河南省2023-2024学年九年级数学第一学期期末统考模拟试题

这是一份河南省2023-2024学年九年级数学第一学期期末统考模拟试题，共18页。试卷主要包含了对于题目“抛物线l1等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；其中所有正确的结论是（ ）
A．①③B．①③④C．①②③D．①②③④
2．函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
3．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是( )
A．B．C．D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则csB的值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，从点看一山坡上的电线杆，观测点的仰角是45°，向前走到达点，测得顶端点和杆底端点的仰角分别是60°和30°，则该电线杆的高度（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，点D、B分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC＝3DE；②＝；③＝；④＝；其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．使关于的二次函数在轴左侧随的增大而增大，且使得关于的分式方程有整数解的整数的和为（ ）
A．10B．4C．0D．3
8．对于题目“抛物线l1：（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，确定m的值”；甲的结果是m＝1或m＝2；乙的结果是m＝4，则（ ）
A．只有甲的结果正确
B．只有乙的结果正确
C．甲、乙的结果合起来才正确
D．甲、乙的结果合起来也不正确
9．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（ ）
A．20°B．35°C．40°D．55°
10．已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积是（ ）
A．6πB．9πC．12πD．16π
11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c－m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④m＞－2，其中，正确的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．同时投掷两个骰子，点数和为5的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为_____．
14．在一个不透明的塑料袋中装有红色白色球共个．除颜色外其他都相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，则口袋中红色球可能有________个．
15．已知为锐角，且，则度数等于______度.
16．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为__________.
17．年月日我国自主研发的大型飞机成功首飞，如图给出了一种机翼的示意图，其中，，则的长为_______．
18．若是方程的一个根，则式子的值为__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知抛物线C1：y1＝a（x﹣h）2+2，直线1：y2＝kx﹣kh+2（k≠0）．
（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；
（2）若a＞0，h＝1，当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，求t的取值范围．
（3）点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤k≤3时，若线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求a的取值范围．
20．（8分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB＝AD．
（1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由；
（2）BC＝6，DE＝2，求△BFD的面积．
21．（8分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
22．（10分）计算：2cs30°+sin45°﹣tan260°．
23．（10分）已知关于的方程
（1）当m取何值时，方程有两个实数根；
（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在轴上找到一点使最大，请直接写出此时点的坐标．
25．（12分）解不等式组，并求出它的整数解
26．李师傅驾驶出租车匀速地从西安市送客到咸阳国际机场，全程约，设小汽车的行驶时间为 (单位:)，行驶速度为(单位:)，且全程速度限定为不超过.
（1）求关于的函数表达式;
（2）李师傅上午点驾驶小汽车从西安市出发.需在分钟后将乘客送达咸阳国际机场，求小汽车行驶速度.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；
②根据抛物线与x轴的交点坐标即可得结论；
③根据对称轴和与x轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论；
④根据点（，1）和对称轴方程即可得结论．
【详解】解：①观察图象可知：
a＜1，b＜1，c＞1，∴abc＞1，
所以①正确；
②当x＝时，y＝1，
即a+b+c＝1，
∴a+2b+4c＝1，
∴a+4c＝﹣2b，
∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞1，
所以②正确；
③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（，1），
所以与x轴的另一个交点为（﹣，1），
当x＝﹣时，a﹣b+c＝1，
∴25a﹣11b+4c＝1．
所以③正确；
④当x＝时，a+2b+4c＝1，
又对称轴：﹣＝﹣1，
∴b＝2a，a＝b，
b+2b+4c＝1，
∴b＝﹣c．
∴3b+2c＝﹣c+2c＝﹣c＜1，
∴3b+2c＜1．
所以④错误．
故选：C．
本题考查了利用抛物线判断式子正负，正确读懂抛物线的信息，判断式子正负是解题的关键
2、B
【分析】本题可先通过抛物线与y轴的交点排除C、D，然后根据一次函数y＝ax图象得到a的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致．
【详解】解：由函数y＝ax2﹣1可知抛物线与y轴交于点（0，﹣1），故C、D错误；
A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故A错误；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，故B正确；
故选：B．
此题考查的是一次函数的图象及性质和二次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质与系数关系和二次函数的图象及性质与系数关系是解决此题的关键．
3、C
【解析】分析：
根据“俯视图”的定义进行分析判断即可.
详解：
由几何体的形状可知，俯视图有3列，从左往右小正方形的个数是1，1，1.
故选B．
点睛：弄清“俯视图”的含义是正确解答这类题的关键.
4、B
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，由勾股定理，得：
BC===1．csB==，
故选B．
本题考查锐角三角函数的定义．
5、A
【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x．
在直角△APE中，∠PAE=45°，
则AE=PE=x；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，，
∵AB=AE-BE=6，
则解得：
∴
在直角△BEQ中，
故选：A
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
6、D
【分析】先根据点DE分别是AB，AC的中点，得到DE是△ABC的中位线，进而得到BC＝2DE，DE∥BC，据此得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵△ABC中，点DE分别是AB，AC的中点，
∴BC＝2DE，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即；
∴，
故正确的有②．
故选：D．
本题考查的知识点三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，根据题目得出三角形相似是解此题的关键.
7、A
【分析】根据“二次函数在y轴左侧y随x的增大而增大”求出a的取值范围，然后解分式方程，最后根据整数解及a的范围即可求出a的值，从而得到结果．
【详解】∵关于的二次函数在轴左侧随的增大而增大，
，解得，
把两边都乘以，得，
整理，得，
当时，，
，
∴使为整数，且的整数的值为2、3、5，
∴满足条件的整数的和为．
故选：A．
本题考查了二次函数的性质与对称轴，解分式方程，解分式方程时注意符号的变化．
8、C
【分析】画出抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）的图象，根据图象即可判断．
【详解】解：由抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，4），
如图所示：
∵m为整数，
由图象可知，当m＝1或m＝2或m＝4时，抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，
∴甲、乙的结果合在一起正确，
故选：C．
本题考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题，作出函数的图象是解题的关键．
9、A
【解析】试题解析：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，∠BAC=90°﹣∠ABC=35°，∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，∴∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，∴∠ACD=∠MCA﹣∠DCM=55°﹣35°=20°．故选A．
10、C
【分析】圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可．
【详解】解：底面圆的半径为3，则底面周长=6π，侧面面积=×6π×4=12π，
故选C．
考点：圆锥的计算．
11、C
【详解】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
∵图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵图象与y轴交于x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，故②正确；
当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故③选项正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，则m＞﹣2，故④正确．
故选C．
考点：二次函数图象与系数的关系．
12、B
【解析】试题解析：列表如下：
∵从列表中可以看出，所有可能出现的结果共有36种，且这些结果出现的可能性相等，其中点数的和为5的结果共有4种，
∴点数的和为5的概率为：．
故选B．
考点：列表法与树状图法．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、60°
【解析】分析：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．
详解：如图作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB．

∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°．
∵OA=OB，∴∠ABO=30°，∴∠AOB=120°，
∴∠APB=∠AOB=60°．
故答案为60°．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质，求得∠OAD=30°是解题的关键．
14、1
【分析】设有红球有x个，利用频率约等于概率进行计算即可．
【详解】设红球有x个，
根据题意得：＝20%，
解得：x＝1，
即红色球的个数为1个，
故答案为：1．
本题考查了由频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率．
15、30
【分析】根据锐角三角函数值即可得出角度.
【详解】∵，为锐角
∴=30°
故答案为30.
此题主要考查根据锐角三角函数值求角度，熟练掌握，即可解题.
16、0.4m
【分析】先证明△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可.
【详解】∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO.
∵∠AOB=∠COD,
∴△OAB∽△OCD，
∴AO:CO=AB:CD,
∴4:1=1.6:CD,
∴CD=0.4.
故答案为0.4.
本题主要考查了相似三角形的应用，正确地把实际问题转化为相似三角形问题，利用相似三角形的判定与性质解决是解题的关键．
17、
【分析】延长交于点，设于点，通过解直角三角形可求出、的长度,再利用即可求出结论．
【详解】延长交于点，设于点，如图所示，
在中，，，
．
在中，，，
，
，
，，
，
故答案为：．
本题考查了解直角三角形的应用．通过解直角三角形求出、的长度是解题的关键．
18、1
【分析】将a代入方程中得到，将其整体代入中，进而求解．
【详解】由题意知，，即，
∴，
故答案为：1．
本题考查了方程的根，求代数式的值，学会运用整体代入的思想是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）﹣2≤t≤1；（3）﹣1＜a＜0或0＜a＜1．
【解析】(1)利用二次函数的性质找出抛物线的顶点坐标，将x＝h代入一次函数解析式中可得出点(h，2)在直线1上，进而可证出直线l恒过抛物线C1的顶点；
(2)由a＞0可得出当x＝h＝1时y1＝a(x﹣h)2+2取得最小值2，结合当t≤x≤t+3时二次函数y1＝a(x﹣h)2+2的最小值为2，可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出结论；
(3)令y1＝y2可得出关于x的一元二次方程，解之可求出点P，Q的横坐标，由线段PQ(不含端点P，Q)上至少存在一个横坐标为整数的点，可得出＞1或＜﹣1，再结合1≤k≤3，即可求出a的取值范围．
【详解】(1)∵抛物线C1的解析式为y1＝a(x﹣h)2+2，
∴抛物线的顶点为(h，2)，
当x＝h时，y2＝kx﹣kh+2＝2，
∴直线l恒过抛物线C1的顶点；
(2)∵a＞0，h＝1，
∴当x＝1时，y1＝a(x﹣h)2+2取得最小值2，
又∵当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a(x﹣h)2+2的最小值为2，
∴，
∴﹣2≤t≤1；
(3)令y1＝y2，则a(x﹣h)2+2＝k(x﹣h)+2，
解得：x1＝h，x2＝h+，
∵线段PQ(不含端点P，Q)上至少存在一个横坐标为整数的点，
∴＞1或＜﹣1，
∵k＞0，
∴0＜a＜k或﹣k＜a＜0，
又∵1≤k≤3，
∴﹣1＜a＜0或0＜a＜1．
本题考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、解一元二次方程以及解不等式，解题的关键是：(1)利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，证出直线l恒过抛物线C的顶点；(2)利用二次函数的性质结合二次函数的最值，找出关于t的一元一次不等式组；(3)令y1＝y2，求出点P，Q的横坐标．
20、（1）相似，理由见解析；（2）．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出BE＝CE，根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠ECB，∠ABC＝∠ADB，根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据△FDB∽△ABC得出＝＝，求出AB＝2FD，可得AD＝2FD，DF＝AF，根据三角形的面积得出S△AFB＝S△BFD，S△AEF＝S△EFD，根据DE为BC的垂直平分线可得S△BDE=S△CDE，可求出△ABC的面积，再根据相似三角形的性质求出答案即可．
【详解】（1）△FDB与△ABC相似，理由如下：
∵DE是BC垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB，
∴△FDB∽△ABC．
（2）∵△FDB∽△ABC，
∴＝＝，
∴AB＝2FD，
∵AB＝AD，
∴AD＝2FD，
∴DF＝AF，
∴S△AFB＝S△BFD，S△AEF＝S△EFD，
∴S△ABC＝3S△BDE＝3××3×2＝9，
∵△FDB∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△BFD＝S△ABC＝×9＝．
本题考查线段垂直平分线的性质及相似三角形的判定与性质，线段存在平分线上的点到线段两端的距离相等；熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
21、，在数轴上表示见解析.
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：解
解不等式①得；
解不等式②得；
把解集在数轴上表示为
所以不等式组的解集为.
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22、
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可求出值．
【详解】解：
此题考查了实数的运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握记住特殊角的三角函数值和实数运算法则是解本题的关键．
23、（1）m≥—；（2）x1=0,x2=2.
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△＝b2−4ac≥0，从而建立关于m的不等式，求出实数m的取值范围．
（2）答案不唯一，方程有两个不相等的实数根，即△＞0，可以解得m＞−，在m＞−的范围内选取一个合适的整数求解就可以．
【详解】解:(1)△=[-2（m+1)]²-4×1×m²
=8m+4
∵方程有两个实数根
∴△≥0，即8m+4≥0
解得，m≥-
（2）选取一个整数0，则原方程为，
x²-2x=0 解得x1=0,x2=2.
此题主要考查了根的判别式，以及解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
24、（1），；（2）
【分析】（1）利用待定系数法由点A坐标可求反比例函数，然后计算出B的坐标，于是可求一次函数的解析式；
（2）根据一次函数与y轴的交点P，此交点即为所求.
【详解】解：（1）把代入，可得，
反比例函数的解析式为
把点代入，可得，
．
把，代入，
可得
解得
一次函数的解析式为；
（2）一次函数的解析式为y1=x+2，令x=0，则y=2，
∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），
此时，PB-PC=BC最大，P即为所求.
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
25、不等式组的解集为﹣1＜x＜2，不等式组的整数解为0、1．
【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解，再根据求不等式组解的方法求出不等式组的解，继而可求出其整数解.
【详解】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
解不等式x+4＞3x，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜2，
所以不等式组的整数解为0、1．
本题考查的知识点是解不等式组，正确求出每个一元一次不等式的解是求不等式组的解的关键.
26、（1）；（2）
【分析】（1）根据距离=速度×时间即可得关于的函数表达式，根据全程速度限定为不超过可确定t的取值范围；
（2）把t=0.5代入（1）中关系式，即可求出速度v的值.
【详解】∵全程约，小汽车的行驶时间为，行驶速度为，
∴vt=40，
∵全程速度限定为不超过，全程约，
∴t≥0.4，
∴v关于的函数表达式为：.
（2）∵需在分钟后将乘客送达咸阳国际机场，30分钟=0.5小时，
∴v==80，
∴小汽车行驶速度是.
此题考查反比例函数的实际运用，掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解题关键．
1
2
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5
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