河北省沧州市泊头市第一中学等校2023-2024学年高三上学期12月省级联测考试数学试题

这是一份河北省沧州市泊头市第一中学等校2023-2024学年高三上学期12月省级联测考试数学试题，共17页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

班级__________姓名__________
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为虚数单位，则的虚部为（ ）
A. B. C.0 D.1
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，其中为切点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 7.已知是定义域为的单调函数，且，若，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知正方体的棱长为为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.展开式中项的系数为1120
B.样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C.根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立，即可认为与独立
D.在回归分析中，用最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零
10.已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A.的一个周期是4
B.是奇函数
C.是偶函数
D.的图象关于点中心对称
11.如图，在边长为的等边三角形中，圆与的三条边相切，圆与圆相切且与相切，，圆与圆相切且与相切，设圆的半径为，圆的外切正三角形的边长为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.数列是首项为2，公比为的等比数列，故
C.当圆的半径小于时，的最小值为4
D.数列的前项和小于3
12.已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.球的表面积为
B.球在正方体外部的体积大于
C.球内接圆柱的侧面积的最大值为
D.若点在正方体外部（含正方体表面）运动，则
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.将六名志愿者分配到四个场所做志愿活动，其中场所至少分配两名志愿者，其他三个场所各至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有__________种.（用数字作答）
14.若，则曲线在处的切线方程为__________.
15.已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数在区间上有且仅有2个最大值，则的取值范围是__________.
16.已知双曲线的左､右顶点分别为是圆上一点，点关于的对称点恰好在双曲线上，且，则双曲线的离心率为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
18.（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别是，已知为在方向上的投影向量.
（1）求；
（2）若，求的周长的取值范围.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，.
（1）求证：平面平面；
（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰.最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情.已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下：
假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.
（1）已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程）
（2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望；
（3）已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的左､右顶点分别为为椭圆上任意一点（与不重合），直线和的斜率之积为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率之和为1的两条直线分别与椭圆交于两点，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在不相等的实数，使得，证明：.
2023-2024高三省级联测考试
数学参考答案
1.D 解析：因为，所以虚部为1，故选.
[命题意图]本题考查复数的概念与运算，考查学生的数学运算素养.
2.B 解析：由，可得或，即，由，可得或，即，所以，故选B.
[命题意图]本题考查分式不等式､含绝对值不等式的求解，考查学生的数学运算能力.
3.D 解析：，解得，故选D.
[命题意图]本题考查同角三角函数的关系和二倍角公式，考查学生的逻辑推理与数学运算能力.
4.B 解析：由已知可得，由可得，解得，所以由与的夹角为钝角可得解得，且，所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B.
[命题意图]本题考查与的夹角为钝角的充要条件､向量的坐标运算，考查学生的逻辑推理与数学运算能力.
5.A 解析：若函数的值域为，则要取遍所有的正数.所以或解得，即实数的取值范围是，故选A.
[命题意图]本题考查复合函数的值域问题，考查学生的逻辑推理与数学运算能力.
6.A 解析：要使得最大.则最小，的最小值即为圆心到直线的距离.由题意知，，所以最大时，最小.由题意知，.，所以，则的最大值为，故选.
[命题意图]本题考查圆的动态综合问题，从素养上体现对学生的数学推理､数学建模素养的考查，考查学生的运算求解能力.
7.C 解析：令，则，因为是定义域为的单调函数.所以为常数，即，所以，解得，所以与互为反函数，又，如图所示得，又因为是单调递增的，所以，故选.
[命题意图]本题考查求解函数解析式与比较大小问题，从素养上体现对学生的逻辑推理､直观想象索养的考查，考查学生的运算求解能力.
8.B 解析：在正方体中，平面平面，又平面平面，平面平面，则平面与平面的交线过点，且与直线平行，与直线相交，设交点为，如图.
又平面平面，即分别为，与平面所成的角，又，则，且有，当与重合时，平面截该正方体所得的截面为四边形，此时，即为棱中点，当点由点向点移动过程中，逐渐减小，点由点向点方向移动，当点为线段上任意一点时，平面只与该正方体的4个表而有交线，即可用成四边形，当点在线段延长线上时，直线必与棱交于除点外的点，又点与不重合，此时，平面与该正方体的5个表面有交线，截面为五边形，如图.
因此.为棱上异于端点的动点.截面为四边形，点只能在线段（除点外）上，即，显然.，则.所以线段的取值范围是.所以若平面截该正方体的截面为五边形.
线段的取值范围是时，故选B.
[命题意图]本题考查正方体的截面问题，从素养上体现对学生的数学推理､直观想象素养的考查，考查学生的推理运算､直观想象能力.
9.ACD 解析：对于A.设展开式的通项为，令可得展开式中项的系数为，正确；样本相关系数的范围在-1到1之间，有正有负，相关性有正相关和负相关，样本相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之.线性相关性越弱，错误；由独立性检验可知，没有充分证据推断零假设不成立，即认为与独立，正确；在回归分析中，残差和为，用最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零，D正确.故选ACD.
[命题意图]本题考查二项式定理､样本相关系数､独立性检验和残差等概念，考查学生的数据分析､推理运算能力.
10.AC 解析：对于A：由，知，所以是周期为4的周期函数，故A正确；对于B：不妨取，显然满足已知条件，但它是一个偶函数，故B错误；对于C：因为，所以，由为奇函数，得.所以的图象关于点中心对称.所以，因此，即，又的定义域为，故是偶函数，故C正确；对于D：因为的图象关于点对称，图象的一个对称轴是.以此类推，的图象不关于点对称，故D错误，故选AC.
[命题意图]本题考查抽象函数的性质，从素养上体现对学生的数学抽象､逻辑推理素养的考查，考查学生的运算求解能力.
11.ABD 解析：如图，由等面积得正三角形内切圆半径与边长满足，所以，故A正确；由正三角形内切圆性质易得，，所以.由，得.所以数列是首项为2，公比为的等比数列，故，故B正确；由，得，解得，因为，且，故的最小值为5，故错误；数列的前项和为，故D正确，故选ABD.
[命题意图]本题考查正三角形内切圆与数列的综合问题，从素养上体现对学生的数学建模､逻辑推理素养的考查，考查学生的运算求解能力.
12.ABD 解析：对于A.如图所示，
正方体的棱切球的半径，则球的表面积为，故正确；对于.若球体､正方体的体积分别为.球在正方体外部的体积，故B正确；对于，球的半径，设圆柱的高为，则底面圆半径，所以，当时取得最大值，且最大值为，所以项错误；对于，取中点，可知在球面上，可得，所以，点在球上且在正方体外部（含正方体表面）运动，所以（当为直径时，），所以.故D正确.故选ABD.
[命题意图]本题考查正方体棱切球､球内接几何体､向量的数量积运算等问题，从素养上体现对学生的直观想象､逻辑推理素养的考查，考查学生的运算求解能力.
13.660 解析：若A场所2人，B，C，D其中一场所2人，共有种，若A场所3人，B.C，D每个场所1人，共有种，则不同的分配方案共有种.
[命题意图]本题考查排列组合中的分组分配问题，从素养上体现对学生的逻辑推理素养的考查，考查学生的运算求解能力.
14. 解析：因为，所以，令，得，解得，所以，则，所以曲线在处的切线方程为，即.
[命题意图]本题考查曲线的切线方程､导数的几何意义问题，从素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力.
15. 解析：因为，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.则，当时，.则，解得.
[命题意图]本题考查三角恒等变换与正弦型函数的性质综合问题，从素养上体现对学生的逻辑推理､数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力.
16. 解析：由图可得，在圆上，所以是直角，
又因为点关于的对称点恰好在双曲线上，所以是的垂直平分线，
所以，所以，因为，
所以，在中，由余弦定理得，所以点横坐标为，纵坐标为，所以点的坐标为，将点代入双曲线方程得，得，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.
[命题意图]本题考查双曲线的离心率问题，从素养上体现对学生的逻辑推理､数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力.
17.解：（1）由题知，当时，，则.
又.①
当时，，②
①-②得，
所以.
当时，也适合.
综上，数列的通项公式为.
（2）因为.
所以，①
，②
①-②得，
整理得，
因为.所以.
[命题意图]本题考查数列求通项､求和与不等式综合问题，从素养上体现对学生的逻辑推理､数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力.
18.解：（1）由为在方向上的投影向量知，，
所以，
由正弦定理得，
又，所以，
又.所以.
（2）由正弦定理得.
所以
因为，所以，所以，所以，
所以，故的周长的取值范围是.
[命题意图]本题考查投影向量､正弦定理解三角形与三角形周长范围问题，从素养上体现对学生的逻辑推理､数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力.
19.解：（1）.
平面，
平面.
平面平面平面.
（2）取的中点.连接.
由（1）知平面，
平面，
如图，过点作.
.
，由勾股定理可知.
平面平面.
为的中点，，又
.
平面为直线与平面所成角.
由（1）知，又.
，则，
.
，
直线与平面所成角的正弦值为.
[命题意图]本题考查面面垂直､线面角求解问题，从素养上体现对学生的直观想象､逻辑推理､数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力.
20.解：（1）
设事件C为“甲上午选择足球”，事件为“甲下午选择足球”，
设甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数为，
则，解得，
所以甲一天中钥轰情况为（羽毛球，足球）的天数为.
（2）由题意知，甲上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为；
乙上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为.
记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，则的所有可能取值为，
.
，
，
所以的分布列为
所以.
（3）设事件为“上午室外温度在20度以下”，事件为“甲上午打羽毛球”，
由题意知，
.
故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下的概率为.
[命题意图]本题考查概率与分布列问题，从素养上体现对学生的逻辑推理､数学建模素养的考查，考查学生的运算求解能力.
21.解：（1）由题意，设，
因为点在椭圆上，所以，
由直线和的斜率之积为，
可得
又因为点在椭圆上，所以，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）设直线为直线，当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，
联立整理得，
则，
.
因为，所以，
即，
所以，
整理得，
则，
整理得，
即.
因为直线不过点，所以，
则，即，
所以直线的方程为，故直线过定点.
当直线的斜率不存在时，直线与椭圆交于，
不妨设，则，
解得，此时，直线过点.
综上，直线过定点.
[命题意图]本题考查椭圆方程与直线过定点问题，从素养上体现对学生的逻辑推理､数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力.
22.解：（1）由题得的定义域为，
当时，，所以在上单调递减；
当时，当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减.
（2）由（1）得，当时，在上单调递减，不合题意，故，则.
由，可得，即为，
可设，则，则.
要证，即证，
即证，即证，
设，即证，
设，可得，
所以在上单调递增，即，
即，则.
综上可得.
[命题意图]本题考查利用导数讨论函数单调性与双变量问题，从素养上体现对学生的逻辑推理､数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力.体育锻炼目的情况
（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天
10天
乙
10天
10天
5天
25天
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
D
B
A
A
C
B
ACD
AC
ABD
ABD
体育锻炼项目的情况
（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天
15天
5天
10天
10天
10天
5天
25天
-1
0
1