2023-2024学年江苏省苏南八校高一上学期12月联考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏南八校高一上学期12月联考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集为R，集合A=−2,2，集合B=xx2−3x≥0，则A∩∁RB=( )
A. −2,0B. −2,3
C. 0,2D. −∞,−2∪3,+∞
2.函数fx=lg3x+x−5的零点所在的区间为
( )
A. 2,3B. 3,4C. 4,5D. 5,6
3.已知a，b，c∈R，a≠0，则“关于x的不等式ax2+bx+c>0有解”是“b2−4ac>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过Asin4π3,cs4π3，则cs5π2−θ=( )
A. − 32B. 32C. 12D. −12
5.已知函数f(x)=x12,x≥0f(x+2),x<0，则f−52的值为
( )
A. −12B. 12C. 22D. 62
6.已知a= 2,b=(12)−0.6,c=lg2 3，则a,b,c的大小关系为
( )
A. c7.已知k<−4，则函数f(x)=−1+2cs2x+k(1−sinx)的最大值为
( )
A. −1B. 1C. 2k−1D. 2k+1
8.若关于x的方程x+12x+mx−12x2+1=6恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1<0( )
A. −6B. −4C. −3D. −2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若θ是锐角，则θ是第一象限角
B. 1∘=π180rad
C. 若sinθ>0，则θ为第一或第二象限角
D. 若θ为第二象限角，则θ2为第一或第三象限角
10.关于函数fx=11+csx，下列说法正确的是
( )
A. 函数fx定义域为RB. 函数fx是偶函数
C. 函数fx是周期函数D. 函数fx在区间−π,0上单调递减
11.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，其中f(x)是奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=2x，则下列说法正确的是( )
A. f(g(x))为偶函数B. g(0)=0
C. f2(x)−g2(x)为定值D. |f(x)|+g(x)=2x,x≥02−x,x<0
12.已知f(x)为定义在R上的奇函数，满足f(2−x)=f(x)，当x∈[−1,1]时，f(x)=ln( x2+1+x)，则下列说法正确的是( )
A. f(2k)=0，k∈Z
B. f(2k−1)=ln( 2+1),k∈Z
C. ∃x0∈R，f(x0+2)−f(x0)=1
D. 方程|f(x)|=12在[−4,2]的各根之和为−6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.化简求值：lg43×lg32+lg92=______．
14.函数y=1sin2x+4cs2x的最小值是 ．
15.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧AB⌢的长度为2π，则该勒洛三角形的面积是___________．
16.已知函数f(x)=x(x+1)2+axx+1，对任意两个不等实数x1,x2∈1,+∞，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)已知a12+a−12=3，求a2+a−2−7a+a−1+3的值；
(2)已知2cs (−θ)+sin (π−θ)cs (π2−θ)+sin (3π2−θ)=4，求tan θ的值．
18.(本小题12分)
从①A=x|lg12x+1≥−2；②A=x|18≤12x<2；③A=x|x−3x+1≤0，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
已知集合___________，集合B=x|2m(1)当m=−1时，求A⋃B；
(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知csx−π6=13
(1)求cs2x+π3+csx−7π6的值；
(2)若020.(本小题12分)
为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6)．
(Ⅰ)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．
(Ⅱ)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800a(1+x)x元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知m>0,n>0,3m+2−n<3n+2−m．
(1)证明：m(2)若函数f(x)=lgax−4x+4(a>0,a≠1)，当定义域为m,n时，值域为1+lga(n−2),1+lga(m−2)，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=1−x21+x2．
(1)求证：①f1x=−f(x)；
②函数gx=lnx+2fx的零点个数为奇数；
(2)记函数fx的值域为A，若至少有两个不同的x∈π2,π，使得sinωx+π6∉A，求正数ω的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合 B ，由此求得 A∩∁RB
解： x2−3x=xx−3≥0 ，解得 x≤0 或 x≥3 ，
所以 B=x|x≤0 或 x≥3 ，所以 ∁RB=x|0所以 A∩∁RB= 0,2 ．
故选：C
2.【答案】B
【解析】【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案．
解： fx 在 0,+∞ 上单调递增，
f3=−1<0,f4=lg34−1>0 ，
所以 fx 的零点在区间 3,4 ．
故选：B
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查△与一元二次不等式ax2+bx+c>0的关系，考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
根据一元二次不等式解法及充要条件的定义求解即可．
【解答】
解：①当a>0，Δ=b2−4ac≤0时，不等式ax2+bx+c≥0恒成立，∴不等式ax2+bx+c>0有解，∴充分性不成立，
②∵a≠0，∴当Δ=b2−4ac>0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点，∴不等式ax2+bx+c>0有解，∴必要性成立，
∴关于x的不等式ax2+bx+c>0有解是b2−4ac>0的必要不充分条件，
故选B．
4.【答案】D
【解析】【分析】首先根据三角函数的定义得到 sinθ=−12 ，再根据诱导公式求解即可．
解：已知角 θ 终边经过 Asin4π3,cs4π3 ，
所以 sinθ=cs43π sin243π+cs243π=cs43π=−csπ3=−12 ，
所以 cs5π2−θ=csπ2−θ=sinθ=−12 ．
故选：D
5.【答案】D
【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得．
解：因为 f(x)=x12,x≥0f(x+2),x<0 ，
所以 f−52=f−12=f32=3212= 62 ．
故选：D
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数、对数函数的性质比较大小，属于基础题．
利用指数函数与对数函数的单调性比较大小即可．
【解答】
解：因为a= 2=20.5，b=(12)−0.6=20.6>20.5 >1，c=lg2 3所以 c故选：A．
7.【答案】A
【解析】【分析】化简 fx 的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质求得最大值．
解： f(x)=−1+2cs2x+k(1−sinx)
=−1+21−sin2x+k(1−sinx)
=−2sin2x−ksinx+1+k ，
设 t=sinx,t∈−1,1 ，
则 y=−2t2−kt+1+k 的开口向下，对称轴 t=−−k−4=−k4>1 ，
所以函数 y=−2t2−kt+1+k 在 −1,1 上单调递增，
所以 ymax=−2−k+1+k=−1 ，
也即 fx 的最大值为 −1 ．
故选：A
8.【答案】A
【解析】【分析】对于复杂方程的跟有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案．
解：依题意可知 x≠0 ，
由 x+12x+mx−12x2+1=6 整理得 x+1x+m−4−2m⋅1x+1x=0 ①，
即关于 x 的方程恰有三个不同的实数解 x1 ， x2 ， x3 ，且 x1<0令 t=x+1x ，则 t≤−2 或 t≥2 ，
则①转化为 t+m−4−2m⋅1t=0 ，
即 t2+m−4t−2m=0,Δ=m−42+8m=m2+16>0 ，
根据对勾函数的性质可知 t=x1+1x1=−2 是方程 t2+m−4t−2m=0 的一个根，
所以 −22+m−4×−2−2m=0,m=3 ，
所以 t2−t−6=0 ，解得 t=−2 或 t=3 ，
所以 x2,x3 是方程 x+1x=3 的根，即 x2−3x+1=0 的根，
所以 x2+x3=3 ，
所以 x1+1x1x2+x3=−2×3=−6 ．
故选：A
9.【答案】ABD
【解析】【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案．
解：选项， θ 是锐角，即 0<θ<π2 ，所以 θ 是第一象限角，A选项正确．
B选项，根据弧度制的定义可知 1∘=π180rad ，B选项正确．
C选项，当 θ=π2 时， sinπ2=1 ，但 θ 不是象限角，C选项错误．
D选项， θ 为第二象限角，即 2kπ+π2<θ<2kπ+π,kπ+π4<θ2所以 θ2 为第一或第三象限角，D选项正确．
故选：ABD
10.【答案】BCD
【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案．
解：由于 csπ=−1,1+csπ=0 ，所以 fx 的定义域不是 R ，A选项错误．
由 1+csx≠0 得 csx≠−1 ，所以 x≠2kπ+π,k∈Z ，
所以 fx 的定义域是 x|x≠2kπ+π,k∈Z ， fx 的定义域关于原点对称，
f−x=11+cs−x=11+csx=fx ，所以 fx 是偶函数，B选项正确．
fx+2π=11+csx+2π=11+csx=fx ，所以 fx 是周期函数，C选项正确．
当 x≠2kπ+π,k∈Z 时， 1+csx>0 恒成立，
y=1+csx 在 −π,0 上单调递增，所以 fx=11+csx 在区间 −π,0 上单调递减，D选项正确．
故选：BCD
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于中档题．
根据题意，利用函数的奇偶性求出f(x)、g(x)的解析式，由此分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，f(x)+g(x)=2x①，则f(−x)+g(−x)=2−x，
又由f(x)是奇函数，g(x)为偶函数，则−f(x)+g(x)=2−x②，
联立①②可得：f(x)=12(2x−2−x)，g(x)=12(2x+2−x)，
依次分析选项：
对于A，对于f(g(x))，其定义域为R，有f(g(−x))=f(g(x))，故f(g(x))是偶函数，A正确；
对于B，g(0)=12(1+1)=1，B错误；
对于C，f(x)=12(2x−2−x)，g(x)=12(2x+2−x)，f2(x)−g2(x)=−1，C正确；
对于D，当x≥0时，f(x)=12(2x−2−x)≥0，
此时|f(x)|+g(x)=12(2x−2−x)+12(2x+2−x)=2x，
当x<0时，f(x)=12(2x−2−x)<0，
此时|f(x)|+g(x)=−12(2x−2−x)+12(2x+2−x)=2−x，
故|f(x)|+g(x)=2x,x≥02−x,x<0，D正确；
故选ACD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了函数的对称性、周期性及奇偶性，考查了数形结合思想，属于中档题．
由题意可得f(x)是以4为周期的周期函数，再由f(2)=f(0)=0，可判断选项A；当k=0时，求出f(−1)可判断选项B；根据题意可得出f(x0)=−12，从而可判断选项C；作出|f(x)|的示意图，由图象的对称性，数形结合可判断选项D．
【解答】
解：由f(x)在定义在R上的奇函数，则f(−x)=−f(x)，
又f(2−x)=f(x)，所以f(2−x)=−f(−x)，
即f(x+2)=−f(x)，所以f(x+4)=f[2+(x+2)]=−f(x+2)=f(x)，
即f(x)是以4为周期的周期函数；
由题意f(0)=ln1=0，所以f(4k)=0，k∈Z，
又f(2−0)=f(0)，所以f(2)=0，所以f(4k+2)=0，k∈Z，
所以f(2k)=0，k∈Z，故选项A正确；
选项B.当k=0时，f(−1)=ln( 2−1)，故选项B不正确；
选项C.f(x0+2)−f(x0)=f(x0+2−4)−f(x0)=f(x0−2)−f(x0)
=−f(2−x0)−f(x0)=−2f(x0)=1，所以f(x0)=−12，
当0≤x≤1时，y= x2+1，y=x均为增函数，则y= x2+1+x为增函数，
所以f(x)=ln( x2+1+x)在[0,1]上为增函数，
又f(x)为奇函数，且f(0)=0，
所以f(x)=ln( x2+1+x)在x∈[−1,1]上单调递增，
所以ln( 2−1)≤f(x)≤ln( 2+1)，
因为 2−1=1 2+1<1 e，所以ln( 2−1)所以必存在x0，使得f(x0)=−12，故选项C正确；
选项D.因为|f(x)|为偶函数，根据题意先作出f(x)在[0,4]上的示意图，
然后由对称性作出|f(x)|在[−4,0]上的图象，如图所示，
根据对称性可知方程|f(x)|=12在[−4,2]的各根之和为−3×2+(−1)×2+1×2=−6，故选项D正确．
故选ACD．
13.【答案】34
【解析】【分析】根据对数的运算法则、性质，换底公式求解．
解： lg43×lg32+lg92=lg43×lg32+12lg32=12lg23×lg32 2
=12×lg3lg2×lg2 2lg3=12×lg2232=34 ．
故答案为： 34
14.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
利用同角三角函数的平方关系，结合基本不等式求函数最小值即可．
【解答】
解：y=1sin2x+4cs2x，易知0由sin2x+cs2x=1，
得y=1sin2x+4cs2x=(sin2x+cs2x)(1sin2x+4cs2x)
=1+4sin2xcs2x+cs2xsin2x+4⩾5+2 4sin2xcs2x⋅cs2xsin2x=5+4=9 ，
当且仅当4sin2xcs2x=cs2xsin2x ，即sin2x=13,cs2x=23时等号成立，
所以函数y=1sin2x+4cs2x 的最小值是9．
故答案为：9．
15.【答案】18π−18 3
【解析】【分析】计算出一个弓形的面积，由题意可知，勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，利用弓形和正三角形的面积可求得结果．
解：由弧长公式可得 π3⋅AC=2π ，可得 AC=6 ，
所以，由 AB⌢ 和线段 AB 所围成的弓形的面积为 12×6×2π− 34×62=6π−9 3 ，
而勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，
因此，该勒洛三角形的面积为 S=3×6π−9 3+9 3=18π−18 3 ．
故答案为： 18π−18 3 ．
16.【答案】(−∞,4]
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性解决参数问题，判断函数的单调性，属于中档题．
由题意不妨设x1>x2，可得f(x1)x1−f(x2)x2>0，令ℎx=f(x)x=x+1+ax+1，则ℎx1−ℎx2>0，进而可得ℎ(x)在1,+∞上单调递增，利用函数单调性的定义可得答案．
【解答】
解：对任意两个不等实数x1,x2∈[1,+∞)，不妨设x1>x2，
由x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，可得x2f(x1)−x1f(x2)>0，则f(x1)x1−f(x2)x2>0，
令ℎx=f(x)x=x+1+ax+1，则ℎx1−ℎx2>0，
所以ℎ(x)在1,+∞上单调递增，
则取任意两个不等实数x1,x2∈[1,+∞)，且x1>x2，
有ℎ(x1)−ℎ(x2)=x1+1+ax1+1−(x2+1+ax2+1) =(x1−x2)⋅(x1+1)(x2+1)−a(x1+1)(x2+1)>0 ，
又x1−x2>0,(x1+1)(x2+1)>0，
则(x1+1)(x2+1)−a>0，
所以a<(x1+1)(x2+1)，对任意两个不等实数x1,x2∈[1,+∞)恒成立，
注意到 (x1+1)(x2+1)>4，则a≤4，
则实数a的取值范围是(−∞,4] ．
故答案为： (−∞,4] ．
17.【答案】解：(1)∵a+a−1=(a12+a−12)2−2=7，
∴a2+a−2=(a+a−1)2−2=47，
∴a2+a−2−7a+a−1+3=47−77+3=4；
(2)∵2cs (−θ)+sin (π−θ)cs (π2−θ)+sin (3π2−θ)=2cs θ+sin θsin θ−cs θ=4，
∴sin θ=2cs θ，
∴tan θ=sin θcs θ=2 ．

【解析】本题考查指数幂的化简求值，诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于一般题．
(1)利用指数幂的运算性质化简求值即可；
(2)利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简求值即可．
18.【答案】解：若选 ①，得0得A=(−1,3]；
若选 ②，得(12)3≤(12)x<(12)−1，即3≥x>−1，
得A=(−1,3]；
若选 ③，得(x−3)(x+1)≤0且x+1≠0，
得−1(I)由m=−1得B=(−2,1)，故A⋃B=(−2,3]．
(Ⅱ)A⋃B=A即B⊆A.
(i)若B=⌀，得2m≥m2，即0≤m≤2.
(ii)若B≠⌀，得2m综上，m的取值范围为−12≤m≤2.
【解析】本题考查集合的运算和集合关系中的参数问题，属于中等题．
(Ⅰ)不管选哪个条件，都是求出A，然后利用并集运算即可求解;
(Ⅱ)由A⋃B=A得B⊆A.然后对B进行分类讨论即可．
19.【答案】解：(1)令 t=x−π6 ，则 x=t+π6 ， cst=13 ，
则 cs2x+π3+csx−7π6=cs2t+π6+π3+cst+π6−7π6
=cs2t+π2+cst−π=sin2t−cst
=1−cs2t−cst=1−132−13=59 ；
(2)令 t=x−π6 ，有 x=t+π6 ， cst=13 ，
则 sinx+5π6=sint+π6+5π6=sint+π=−sint ，
由 cst=13 ，则 sint=± 1−cs2t=±2 23 ，
由 0−2 23∉−12,1 ，故舍去，
2 23∈−12,1 ，故 sint=2 23 ，即 −sint=−2 23 ，
即 sinx+5π6=−2 23 ．

【解析】【分析】(1)运用换元法及诱导公式即可得；
(2)运用换元法及诱导公式，结合题目条件计算即可得．
20.【答案】解：(Ⅰ)设甲工程队的总造价为y元，
则y=3(300×2x+400×24x)+14400=1800(x+16x)+14400(3≤x≤6)，
1800(x+16x)+14400≥1800×2× x⋅16x+14400=28800．
当且仅当x=16x，即x=4时等号成立．
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元．
(Ⅱ)由题意可得，1800(x+16x)+14400>1800a(1+x)x对任意的x∈[3,6]恒成立．
即(x+4)2x>a(1+x)x，从而(x+4)2x+1>a恒成立，
令x+1=t，(x+4)2x+1=(t+3)2t=t+9t+6，t∈[4,7]
又y=t+9t+6在t∈[4,7]为单调增函数，故ymin=12.25．
所以0
【解析】本题考查实际问题的应用，基本不等式求解表达式的最值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
(Ⅰ)设甲工程队的总造价为y元，推出y=1800(x+16x)+14400(3≤x≤6)利用基本不等式求解最值即可．
(Ⅱ)由题意1800(x+16x)+14400>1800a(1+x)x对任意的x∈[3,6]恒成立．即(x+4)2x+1>a恒成立，利用换元法以及基本不等式求解最小值即可．
21.【答案】解：(1)∵3m+2−n<3n+2−m⇒3m−12m<3n−12n，
令ℎx=3x−12x，可得ℎm<ℎn，
易得y1=3x,y2=−12x=−(12)x均在R上为增函数，
则ℎx在R上为增函数，
又ℎm<ℎn，
所以m(2)由题意知：mf(x)=lgax−4x+4=lga1−8x+4，
由x−4x+4>0，解得x>4或x<−4，
设y3=1−8x+4，x∈(−∞,−4)∪(4,+∞)，
因为反比例函数y4=−8x在−∞,0和0,+∞上单调递增，
将函数y4=−8x的图象向左平移4个单位，再向上平移1个单位即可得到y3=1−8x+4的图象，
所以函数y3=1−8x+4在−∞,−4和4,+∞上单调递增，
又函数y=lgax0根据复合函数单调性知函数fx在−∞,−4和4,+∞上单调递减，
而m−2>0n−2>0 ，且m因为函数fx的定义域为m,n ，故4根据fx在4,+∞上单调递减，
所以lgam−4m+4=lga[a(m−2)]lgan−4n+4=lga[a(n−2)],
所以m,n是关于t的方程t−4t+4=at−2的两个大于4的根，
即at2+(2a−1)t+4−8a=0有两个大于4的不相等的根，
则有{Δ=(2a−1)2−16a(1−2a)>0a⋅42+(2a−1)⋅4+4−8a>01−2a2a>4且0故实数a的取值范围为0,118 ．

【解析】本题考查指数函数与对数函数的综合应用，函数零点与方程的根，复合函数的单调性，属于较难题．
(1)由已知通过变形得3m−12m<3n−12n ，利用函数ℎx=3x−12x的单调性即可证明；
(2)首先求出a∈(0,1)，利用复合函数的单调性判断fx的单调性，得到方程组lgam−4m+4=lga[a(m−2)]lgan−4n+4=lga[a(n−2)]，即可转化为m,n是关于t的方程t−4t+4=at−2的两个大于4的根，即at2+(2a−1)t+4−8a=0有两个大于4的不相等的根，根据根的分布列出不等式组，解出即可．
22.【答案】解：(1)① f1x=1−1x21+1x2=x2−1x2+1=−f(x) ，即 f1x=−f(x) ；
②因为 g1=ln1+2f1=0 ，所以1是函数 gx 的零点
因为 g1x=ln1x+2f1x=−lnx−2fx=−gx ，
所以若 x0 是函数 gx 的零点，则 1x0 也是函数 gx 的零点，
若 x0≠1 ，则 x0≠1x0 ，
综上可知，函数 gx 的零点个数为奇数．
(2)因为 f(x)=1−x21+x2=−1+21+x2 ，
所以 −1因为至少有两个不同的 x∈π2,π ，使得 sinωx+π6∉A
所以至少有两个不同的 x∈π2,π ，使得 sinωx+π6=−1
因为 x∈π2,π ，所以 π2ω+π6≤ωx+π6≤πω+π6 ，
令 π2ω+π6≤3π2+2π⋅kπω+π6≥7π2+2π⋅kk∈Z ，解得 103+2k≤ω≤83+4k,k=1,2,3,⋯
所以 ω∈163,203∪223,+∞

【解析】【分析】(1)①列式计算即可证明；②先确定1是函数 gx 的零点，再利用①的结论得到 g1x=−gx ，由此即可证明函数 gx 的零点个数为奇数；
(2)计算出 fx 的值域，确定 sinωx+π6∉A 即是 sinωx+π6≠−1 ，说明 x∈π2,π 时， sinωx+π6 存在至少两个最小值，由此列出满足要求的不等式解出即可．