广东省惠州市第一中学2023-2024学年高一上学期12月阶段考试数学试题

这是一份广东省惠州市第一中学2023-2024学年高一上学期12月阶段考试数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时长：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小題5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合补集的定义求，再结合交集运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以.
故选：B.
2. 已知角的终边位于第二象限，则点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】通过判断的符号来确定点所在象限.
【详解】由于的终边位于第二象限，
所以，
所以位于第二象限.
故选：B
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
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【分析】根据题意，由零点存在定理，代入计算，即可判断.
【详解】函数是定义域上的增函数，又，，所以，
所以函数的零点所在区间为.
故选：B.
4. 若，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.
【详解】依题意，令，则，，，
所以.
故选：B.
5. “顺德眼”是华南地区首座双立柱全拉索设计的摩天轮总共设有36个等间距座舱，其中亲子座舱4个，每2个亲子座舱之间有8个普通座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，质点运行轨迹为圆弧，运行距离为弧长，“顺德眼”在旋转过程中，座舱每秒运行约0.2米，转一周大约需要21分钟，则两个相邻的亲子座舱在运行一周的过程中，距离地面的高度差的最大值约为（ ）（参考数据：，计算结果保留整数）

A. 40米B. 50米C. 57米D. 63米
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意求得圆的半径，再由当两个相邻的亲子座舱的连线与底面垂直时，距离地面的高度差最大求解.
【详解】解： 设圆的半径为r，由题意得：，
解得，
如图所示：
当两个相邻的亲子座舱的连线与底面垂直时，距离地面的高度差最大，
所以两个相邻的亲子座舱在运行一周的过程中，距离地面的高度差的最大值约为：
，
故选：C
6. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊值的正负，再排除选项，即可求解.
【详解】函数的定义域为，
由，
则为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，C，
又，故排除B，
故选：D.
7. 已知函数，且关于的方程有个不同的实数根，若最小的实数根为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出函数的图象，令，方程转化为：，再方程有6个不同的实数解，根据从而得到方程：的两根是0和2，最后由韦达定理求得：，进而求得的值．
【详解】，作出函数的图象，如图所示：
方程有6个不同的实数解，
令，方程转化为：，
则关于的方程有一零根和一正根，
又最小的实数解为，由，
方程的两根是0和2，
由韦达定理得：，，
，
故选：A
8. 已知函数的图象和函数的图象有唯一交点，则实数m的值为（ ）
A. 1B. 3C. 或3D. 1或3
【答案】D
【解析】
【分析】将问题转化为方程有唯一解，令，再次转化为在上有唯一零点，通过判断函数的奇偶性，可得，从而可求得结果.
【详解】因为函数的图象和函数的图象有唯一交点，
所以方程有唯一解，
即有唯一解，
令，则在上有唯一零点，
因为，
所以为偶函数，
因为在上有唯一零点，所以唯一的零点为，
所以，即，
得，解得或，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数奇偶性的应用，解题的关键是由题意将问题转化为在上有唯一零点，再通过判断函数有奇偶性，根据奇偶性的性质可求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下面说法正确的有（ ）
A. 角与角终边相同.
B.
C. 若角的终边在直线上，则的取值为.
D. 函数的最小正周期为
【答案】AB
【解析】
【分析】利用终边相同的角概念判断A，利用三角函数线比较大小判断B，利用三角函数定义求解判断C，利用函数图象及周期定义判断D.
【详解】角与角相差，终边相同，故A正确；
如图，

设的终边与单位圆相交于点，根据三角函数线的定义可知，，，显然，所以，故B正确；
设角终边上一点，，
当终边在第四象限时，即，所以，
当终边在第二象限时，即，所以，故C错误；
作的图象，如图，

由图可知函数的最小正周期为，故D错误.
故选：AB
10. 下列结论正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，成立”的否定是“，”
C. 最小值2
D. 若，且，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据充分不必要条件判断A选项，应用命题的否定判断B选项，应用基本不等式判断C,D选项.
【详解】对于A选项，且，所以，“”“”，
且“”“”，所以，“”是“”的充分不必要条件，A对；
对于B，命题“，成立”的否定是“，”，B错；
对于C中，由，当且仅当时，即时，显然不成立，所以C错误；
对于D中，若且，由基本不等式可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以，所以D正确．
故选：AD.
11. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则下列4个命题中，其命题为（ ）
A. 函数在上单调递减函数B. 函数的值域是
C. 函数的图象关于对称D. 方程只有一个实数根
【答案】ABD
【解析】
【分析】确定时的图象，根据的奇偶性确定部分的函数图象，根据的图象确定的图象即可求解.
【详解】函数的定义域为R，
因为，所以为偶函数，
当时，，
则，
当时，，
当时，，
所以函数的图象如下图所示

对于A：时，在上单调递增，
所以在上单调递减函数，故A正确；
由可知，在内，，
当，Z 时，，
当，且,Z时，，
当或，Z时，，
因为，所以为偶函数，则函数图象如下图所示

故选项B正确, C错误；
对于方程，当时，方程有一个实数根，
当时，，此时，方程没有实数根，
当时，，此时，方程没有实数根，
所以方程只有1个实数根，故D正确；
故选：ABD.
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 关于的方程有个不同的解
C. 在上单调递减
D. 当时，恒成立.
【答案】ACD
【解析】
【分析】求的值判断选项A；当时验证结论是否正确去判断选项B；由在上的解析式去判断选项C；分析法证明不等式去判断选项D.
【详解】选项A：.判断正确；
选项B：
画出部分图像如下：
当时，由，可得或
由，可得或；由，可得
即当时，由可得3个不同的解，不是5个. 判断错误；
选项C：当时，，
若即，则
则，为减函数；
当时，
若即，则
则，为减函数；
当时，
若即，则
则，为减函数；
综上，在上单调递减. 判断正确；
选项D：当时，可化为，
同一坐标系内做出与的图像如下：
等价于
即，而恒成立. 判断正确.
故选：ACD
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数则函数的零点为______
【答案】
【解析】
【分析】结合函数的解析式分类讨论求解即可．
【详解】当时，由，即，解得或（舍），
当时，由，解得，
综上可得，函数的零点为．
故答案为：．
14. 已知函数，且，则实数________，函数单调递增区间为________________.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】根据正弦函数值，结合正弦函数单调区间求解即可.
【详解】①，
，解得：；
②将代入，得，
由，
得，
故函数的增区间为.
15. 函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数的零点个数，转化为方程的根的个数，求解参数范围.
【详解】由在上有两个零点，
则在上有两个实数根,
所以,,
又因为，
所以在上有两个不同的实数根,
则.
故答案为：.
16. 已知函数对任意和任意都有恒成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】将化为关于的二次式子，利用判别式可将不等式化为对任意恒成立，令，可化为或，即可求出.
【详解】
，
因为对任意和任意都有恒成立，
所以对任意恒成立，
整理可得对任意恒成立，
即或，对任意恒成立，
即或对任意恒成立，
令，则，
则或对任意恒成立，
所以或，
因为，当且仅当，即时等号成立，所以，
又在单调递减，所以，
所以或.
故答案为：.
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知.
（1）求的值；
（2）当为第三象限角时，求的值.
【答案】（1）8 （2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式可得，结合齐次化问题即可得结果；
（2）根据题意结合同角三角关系可得，再利用诱导公式运算求解.
【小问1详解】
因为，所以.
【小问2详解】
由得，
且，故，即
因为是第三象限角，，则，，
所以
.
18. 已知，．
（1）当，求的值；
（2）求函数的最大值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式，立方差公式即可计算求解；
（2）先求出，再利用换元法求得，进而根据二次函数的性质即可求得其最大值．
【小问1详解】
当时，即，
两边平方，可得，
则，所以，
所以，
所以．
【小问2详解】
因为，即，
又，则，
将两边平方，可得，则，
则，
又，所以当时，取得最大值，且最大值为1．
19. 参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数．
（1）①试解释与的实际意义；
②写出函数应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；
（2）现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．
【答案】（1）表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的；定义域为，值域为，在区间内单调递减.
（2）当时，，此时两种清洗方法效果相同；
当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少；
当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少.
【解析】
【分析】（1）①根据函数的实际意义说明即可；
②由实际意义可得出函数的定义域，值域，单调性.
（2）求出两种清洗方法污渍的残留量，并进行比较即可.
【小问1详解】
①表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；
表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上污渍的.
②函数的定义域为，值域为，在区间内单调递减.
【小问2详解】
设清洗前衣服上的污渍为1，用单位的水，清洗一次后残留的污渍为，
则；
用单位的水清洗1次，则残留的污渍为，
然后再用单位的水清洗1次，则残留的污渍为，
因为，
所以当时，，此时两种清洗方法效果相同；
当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少；
当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少.
20. 已知函数.
（1）请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，后画图）
（2）设，当时，试讨论函数零点情况.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据五点作图法列表画图；
（2）将的零点个数转化为与交点个数，然后结合图象分析即可.
【小问1详解】
列表如下：
【小问2详解】
令，则，由，则，
结合的图象研究与公共点个数.

（i），即，有4个公共点；
（ii），即，有5个公共点；
（iii），即，有4个公共点；
（iv），有2个公共点；
（v），无公共点.
综上，①或，有4个零点；
②，有5个零点；
③，有2个零点；
④，无零点.
21. 定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.
（1）当时，判断函数是否为有界函数，并说明理由；
（2）若函数在上是以为上界的函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）是，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，化简利用有界函数的定义即可判断.
（2）根据有界函数的定义知恒成立，利用参数分离法即可求解.
【小问1详解】
，
由知，则，于，则，
故时，，
所以，函数（）为有界函数．
【小问2详解】
若函数在上是以为上界的函数，则有在上恒成立．
则恒成立，即恒成立，
所以 即
即不等式组在上恒成立．
因为在上单调递增，且恒成立，
所以在上单调递减，其最大值为；
在上也单调递减，其最小值为
所以 即，
故实数m的取值范围是．
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是等价转化为在上恒成立，最后分离参数并求出和在上的最值即可.
22. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）已知函数在区间单调递减.试判断是否恒成立，并说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）恒成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先求出的定义域，判断其奇偶性及单调性，从而将所求不等式化为，由此得解；
（2）将问题转化为和在上的值域的交集不为空集；分类讨论和两种情况，分别求出两函数的值域，从而得解；
（3）将问题转化为判断，再利用单调性即可得解.
【小问1详解】
因为，
由，可得，即的定义域为；
又，所以为奇函数，
当时，易得单调递减，
所以在上单调递减，且的值域为，
不等式，可化为，
所以，即，
即，即，解得，
则原不等式的解为；
【小问2详解】
函数，
若存在，使得成立，
则和在上的值域的交集不为空集；
由（1）可知：时，单调递减，
所以值域为；
若，则在上单调递减，
所以的值域为，
此时只需，即，所以；
若，则在上单调递增，
可得的值域为，
此时与的交集显然为空集，不满足题意；
综上，实数的范围是；
【小问3详解】
恒成立，理由如下：
因为，
所以
，
因为在区间单调递减，
所以当时，，所以，
即，即，
所以，即.
【点睛】关键点睛：解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.0
0
0
2
0
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