河南省郑州市郑州经济技术开发区实验中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省郑州市郑州经济技术开发区实验中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题 3 分， 共 30 分）
1. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A. 内角和为360°B. 对角线互相平分C. 对角线相等D. 对角线互相垂直
【答案】C
【解析】
【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．
【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；
B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；
C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确；
D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误；
故选：C
【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键．
2. 如图放置的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示．
【详解】解：左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示．
故选C．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图．更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 3. 下列y关于x函数中，属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，根据二次函数的定义判断即可．
【详解】解：A、，该函数整理后是一次函数，故本选项不符合题意；
B、时，是一次函数，故本选项不符合题意；
C、，该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
4. 如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A. k≥﹣B. k≥﹣且k≠0C. k＜﹣D. k＞－且k≠0
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得出k2≠0，且△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式组，求出k的取值范围．
【详解】解：由题意知，k2≠0，且△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1≥0．
解得k≥-且k≠0．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
5. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）

A. 从一个装有个白球和个红球的袋子中任取一球，取到红球
B. 掷一枚正六面体的骰子，出现点
C. 抛一枚硬币，出现正面
D. 任意写一个整数，它能被整除
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出每个选项中的概率，和由频率统计图估计出的概率作比较即可得出答案
【详解】解：、选项中取到红球的概率是，、选项中出现点的概率是，、选项中出现正面的概率是，、选项中能被整除的概率即为偶数的概率为，
由图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近，所以符合条件的只有．
故选：．
【点睛】本题考查了频率估计概率，利用概率公式求概率，正确求出每项概率和由频率估计出的概率作比较是解答本题的关键．
6. 根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c为常数)一个解的范围是( )
A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24C. 3.24＜x＜3.25D. 3.25＜x＜3.26
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，
函数y=ax2+bx+c图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y=0在y=-0.02与y=0.03之间，
∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．
故选C．
考点：图象法求一元二次方程的近似根．
7. 在中，，，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查求角的三角函数值，勾股定理，设，利用勾股定理求出，根据正切定义求出答案，熟练掌握各三角函数值的计算公式是解题的关键
【详解】解：在中，，，
∴
设，则，
∴，
故选：A

8. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接，则的面积为（ ）

A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据图象先证明与的面积相等，再根据题意分别计算出与的面积即可得的面积．
【详解】解：连接，设与y轴交于点D，如图，

∵反比例函数与函数的图象为中心对称图形，
∴O为的中点，
∴，
∵由题意得A点在上，B点在上，
∴，；
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算．
9. 如图，在平行四边形中，E是边上的点且，、交于点F，设的面积为，平行四边形ABCD的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点F作，然后利用三角形相似的性质得到线段比，最后再求出面积比即可．
【详解】解：如图，过点F作，
∵四边形平行四边形，
∴，，
∴是的边上的高，是的边上的高，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及相似比与面积比之间的联系，灵活运用所学知识点是解题关键，属于选择题中的压轴题．
10. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2023次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由点的坐标可得，由正方形的性质可得，，从而得到，连接，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，由将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，得到相当于线段绕点逆时针旋转，依次得到，由可得点的坐标每8次一个循环，再由可得点和重合，从而得解．
【详解】解：点的坐标为，
，
四边形是正方形，
，，
，
如图，连接，

由勾股定理得：，
由旋转的性质得：，
将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于线段绕点逆时针旋转，依次得到，
，
点的坐标每8次一个循环，
，
点和重合，
由图可得：，
点的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理、点的坐标规律的探索，熟练掌握以上知识点，得到点的坐标每8次一个循环是解题的关键．
二、填空题（每题 3 分， 共 15 分）
11. 请写出一个有实数根的一元二次方程______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式写出即可.
【详解】解：由于有实数根，
故，
即符合题意的有（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义以及根的判别式是解题的关键．
12. 已知二次函数的最小值为5，则_____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，对于二次函数，当时，则当时，函数有最小值k，当时，则当时，函数有最大值k．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，最小值为，
∴，
故答案为：6．
13. 某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为 ____________________小时．
【答案】
【解析】
【分析】将点分别代入，中，求出k、m，确定出函数关系式，再把代入两个函数式中求出对应的t，把所求两个时间t作差即可．
【详解】解：由题意可得，
当时，，
当时，设函数关系式为，
将代入可得：，
所以y与t的函数关系式为；
当时，函数关系式为，
将代入可得：，
所以y与t的函数关系式是：；
当时，将代入可得：，
解得：；
当时，将代入可得：，
解得：．
（小时），
所以成年人服药一次有效的时间是小时．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数和一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
14. 如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是_____．
【答案】：1．
【解析】
【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案.
【详解】设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y：，
解得x：y＝：1．
故答案：：1
【点睛】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，正确找出对应边是解题关键.
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，点E是线段AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在处(在矩形内部)，如果恰在矩形的某条对称轴上，则AE的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：①过作交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD的对称轴，得出AM=BN=4，由勾股定理得到，求得，再由勾股定理解得即可；②过作交AB于P，交CD于Q；求出，由含角的直角三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：分两种情况：
①如图1，过作交AD于M，交BC于N，
则直线MN是矩形ABCD的对称轴，
∴，MN=AB=5，
∵△ABE沿BE折叠得到，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②如图2，过作交AB于P，交CD于Q，
则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，
∴PQ⊥AB，AP=PB，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：AE的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换−−折叠问题，轴对称图形的性质，矩形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识；正确理解折叠的性质是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题．
三、解答题（共8小题，共75分）
16. 解下列一元二次方程：
（1）
（2）
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程．掌握因式分解法解方程是解题关键．
（1）根据因式分解法解方程即可；
（2）先整理，移项，再根据因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：
∴或
解得：，；
【小问2详解】
解：
即
∴．
17. 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字的四个小球，除数字不同外，小球没 有任何区别，每次实验先搅拌均匀．
（1）从中任取一球， 求抽取的数字为正数的概率；
（2）从中任取一球， 将球上的数字作为点的横坐标， 记为 x (不放回)；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图(或列表法)表示出点所有可能出现的结果，并求点落 在第二象限内的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列表法进行求解概率是解题的关键．
（1）直接根据概率公式进行求解即可；
（2）根据列表法可知共有12种等可能的情况，进而问题可求解．
【小问1详解】
解：从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率为；
【小问2详解】
解：由题意可列表如下：
由表格可知共有12种等可能的情况，其中点落在第二象限内的有2种可能，所以概率为．
18. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、．

（1）点A关于x轴对称的点的坐标为______；
（2）以C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，使它与的相似比为2：1，请画出图形，并直接写出的面积为______；
（3）在y轴上找一点M，使的值最小，此时点M的坐标为______．
【答案】（1）
（2）见解析，12 （3）M的坐标是
【解析】
【分析】本题主要考查作图-位似变换，轴对称变换，一次函数解析式等知识：
（1）根据关于x轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标改变符号得出答案即可；
（2）延长到，使，延长到，使，点的对应点为C，然后连接即可，的面积底边×高．
（3）作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点M，则点M即为所求作的点，求直线的一次函数解析式，M在y轴上，则代入，求出点M的坐标．
【小问1详解】
∵点A的坐标为，
∴点A关于x轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，
∴点A关于x轴对称的点的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
如图所示：为所求，

∵、，
∴,
∴,
∴的面积,
故答案为：12；
【小问3详解】
∵
∴点A关于y轴的对称点的为，
连接，交y轴于点M，则点M即为所求作的点，
设直线的解析式为，
将，代入解析式中，得：
，
解得，
则一次函数解析式为，．
当时，，
∴点M坐标为．
故答案为：．
19. 如图，中，，．
（1）请用尺规作图的方法在边上确定点P，使得点P到边的距离等于的长；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）作∠ABC的平分线交于点，根据角平分线的性质即可得点到边的距离等于PA的长；
（2）过点作，垂足为点，根据等腰三角形性质可得出的值，利用勾股定理求出的值，进而求出的值，然后证明和相似，得到，已知，，的值，求解即可得到的值．
【小问1详解】
解：如图，利用尺规作图，作出的角平分线交于点，则点到的距离等于的长．
【小问2详解】
解：如图，过点作，垂足为点， 则，
，
由（1）可知，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了尺规作图﹣作角平分线，角平分线性质，等腰三角形性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质及灵活运用相似三角形的性质是解题关键．
20. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
【答案】（1）2，3两个月的销售量月平均增长率为；
（2）该这种台灯应降价2元．
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为，利用3月份的销售量1月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每台降价元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润二每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
【小问1详解】
解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：(不符合题意，舍去)．
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．
【小问2详解】
解：设这种台灯每个降价元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得(不符合题意，舍去)，
答：该这种台灯应降价2元．
21. 如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为，求楼的高度．
（参考数据：，，）
【答案】80米
【解析】
【分析】根据题意可得，设米，则米，然后利用勾股定理可求出．过点D作，垂足为G，则米，，然后设米，在中，利用锐角是三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答．
【详解】由题意得：，
∵山坡CF的坡度，
∴，
设米，则米，
∴（米），
∵米，
∴，
∴，
∴米，（米）．
过点D作，垂足为G，则四边形是矩形，
∴米，，
设米，
∴米，
在中，，
∴（米），∴米，
在中，，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴米，
∴楼的高度约为80米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线是解题的关键．
22. 已知矩形的一边长为2，另一边长为1．
（1）是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？
小明是这样想的：
小刚是这样想的：
①按照小明思路，在框中补出方程．
②根据小刚的思路，直接写出两个交点坐标；
（2）如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的k倍（），求k的取值范围．
【答案】（1）①；②，，，
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据面积长宽，列出关于的一元二次方程，解之即可，
②将反比例函数和一次函数联立，求公共点即可，
（2）根据“周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍”，设矩形的一边长为，则另一个边长为，根据面积公式列出关于和的方程，根据判别式得到关于的不等式，解之即可．
【小问1详解】
①根据题意得：小明可列方程为，
故答案为：；
②根据题意得：
，，
解得：，，
两个交点坐标为：，，，；
【小问2详解】
根据题意知这个矩形周长为，面积为，
设矩形的一边长为，则另一边为，
则，
整理得：，
由题意得原方程有实数根，
，
．
又，
，
即的取值范围为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用和反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：正确找出等量关系，根据判别式列出不等式．
23. 探究：
（1）如图1，在正方形中，，分别是，上的点，且，试判断，与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：______．
（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形中，，，，分别是边，上的点，且”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）问中，若将绕点逆时针旋转，当点分别，运动到，延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．
【答案】（1）
（2）（1）问中的结论仍然成立，证明见解析
（3），，之间的关系是
【解析】
【分析】(1)根据旋转得出，证明，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
(2)将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，对应角相等可得，再根据证明，并证明三点共线，然后利用“边角边”证明△AEF和△AEF′全等，根据全等三角形对应边相等可得EF′=EF，从而得解；
(3)将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在上点处，得到，根据旋转变换的性质可得全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，再根据证明，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，从而求出．
【小问1详解】
如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，又，
∴；
故答案为：．
【小问2详解】
结论仍然成立．理由如下：
如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴、、三点共线，
在与中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问3详解】
发生变化．之间的关系是．
理由如下：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在上点处，得到，
∴，
∴， ，
又∵，且，
∴
，
即，
在与中，
，
∴，
∴，
又∵ ，
∴ ，
即．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，利用旋转变换构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点。/
/
/
/
先固定周长，要使所求矩形的周长为12，这样的矩形有无数个，其中是否有面积为4的矩形呢？不妨设所求矩形的一边长为x．则另一边长为，则可列方程：
＝4．
先固定面积，要使所求矩形的面积为4，这样的矩形有无数个，其中是否有周长为12的矩形呢？不妨设所求矩形的一边长为x，则另一边长为，可得，在同一坐标系中画出函数和的图象，发现它们有两个交点．