐标特征，熟记特殊点的坐标特征是关键．
10、B
【分析】根据相似三角形平行线分线段成比例的性质，分别判定即可.
【详解】∵
∴∠A=∠CEF，∠ADE=∠ABC，∠CFE=∠ABC，，
∴∠ADE=∠CFE，，C选项正确；
∴△ADE∽△EFC
∴，A选项正确；
又∵
∴，D选项正确；
∵
∴不成立
故答案为B.
此题主要考查相似三角形平行线分线段成比例的运用，熟练掌握，即可解题.
11、A
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．
故选：A．
【点晴】
本题考查了二次函数的性质，主要是利用顶点式解析式写顶点的方法，需熟记．
12、C
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后再求sin∠A的大小．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，，BC=2
∴AB=
∴sin∠A=
故选：C．
本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、m＜﹣1
【分析】根据在双曲线的每个分支上，函数值y随自变量x的增大而增大，可以得到m+1＜0，从而可以求得m的取值范围．
【详解】∵在双曲线的每个分支上，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴m+1＜0，
解得，m＜﹣1，
故答案为m＜﹣1．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
14、m>1
【分析】由于反比例函数y＝的图象在一、三象限内，则m-1＞0，解得m的取值范围即可．
【详解】解：由题意得,反比例函数y＝的图象在一、三象限内，
则m-1＞0，
解得m＞1.
故答案为m＞1.
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的性质.
15、70°
【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求得∠AOB，由切线的性质求出∠OAP=∠OBP=90°，再由四边形的内角和等于360°，即可得出答案
【详解】解：连接OA、OB，∠ACB＝55°，
∴∠AOB=110°
∵PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB+∠OAP+∠AOB+∠OBP=360°
∴∠APB=180°-(∠OAP+∠AOB+∠OBP)=70°
故答案为：70
本题考查了切线的性质、四边形的内角和定理以及圆周角定理，利用切线性质和圆周角定理求出角的度数是解题的关键
16、
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将55000000用科学记数法表示为：5.5×1，
故答案为：5.5×1．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
17、
【分析】直接利用概率求法进而得出答案．
【详解】∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，1，2，4，5，5，
∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是： ．
故答案为：．
此题主要考查了概率公式，正确掌握概率公式是解题关键．
18、
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则a-1＜0，然后解不等式即可．
【详解】∵抛物线y=（a-1）x1在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴a-1＜0，解得a＜1．
故答案为a＜1．
此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）时，w最大；（3）时，每天的销售量为20件.
【分析】（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；
（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．
【详解】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：
，
解得：，
故函数的表达式为：y=-2x+160；
（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，
∵-2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x=50时，w由最大值，此时，w=1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；
（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，
解得：x≤70，
∴每天的销售量y=-2x+160≥20，
∴每天的销售量最少应为20件．
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．
20、（1）；（2）．
【分析】（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于放回实验．列举出符合题意：“两张卡片上的数字恰好相同”的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
（2）列举出符合题意：“两张卡片组成的两位数能被3整除”的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可
【详解】（1）由题意可列表：
∴一共有9种情况，两张卡片上的数字恰好相同的有2种情况，
∴两张卡片上的数字恰好相同的概率是；
（2）由题意可列表：
∴一共有9种情况，两张卡片组成的两位数能被3整除的有5种情况，
∴两张卡片组成的两位数能被3整除的概率是．
考点：列表法与树状图法．
21、见解析
【分析】计算判别式，并且配方得到△=，然后根据判别式的意义得到结论．
【详解】二次函数
∵，，，
∴
，
而，
∴，即为任何实数时， 方程都有两个不等的实数根，
∴二次函数的图象与轴都有两个交点．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
22、∠C =25°．
【分析】连接OB，利用切线的性质OB⊥AB，进而可得∠BOA=50°，再利用外角等于不相邻两内角的和，即可求得∠C的度数．
【详解】解：如图，连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∵∠A=40°，
∴∠BOA=50°，
又∵OC=OB，
∴∠C=∠BOA=25°．
本题主要考查切线的性质，解决此类题目时，知切点，则连半径，若不知切点，则作垂直．
23、（1）k＜2且k≠0；（2）x1＝2+，x2＝2﹣．
【解析】（1）利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝42﹣4k•2＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）先确定k的最大整数值得到方程x2﹣4x+2＝0，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1）由题意得，
b2﹣4ac＞0
即42﹣4k•2＞0
k＜2，
又∵一元二次方程k≠0
∴k＜2且k≠0；
（2）∵k＜2且k取最大整数
∴k＝1，
当k＝1时，x2﹣4x+2＝0
解得，x1＝2+，x2＝2﹣．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
24、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由已知先证明∠BAC=∠DAE，继而根据两边对应成比例且夹角相等即可得结论；
（2）根据相似三角形的性质定理得到∠C=∠E，结合图形，证明即可．
【详解】证明：如图，
（1）∵∠BAD＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD
即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中
，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠C＝∠E，
在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，
∴△AEF∽△BFC．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25、（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．
【分析】（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，
故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，
所以 ，解得；
（3）令，即，解得，，得到D（4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．
【详解】解：（1）∵=，令y=0，得到，，
∴A（－1，0），B（3，0），
∵直线l经过点A，
∴，，
∴，
令，即，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴，
∴，
∴直线l的函数表达式为；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝
＝＝，
∴△ACE的面积的最大值为，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴ ，解得；
（3）令，即，解得，，
∴D（4，5a），
∵，
∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，
∴，
∴P1（1，）；
②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（ ，），Q（2，），m＝，则P（1，8a），
∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，∴，∴P2（1，－4）．
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．
考点：二次函数综合题．
26、（1）q＝﹣x+14，其中2≤x≤10；（2）①2≤x≤4，②y＝；（3）x＝时取最大值，最大利润百元．
【分析】（1）根据表格数据，设q与x的函数关系式为：q＝kx+b，待定系数法即可求得；
（2）①根据题意，p≤q，计算即可求得x的取值范围；
②根据销售利润=销售量（售价-进价），列出厂家每天获得的利润（百元）与销售价格的函数关系；
（3）根据（2）中的条件分情况讨论即可.
【详解】（1）由表格的数据，设q与x的函数关系式为：q＝kx+b
根据表格的数据得，解得，
故q与x的函数关系式为：q＝﹣x+14，其中2≤x≤10
（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q
即x+1≤﹣x+14，解得x≤4
又2≤x≤10，所以此时2≤x≤4
②由①可知，当2≤x≤4时，
y＝（x﹣2）p＝（x﹣2）（x+1）＝x2+7x﹣16
当4＜x≤10时，y＝（x﹣2）q﹣2（p﹣q）
＝（x﹣2）（﹣x+14）﹣2[x+1﹣（﹣x+14）]
＝﹣x2+13x﹣16
即有y＝
（3）当2≤x≤4时，
y＝x2+7x﹣16的对称轴为x＝＝﹣7
∴当2≤x≤4时，随x的增大而增大
∴x＝4时有最大值，y＝20
当4＜x≤10时
y＝﹣x2+13x﹣16＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，＞4
∴x＝时取最大值
即此时y有最大利润百元．
本题考查一次函数和二次函数实际应用中的利润问题，属综合中档题.
月用水量（吨）
4
5
6
8
13
户数
4
5
7
3
1
销售价格x（元/千克）
2
4
……
10
市场需求量q（百千克）
12
10
……
4