河北省石家庄市正中实验中学2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试题

这是一份河北省石家庄市正中实验中学2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出对应集合的范围，利用交集关系求解即可.
【详解】由可得，
则，
所以，
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题“，”的否定是：，.
故选：A
3. 函数零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用零点存在性定理判断零点所在区间即可.
【详解】由解析式知：在上恒负，故不存在零点，在上递减，更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 而，，
内趋向于0时，趋向正无穷，而趋向于正无穷时，趋向负无穷.
综上，零点所在的一个区间是.
故选：C
4. 设 则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数与指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】设，由幂函数性质知单调递增，
由，知，
设，因为，
由指数函数性质知在单调递减，
所以，
所以，
故选：B.
5. 已知的值域为R，那么实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数在上的取值集合，再根据给定的值域确定函数在上的取值集合，列式求解作答.
【详解】当时，函数在上单调递增，其取值集合为，而函数的值域为R，
因此函数在上的取值集合包含，
当时，函数在上的值为常数，不符合要求，
当时，函数在上单调递减，取值集合是，不符合要求，
于是得，函数在上单调递增，取值集合是，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：A
6. 函数在上单调递减，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的定义域，结合复合函数单调性得到答案.
【详解】的定义域是，
令，其在定义域上单调递增，
，在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性可知，.
故选：A.
7. 已知函数的零点分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的性质可判断小于1，大于1，再由数形结合判断即可.
【详解】令，可得，所以，即；
令，可得，即，所以，
即；
令，可得，由此可得，所以，
即，
作的图象，如图，

由图象可知，，所以.
故选：D
8. 已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得到，令，推得在上单调递减，把不等式转化为，结合，得到，即可求解.
【详解】由题意知：，
可得，
且，即，
令，不妨设，可得，则，
即，所以在上单调递减，
则不等式，且，转化为，
因为，所以，则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
二、多选题
9. 下列函数在定义域上是奇函数且在区间单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义和单调性可得答案.
【详解】对A，，，定义域关于原点对称，
，是奇函数，且其为反比例函数，在单调递减，A正确；
对B，，定义域为，，不是奇函数，B错误；
对C，，定义域为，，是奇函数，且在单调递减，C正确；
对D,，由，知，，不满足在区间单调递减，故D错误.
故选：AC
10. 已知函数是指数函数，函数则（ ）
A. 是增函数B. 是增函数
C. D. 满足不等式的最小整数是1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据指数函数定义可求得解析式，进而判断，当时函数值大小可判断，根据分段函数求值可判断，由题意可知，将代入不等式，可判断
【详解】解析 由题可知，解得，则是增函数，所以正确；
当时，，，，所以不是增函数，所以错误；
，，所以正确；
由题易知只需考虑的情况，将代入可得不等式成立，所以最小整数是，所以正确.
故选：.
11. 已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】CD
【解析】
【分析】根据题意可得：，且是的真子集，根据真子集关系分析可得，对比选项判断即可.
【详解】对于，因为，
则，解得，即：，
若是的必要不充分条件，则是的真子集，
则，结合选项可知AB错误，CD正确.
故选：CD.
12. 已知函数（，且），则（ ）
A. 有两个零点B. 不可能为偶函数
C. 的单调递增区间为D. 的单调递减区间为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由函数可知，定义域为，故为非奇非偶函数，令，根据对数的运算法则可计算出方程的根，去绝对值，把函数写成分段函数，分类讨论求函数的单调区间.
【详解】对于A，令，则或，所以或有两个零点，A正确；
对于B，的定义域为为非奇非偶函数，B正确；
对于C，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，同理当时，的单调区间与时相同，C错误，D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13. 函数的定义域是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零和对数的真数大于零即可得解.
【详解】由，
得，解得，
所以函数的定义域是.
故答案为：.
14. 函数（，且）的图像恒过的定点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数过定点进行求解.
【详解】因为，
所以恒过的定点的坐标为，
故答案为：.
15. 己知二次方程的两根分别为2和4，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次方程的两根可得与的关系，可化简为，再解不等式可得答案.
【详解】二次方程的两根分别为2和4，
可得，即，
由可得，
解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
16. 已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】将函数零点个数问题转化成方程解的个数问题，进一步转化成图像的交点个数问题.
【详解】函数在区间上有两个零点，
即在区间上有两个不同的解，
即在区间上有两个不同的解，
转化成与在区间上有两个不同的交点，
结合对勾函数的性质可知在单调递减，在单调递增，
且，所以，解得，
故答案为：.
四、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则化简得解；
（2）利用对数的运算法则化简得解.
小问1详解】
解：原式.
【小问2详解】
解：原式.
18. 已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义和函数的奇偶性求出的值, 求出函数的解析式即可;
(2) 求出函数的对称轴, 根据函数的单调性求出的范围即可.
【小问1详解】
由题意 ,
解得: 或 3 ,
若 是偶函数,则，
故 ;
【小问2详解】
,
的对称轴是 ,
若 在上不是单调函数,
则 , 解得: .
所以实数的取值范围为.
19. 已知函数且的图象与轴交于点，且点在一次函数的图象上.
（1）求的值；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数过点Q列式求参即可；
（2）把不等式恒成立问题转化为最值问题即可求解.
【小问1详解】
因为点在轴上，且在一次函数的图象上，
所以点的坐标为，
所以，
又，所以.
小问2详解】
因为，所以.
因为函数在上单调递增，所以对恒成立
即对恒成立.
当时，，
所以，即的取值范围为.
20. 已知函数
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明.
【答案】（1）
（2）奇函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据对数函数真数大于零解不等式即可得的定义域为；
（2）将化简可得，利用函数奇偶性的定义可得为奇函数.
【小问1详解】
由，解得或，
故的定义域为
【小问2详解】
为奇函数；证明如下：
由（1）知的定义域关于原点对称，
因为，
所以；
即可得为奇函数.
21. 己知函数
（1）当时，解不等式；
（2）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可；
（2）将对任意的，总存在，使成立,转化为值域之间的包含关系即可.
【小问1详解】
当时，,
故，即或.
故所求解集为：.
【小问2详解】
当时，，
对称轴为,且,,
所以对任意的，,
，，，
若，则,，
对任意的，总存在，使成立，
则,解得；
若，则,，不符合题意，舍去；
若，则,，
对任意的，总存在，使成立，
则,解得；
综上得：实数m的取值范围是
22. 已知函数且.
（1）若的值域为，求的取值范围.
（2）试判断是否存在，使得在上单调递增，且在上的最大值为1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）首先设函数的值域为，根据对数函数定义域和值域的关系，可得，讨论的取值，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）分，和三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数的值.
【小问1详解】
设函数的值域为，因为的值域为，所以.
当时，的值域为，符合题意.
当时，由，解得
综上，的取值范围为.
【小问2详解】
当时，，因为，所以不符合题意，舍去.
当时，，不符合题意.
下面只讨论的情况.
若，则在上单调递增，由，
解得，
此时，
得，即当时，存在，符合题意，当时，不存在符合题意的.
若，则在上单调递减，
由，解得，
此时，
得，则当，即时，存在，符合题意.
综上，当或时，存在，符合题意；当时，不存在符合题意的.
【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值.