广西壮族自治区南宁市2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份广西壮族自治区南宁市2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共21页。试卷主要包含了 下列是一元二次方程的是， 下列事件是必然事件的是等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将姓名、座位号、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式进行分析即可．
【详解】A. 开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B. 是最简二次根式，故此选项符合题意；
C.含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D. 被开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选B
【点睛】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
2. 诗词“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”中的“八万里”用科学记数法可表示为（ ）
A. 里B. 里C. 里D. 里
【答案】A
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可．更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 【详解】解：八万（里）；
故选A．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，为整数，是解题的关键．
3. 下列是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程“含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程”，其一般形式为：，且a，b，c为常数；掌握此定义是关键．
【详解】解：A、是3次的方程，不符合题意；
B、一元一次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、是分式方程，不是整式方程，不符合题意；
故选：C．
4. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 掷一枚硬币一次，反面向上B. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到绿灯
C. 正三角形是中心对称图形D. 长分别为，，的三条线段能构成三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据必然事件的定义求解即可；
【详解】A． 掷一枚硬币一次，反面向上，属于随机事件，故A不符合题意；
B． 经过城市中某一有交通信号灯路口，遇到绿灯，属于随机事件，故B不符合题意；
C． 正三角形是中心对称图形，属于不可能事件，故C不符合题意；
D． 长分别为，，的三条线段能构成三角形，属于必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查必然事件的定义，掌握必然事件的定义是解题的关键．
5. 已知点在直径为的内，则的长可能是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点在圆内时，点到圆心的距离小于半径来判断．
【详解】解：∵的直径为，
∴的半径为，
∵点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，
即，
故选：．
6. 在反比例函数的图象的每一个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A. k＞1B. k＞0C. k≥1D. k＜1
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．
【详解】解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，
即可得k﹣1＞0，
解得k＞1．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
7. 如图，绕点旋转一定角度后得到，则下列说法不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】旋转前后的图形，对应边相等，对应角相等，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：
A：∵，
∴
故A正确；
B：，故B正确；
C：，故C正确；
D：，故D错误；
故选：D
【点睛】本题考查旋转的性质．熟记相关结论即可．
8. 如果关于的方程有一个根是0，那么的值是（ ）
A. 1或B. 1C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查方程的根，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，把代入方程计算即可．
【详解】解：当方程一元一次方程时，
即，
把代入方程得：
，
解得：，
，
当方程是一元二次方程时，
即，
把代入方程得：
，
解得：，
，
综上，．
故选：A．
9. 如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 无法计算
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA4＝2，S△BOA2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可．
【详解】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，
∴S△POA4＝2，S△BOA2＝1，
∴S△POB＝2﹣1＝1.
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
10. 某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以每次降价的百分率，列出函数关系式，即可求解．
【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
11. 图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象判断下列说法正确的是（ ）

A. 与的函数关系式是
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案．
【详解】解：设I与R的函数关系式为：，
∵该图像经过点，
∴，
∴，
∴设I与R的函数关系式为：，故选项A不符合题意；
当时，，当时，，
∵反比例函数中，I随R的增大而减小，
当时，，当时，，故选项B，C不符合题意；
∵当时，，当时，，
∴当时，的取值范围是，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
12. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．有下列结论：
①；
②池底所在抛物线的解析式为；
③池塘最深处到水面的距离为；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的个数是（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④．
【详解】解：①观察图形可知，，故①正确；
②设池底所在抛物线的解析式为，
将代入，可得，
故抛物线的解析式为；故②正确；
③，
当时，，
故池塘最深处到水面的距离为，故③错误；
④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12时，
将代入，得，
可知此时最深处到水面的距离为，
即为原来的，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的实际应用，体现了数学建模、数学抽象、数学运算素养．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 的绝对值是______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查绝对值．由题意根据负数的绝对值是它的相反数，进行分析可得答案．
【详解】解：，所以的绝对值是5．
故答案为：5．
14. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可；
【详解】解：，
故答案为：；
【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题关键．
15. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点，则_____．
【答案】2
【解析】
【分析】将点代入反比例函数计算即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过点，
∴，解得：．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图像上的点满足函数解析式是解答本题的关键．
16. 如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积是_________．

【答案】
【解析】
【分析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．
【详解】解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，
∴小石子落在不规则区域的概率为，
∵正方形的边长为，
∴面积为，
设不规则部分的面积为，
则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
17. 已知m 是关于x的方程的一个根， 则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握一元二次方程的解就是使该方程成立的未知数的值和利用整体代入的思想是解题关键．
【详解】解：∵m 是方程的一个根，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 如图，反比例函数与一次函数y=x+4的图象交于A、B两点的横坐标分别为-3,-1,则关于x的不等式的解集为_______.
【答案】-3【解析】
【详解】分析：求关于x的不等式 的解集可转化为一次函数的图象在反比例函数图象的上方所对应的自变量x取值范围，问题得解．
详解：
观察图象可知，当-3＜x＜-1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴关于x的不等式 的解集为：-3＜x＜-1．
故答案是:-3＜x＜-1.
点睛：考查了反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查学生的观察图象的能力，用了数形结合思想．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到答案，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
20. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】观察方程组各个含有未知数的项的系数，可加减消元法解二元一次方程组．
【详解】解：，
，得，
解得，
把代入②，得，
故原方程组的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法或加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
21. 第24届冬奥会期间，小星收集到4张卡片，正面图案如图所示
（1）若小星从中随机摸出一张卡片，则卡片上的图案恰好是花样滑冰的概率是 ．
（2）小星把这4张卡片背面朝上洗匀后摸出1张，放回洗匀后再摸出一张，请用列表或画树状图的方法得出两张恰好是冰壶和冰球的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两张卡片正面图案恰好是冰壶和冰球的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：若小星从中随机摸出一张卡片，则卡片上的图案恰好是花样滑冰的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：把小星收集到的4张卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两张卡片正面图案恰好是冰壶和冰球的结果有2种，
∴两张卡片正面图案恰好是冰壶和冰球的概率为．
【点睛】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22. 如图，在中，是边上的高．
（1）尺规作图：作的平分线l（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
（2）在已作图形中，若l与交于点E，且，，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图和三角形全等的判定，熟悉掌握角平分线的作法和全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）以B为圆心，任意长为半径画弧，得到与，的两个交点，分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，以为端点，过两弧的交点作射线即可；
（2）利用证出，再通过三角形内角和与对顶角相等代换求证即可．
【小问1详解】
解：如图所示即为所求：
【小问2详解】
解∵为的高，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
23. 如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦， ，，垂足分别为D，E．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查正方形的判定，勾股定理，以及垂径定理：
（1）根据三个直角可得四边形是矩形，因为，故四边形是正方形；运用垂径定理得到是解题关键；
（2）连接，根据勾股定理可得半径．
【小问1详解】
证明：证明：∵，，
∴，
∵，为互相垂直且相等的两条弦，
∴，
∵，
∴四边形是矩形；
∵，
∴四边形是正方形；
【小问2详解】
解：连接，如图所示
∵
∴
由（1）知四边形是正方形；
则
在中，
所以的半径是．
24. 为了迎接六一儿童节的到来，某玩具店拟用8000元进购种玩具，用5000元进购种玩具．已知一个种玩具进价比一个种玩具进价多5元，又知进购玩具的数量是玩具数量的2倍．
（1），两种玩具的进价各是多少元？
（2）玩具店将种玩具定价为40元，并进行了市场调查，发现若按定价销售，每天能售出30件，每降价2元，每天能多售出10件，要使玩具店销售种玩具的单日利润最高，玩具应该降价多少元销售？单日最高利润是多少元？
【答案】（1）A的进价是20元，B的进价是25元
（2）降价7元，最高利润是845元
【解析】
【分析】(1)设B的进价为x元，则A的进价是(x−5)元，由题意得列出分式方程，解方程即可解得答案；
(2)设A玩具降价m元，单日利润是w元，可得w关于m的二次函数，据此即可得到答案．
【小问1详解】
解：设B的进价为x元，则A的进价是(x−5)元，
根据题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，
25-5=20(元)，
故A的进价是20元，B的进价是25元；
【小问2详解】
解：设A玩具降价m元，单日利润是w元，
根据题意得：，
故当时，单日利润最高，最高利润为845元，
故玩具应该降价7元销售，单日最高利润是845元．
【点睛】本题考查了分式方程及二次函数应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系及用含m的代数式表示w．
25. 定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角
（1）如图①，在中，，，求证：是智慧三角形；
（2）如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）过作边的垂线，构造两个有特殊角的直角三角形，即能用把各边关系表示出来，即可得是的倍．
（2）由题意可知，过作轴于，过作轴于，由题意可知，根据勾股定理得出，再证明，得到，，然后设，则，则，，最后把，代入反比例函数解析式求解即可．
【小问1详解】
证明：如图①，过点作于点，
，
在中，，
，，
，
，
中，，
，
，
即，
是智慧三角形．
【小问2详解】
解：过作轴于，过作轴于，如图②，
是智慧三角形，为智慧边，为智慧角，
，
∵，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
点、在函数上的图象上，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查了新定义的理解和运用，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象上点折坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式．解题关键是理解新定义并运用其性质转化条件，在直角坐标系中把已知直角构造在三垂直模型里是通常办法．
26. 如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
【答案】（1）C (0,3)；（2）t的值为4+或4+3；（3）t的值为1或4或5.6.
【解析】
【分析】（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；
（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，如图2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO-∠BCP求出∠PCO为30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，如图3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；
（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：
①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ-OP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；
②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；
③当⊙P与AD相切时，利用切线的性质得到∠DAO=90°，得到此时A为切点，由PC=PA，且PA=9-t，PO=t-4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t．
综上，得到所有满足题意的时间t的值．
【详解】（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，如图2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO•tan30°=，此时t=4+；
②当点P在点B左侧时，如图3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3，
此时，t=4+3，
∴t的值为4+或4+3；
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，
从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；
③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，
∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，
于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值为1或4或5.6．