2023-2024学年山西省部分学校高一上学期12月联合考试数学试题（含解析）

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这是一份2023-2024学年山西省部分学校高一上学期12月联合考试数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M=x−1A. 3,4B. −1,+∞C. −3,+∞D. −∞,4
2.1013∘是
( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
3.“x=1”是“x4−5x2+4=0”的
( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知x>0，y>0，则3yx+12xy的最小值为
( )
A. 15B. 12C. 8D. 6
5.20.6，0.61.6，lg0.53的大小关系是
( )
A. 0.61.6>20.6>lg0.53B. lg0.53>20.6>0.61.6
C. 20.6>0.61.6>lg0.53D. 20.6>lg0.53>0.61.6
6.函数f(x)=x3+x−9x的图象大致为
( )
A. B.
C. D.
7.若函数fx=ax(a>0且a≠1)在−1,2上的值域为k,9，则k=( )
A. 3或13B. 19或13C. 13或181D. 19或181
8.已知定义在R上的奇函数fx在−∞,0上单调递减，定义在R上的偶函数ℎx在−∞,0上单调递减，且f8=ℎ−8=0，则不等式fxℎx<0的解集为
( )
A. 0,8∪8,+∞B. −∞,−8∪8,+∞
C. −8,0∪8,+∞D. −∞,−8∪−8,0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数fx=x2的值域为0,36，则fx的定义域可能为
( )
A. 2,6B. −2,6C. −6,6D. 0,6
10.已知一次函数f(x)满足f(f(x))=81x+80，则f(x)的解析式可能为
( )
A. f(x)=9x+8B. f(x)=−9x−8C. f(x)=9x+10D. f(x)=−9x−10
11.人们常用里氏震级M表示地震的强度，E(单位：焦耳)表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为M=mlgE−4.8(m为常数)，已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为1014.7焦耳，则
( )
A. m=23
B. m=12
C. 乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为1012焦耳
D. 甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的101.15倍
12.已知a，b满足2a+2b+1=1，则
( )
A. a<0且b<−1B. 2−a+21−b的最小值为9
C. a+b的最大值为−1D. 2−a+21−b⋅2a+b<2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某高一(5)班共有55名学生，在数学课上全班同学一起做两道数学试题，其中一道是关于指数函数的试题，另一道是关于对数函数的试题.已知关于指数函数的试题做对的有36人，关于对数函数的试题做对的有32人，每名同学至少做对了其中一道试题，则这两道题都做对的有________人．
14.已知函数f(x)=3x2−6x+1，若fm=fn，且m≠n，则fm+n−1=______．
15.若f(x)=(x+a)lnx+ x2+1为偶函数，则a=______．
16.已知函数fx=ax2+2x+3,x≤02x−x2,x>0恰有3个零点，则a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)160.5−40.1×41.9+2.30；
(2)lg832+2lg50−lg139−lg25．
18.(本小题12分)
某校欲建造一个扇环形状ABDC的花坛，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆构造出的，小圆半径OA=5米，大圆半径OC=10米，圆心角θ=π3．
(1)求该花坛的周长；
(2)求该花坛的面积．
19.(本小题12分)
已知函数fx=ax+b(a>0且a≠1，b为常数)的图象经过点P1,5，Q2,11．
(1)求a,b的值；
(2)设函数gx=lga2x+1+lgbx，求gx在1,4上的值域．
20.(本小题12分)
已知函数fx=ln−x2+6x−8．
(1)求fx的定义域；
(2)若关于x的方程1−efx=a−5x有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
某果园占地约200公顷，拟种植某种果树，在相同种植条件下，该种果树每公顷最多可种植600棵，种植成本y(单位：万元)与果树数量x(单位：百棵)之间的关系如下表所示．
为了描述种植成本y(单位：万元)与果树数量x(单位：百棵)之间的关系，现有以下三种模型供选择：①y=bx+c；②y=b x+c；③y=blgax+c．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式．
(2)已知该果园的年利润z(单位：万元)与x，y的关系式为z=3y−0.1x−20，则果树数量x(单位：百棵)为多少时年利润最大？并求出年利润的最大值．
22.(本小题12分)
已知函数fx=mx+mx+4m∈R．
(1)当m=2时，试判断fx在1,+∞上的单调性，并用定义证明．
(2)设m<0，若∃x0∈ 2,4，flg2x0≤nlg2x0，求n的取值范围(结果用m表示)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】利用并集的概念计算即可．
解：依 11−x<8 得 x>3 ，即 N=xx>3 ，
则 M∪N=−1,+∞ ．
故选：B
2.【答案】D
【解析】【分析】根据终边相同角的定义可确定具体的象限即可求解
解：因为 1013∘=360∘×3−67∘ ，
即 1013∘ 与 −67∘ 终边相同，所以 1013∘ 是第四象限角.故D正确．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】【分析】解 x4−5x2+4=0 方程，求出方程的根，分别从充分性，必要性两方面验证即可．
解：由 x4−5x2+4=0 ，得 x2−4x2−1=0 ，解得 x=±2 或 x=±1 ，
所以 x=1 时 x4−5x2+4=0 ，具有充分性；
而 x4−5x2+4=0 时， x=±2 或 x=±1 ，不具有必要性．
故选：B
4.【答案】B
【解析】【分析】利用基本不等式计算即可．
解：由基本不等式可知： 3yx+12xy≥2 3yx⋅12xy=12 ，
当且仅当 3yx=12xy ，即 y=2x 时，等号成立，则 3yx+12xy 的最小值为12．
故选：B
5.【答案】C
【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质计算即可．
解：因为 20.6>1>0.61.6>0>lg0.53 ，所以 20.6>0.61.6>lg0.53 ．
故选：C
6.【答案】B
【解析】【分析】利用函数单调性和奇偶性即可判断．
解： f(x)的定义域为 xx≠0 ，排除选项D．
又因为 f(−x)=(−x)3+(−x)−9−x=−x3+x−9x=−f(x) ，所以 f(x) 为奇函数，排除选项C．
因为 f(1)=13+1−91<0 ，所以排除选项A，
当 x>0 时，因为 y=x3,y=x,y=−9x 均单调递增，
故 f(x)=x3+x−9x 在 0,+∞ 上单调递增，又因为 fx 为奇函数，
则 fx 在 −∞,0 上单调递减，故B的图象符合，
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】讨论 01 ，利用指数函数的单调性求函数的最值列出等式即可求解．
解：当 0则 fxmax=f−1=a−1=9 ，解得 a=19 ，
此时 k=fxmin=f2=a2=181 ．
当 a>1 时， fx 在 R 上单调递增，
则 fxmax=f2=a2=9 ，解得 a=3 或 −3 (舍去)，
此时 k=fxmin=f−1=a−1=13
综上可得： k 为 13 或 181 ．
故选：C
8.【答案】A
【解析】【分析】分析出 fx 与 ℎx 的单调性和特殊点的函数值，在同一坐标系内画出函数图象，数形结合求出不等式的解集．
解：因为定义在R上的奇函数 fx 在 −∞,0 上单调递减，且 f8=0 ，
所以 fx 在 0,+∞ 上单调递减，且 f−8=0 ， f0=0 ．
因为定义在R上的偶函数 ℎx 在 −∞,0 上单调递减，且 ℎ−8=0 ，
所以 ℎx 在 0,+∞ 上单调递增，且 ℎ8=0 ，
在同一坐标系内画出 fx 与 ℎx 的大致图象，
故不等式 fxℎx<0 的解集是 0,8∪8,+∞ ．
故选：A
9.【答案】BCD
【解析】【分析】根据函数fx=x2的值域为0,36结合二次函数的对称性可求出相应的定义域，
解：令fx=0，解得x=0，
令fx=36，解得x=±6，
根据fx=x2的图象关于y轴对称的性质，
可得fx的定义域可能为−2,6，−6,6或0,6，故 B、C、D正确．
故选：BCD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果．
解：设fx=kx+b，则ffx=kkx+b+b=k2x+kb+b=81x+80，
所以k2=81kb+b=80，解得k=9b=8或k=−9b=−10,
则fx=9x+8或fx=−9x−10．
故选：AD．
11.【答案】AC
【解析】【分析】利用待定系数法可判定A、B，通过关系式代入相应震级计算释放能量即可判定C、D．
解：由题意可得5=mlg1014.7−4.8，即14.7m=9.8，解得m=23， A正确，B错误；
若M乙=3.2，则3.2=23lgE1−4.8，E1=1012， C正确；
若M丙=4.3，则4.3=23lgE2−4.8，E2=1013.65，， D错误．
故选：AC
12.【答案】ABD
【解析】【分析】A选项，根据指数函数的性质得到2a∈0,1,2b+1∈0,1，求出a<0且b<−1；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C选项，由基本不等式求出答案；D选项，令2a=m,2b=n，即m+2n=1，故n∈0,12，故2b+21+a=2−3n<2， D正确．
解：A选项，因为2a+2b+1=1，所以2a∈0,1,2b+1∈0,1，
故a<0且b<−1， A正确；
B选项，2−a+21−b=2−a+21−b2a+2b+1=5+2−a+b+1+2a−b+1
≥5+2 2−a+b+1⋅2a−b+1=9，
当且仅当2−a+b+1=2a−b+1，即a=b时，等号成立，
故2−a+21−b的最小值为9，B正确；
C选项，由基本不等式得2a+2b+1=1≥2 2a⋅2b+1，解得a+b≤−3，
当且仅当2a=2b+1，即a=−1,b=−2时，等号成立， C错误；
D选项，2−a+21−b⋅2a+b=2b+21+a，
因为2a+2b+1=1，令2a=m,2b=n，即m+2n=1，m∈0,1,n∈0,12，
故2b+21+a=n+2m=n+21−2n=2−3n<2， D正确．
故选：ABD
13.【答案】13
【解析】【分析】根据题意，利用集合的关系及运算列出方程即可求解．
解：设这两道题都做对的有 x 人，
因为共有55名学生，关于指数函数的试题做对的有36人，
关于对数函数的试题做对的有32人，每名同学至少做对了其中一道试题，
所以 55=36+32−x ，
解得 x=13 ．
故答案为：13
14.【答案】−2
【解析】【分析】根据 fx=3x2−6x+1 可得图象的对称轴为直线 x=1 ，从而求得 m+n=2 ，即可求解．
解：因为 fx=3x2−6x+1 图象的对称轴为直线 x=1 ，
所以 m+n=2 ，则 fm+n−1=f1=3−6+1=−2 ．
故答案为： −2 ．
15.【答案】0
【解析】【分析】设 gx=lnx+ x2+1 ，可求得 gx 为奇函数，结合 fx=x+alnx+ x2+1 为偶函数，即可求解．
解：设 gx=lnx+ x2+1 ，定义域为 R ，
则 g−x=ln−x+ −x2+1=−lnx+ x2+1=−gx ，
所以函数 gx=lnx+ x2+1 为奇函数，
又因为 fx=x+alnx+ x2+1 为偶函数
所以函数 y=x+a 为奇函数，得 a=0 ．
故答案为： 0 ．
16.【答案】−∞,0∪13
【解析】【分析】根据 2x−x2=0 有两正根，把问题转化为 fx 在 −∞,0 上只有1个零点问题，然后分类讨论，结合二次函数的性质列不等式求解即可．
解：当 x>0 时，令 2x−x2=0 ，得 2x=x2 ，
因为函数 y=2x 与函数 y=x2 的图象在 0,+∞ 上有2个公共点，
所以 fx 在 0,+∞ 上有2个零点，所以 fx 在 −∞,0 上只有1个零点．
当 a=0 时， fx=2x+3 在 −∞,0 上有唯一零点 −32 ，符合题意；
当 a<0 时， fx=ax2+2x+3 的图象的对称轴为 x=−1a ，
在 y 轴右侧，开口向下，且 f0=3> 0，
则 fx 在 −∞,0 上有唯一零点，符合题意；
当 a>0 时， fx=ax2+2x+3 的图象的对称轴为 x=−1a ，
在 y 轴左侧，开口向上， f0=3>0 ，则 Δ=4−12a=0 ，解得 a=13 ．
所以 a 的取值范围为 −∞,0∪13 ．
故答案为： −∞,0∪13 ．
17.【答案】解：(1)原式 =1612−40.1+1.9+1 =4−42+1=−11 ．
(2)原式 =53lg22+2lg50+lg39−2lg5
=53+2lg505+2 =53+2lg10+2=173

【解析】【分析】(1)由指数幂的运算，即可得到结果；
(2)由对数的运算，即可得到结果．
18.【答案】解：(1)CD⌢ 的长度为 π3×10=10π3 米，
AB⌢ 的长度为 π3×5=5π3 米，
AC=BD=10−5=5 米，
故该花坛的周长为 10π3+5π3+5+5=5π+10 (米);
(2)该花坛的面积 S=12×π3×102−12×π3×52=12×π3×100−25=25π2 平方米．

【解析】【分析】(1)利用弧长公式计算即可；
(2)利用扇形面积公式计算即可．
19.【答案】解：(1)因为 fx=ax+b 的图象经过点 P1,5 ， Q2,11 ，
所以 a1+b=5a2+b=11 ，两式相减得 a2−a−6=0 ，
又 a>0 且 a≠1 ，解得 a=3 或 −2 (舍去)，则 b=5,a=2 ．
(2)由(1)得 g(x)=lg3(2x+1)+lg2x ，
因为函数 y=lg3(2x+1) 在 [1,4] 上单调递增，函数 y=lg2x 在 [1,4] 上单调递增，
所以 g(x) 在 [1,4] 上单调递增，
则 g(x)max=g(4)=lg3(2×4+1)+lg24=2+2=4 ，
g(x)min=g(1)=lg3(2×1+1)+lg21=1+0=1 ，
故 g(x) 在 [1,4] 上的值域为 [1,4] ．

【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可得解；
(2)利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解．
20.【答案】解：(1)令 −x2+6x−8>0 ，即 x2−6x+8<0 ，
解得 2即 fx 的定义域为 2,4 ；
(2)由 1−efx=a−5x ，得 1+x2−6x+8=a−5x ，即 x2−a+1x+9=0 ，
方程 1−efx=a−5x 有两个不相等的实数根，
即方程 x2−a+1x+9=0 在 2,4 上有两个不相等的实数根，
则 2042−4a+1+9>0Δ=a+12−4×9>0 ，
解得 5
【解析】【分析】(1)根据对数函数的定义求解一元二次不等式即可；
(2)根据指数与对数的关系化简方程为 x2−a+1x+9=0 ，利用一元二次方程根的分布计算即可．
21.【答案】解：(1)因为模型③在 x=0 处无意义，所以不符合题意．
若选择①作为y与x的函数模型，将 0,3 ， 4,7 代入，得 3=c7=4b+c ，
解得 b=1c=3 ，则 y=x+3 ，
则当 x=9 时， y=12 ，当 x=16 时， y=19 ，当 x=36 时， y=39 ，
与表格中的实际值相差较大，所以①不适合作为y与x的函数模型．
若选择②作为y与x的函数模型，将 0,3 ， 4,7 代入，得 3=c7=2b+c ，
解得 b=2c=3 ，则 y=2 x+3 ，
当 x=9 时， y=9 ，当 x=16 时， y=11 ，当 x=36 时， y=15 ，
与表格中的实际值相同，所以②更适合作为y与x的函数模型，
且相应的函数解析式为 y=2 x+3100x∈N ；
(2)由题可知，该果园最多可种120000棵该种果树，所以 x∈0,1200 且 100x∈N ．
z=3y−0.1x−20=6 x+9−0.1x−20=−0.1x+6 x−11 ，
令 x=t0≤t≤20 3 ，则 z=−0.1t−302+79 ，
当 t=30 ，即 x=900 时，z取得最大值，
最大值为79万元．

【解析】【分析】(1)利用待定系数法计算验证即可；
(2)利用二次函数的性质计算即可．
22.【答案】解：(1)fx 在 1,+∞ 上单调递增．
证明如下：任取 x1,x2∈1,+∞ ，且 x1则 fx1−fx2=2x1+2x1+4−2x2−2x2−4
=2x1−x2−2x1−x2x1x2=2x1−x2x1x2−1x1x2 ，
因为 11 ，
所以 fx1−fx2<0 ，即 fx1所以 fx 在 1,+∞ 上单调递增；
(2)令 t=lg2x ，因为 x∈ 2,4 ，所以 t∈12,2 ．
由 ft≤nt ，得 mt+mt+4≤nt ，
因为 t∈12,2 ，所以 m+mt2+4t≤n ，
令 k=1t ，得 gk=m+mk2+4k≤n 在 k∈12,2 上有解，则 n≥gkmin ．
当 −2m≤12+22=54 ，即 m≤−85 时， n≥gkmin=g2=m+4m+8=5m+8 ；
当 −2m>12+22=54 ，即 −85综上，当 m≤−85 时，n的取值范围为 5m+8,+∞ ；当 −85
【解析】【分析】(1)利用单调性的定义计算即可证明；
(2)令 t=lg2x ，将条件不等式化为 mt+mt+4≤nt ，分离参数得 m+mt2+4t≤n ，利用二次函数的性质分类讨论求其最小值即可．
x
0
4
9
16
36
y
3
7
9
11
15

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