河南省洛阳市孟津区第一高级中学2024届高三上学期12月月考数学试题

这是一份河南省洛阳市孟津区第一高级中学2024届高三上学期12月月考数学试题，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合，根据交集的概念可求出结果.
【详解】由，得，得，得，
由，得或，得，
所以.
故选：A
2. 设是复数且，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解.
【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，
由图可知，.更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 故选：C
3. 设均正数，且，，．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象，
与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．
考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．
【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．
【详解】
4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的几何意义即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，，
则所求切线方程为，即，
故选：A.
5. 设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.
【详解】由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
6. 如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为（ ）
A. B. 2
C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】在中，求得；在中，利用正弦定理求得；再在中，利用余弦定理即可求得结果.
【详解】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，
则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，
在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，
则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，
则有＝，变形可得BC＝＝＝，
在中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，
则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs∠ACB＝9，
则AB＝3．
故选：.
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及距离的求解，属基础题.
7. 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元，根据行业规定，每座城市至少要投资万元由前期市场调研可知：甲城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，乙城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，则投资这两座城市收益的最大值为 （ ）
A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出收益的表达式，结合换元法、二次函数的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：，
设投资这两座城市收益为，
则有，
令，则有，
该二次函数的对称轴为，且开口向下，
所以，
故选：B
8. 已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据幂函数的性质得到，分别求出函数和在区间的值域，再结合题意即可得到答案.
【详解】因为幂函数在上单调递增，
所以，即.
，则的值域为，
又因为函数在上为增函数，
所以，的值域为，
因为，，使得成立，
所以，解得.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 设，则当取得最大值时，
D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算，结合三角函数的基本关系式与辅助角公式即可得解.
【详解】A，若，则，即，故A正确；
B，若，则，所以，故B错误；
C，，其中，，
故当时，取得最大值，
此时，故C正确；
D，因为，
所以
，
则的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
10. 在公比为等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列是等比数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可.
【详解】因为，所以有，因此选项A正确；
因为，所以，
因为常数，
所以数列不是等比数列，故选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
，
因为当时，，所以选项D正确.
故选：ACD
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点成中心对称
C. 的图象关于直线对称
D. 的单调递增区间是
【答案】BCD
【解析】
【分析】化简得，根据三角函数的性质可逐项排除.
【详解】，
A. 的最小正周期为，错误；
B. ，所以图象关于点成中心对称，正确；
C. ，所以图象关于直线对称，正确；
D. 的单调递增区间是，即，正确
故选：BCD.
【点睛】本题考查正弦型三角函数化简、三角函数的图象和性质，是一道三角函数不错的题.
12. 年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过倍．某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对头生猪的体重（单位：）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A. 这头生猪体重的众数为
B. 这头生猪中体重不低于的有头
C. 这头生猪体重的中位数落在区间内
D. 这头生猪体重的平均数为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用最高矩形底边的中点值作为众数可判断A选项的正误；计算出生猪中体重不低于所占的频率，乘以可判断B选项的正误；根据中位数左边的矩形面积之和为可判断C选项的正误；根据频率分布直方图计算出样本数据的平均数，可判断D选项的正误.
【详解】由频率分布直方图可知，这一组的数据对应的小长方形最高，所以这头生猪的体重的众数为，A错误；
这头生猪中体重不低于的有（头），B正确；
因为生猪的体重在内的频率为，
在内的频率为，且，
所以这头生猪体重的中位数落在区间内，C正确；
这头生猪体重的平均数为，
D正确．
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法
（1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示，频率=组距，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率．
（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．
（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则的值是___________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用三角恒等变换求得，再利用诱导公式即可得解.
【详解】因为
，
所以，则.
故答案为：.
14. 若复数（）在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数实部虚部的符号特点，解出关于的不等式即可求得的范围
【详解】复数（）在复平面上对应的点位于第二象限.
可得 解得.
故答案为：
15. 已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为，球O的体积为，则______；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且，则平面PMN截球O所得截面的面积为______.
【答案】 ① ； ②. .
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质求出球O的半径，从而可分别求出圆锥的体积为和球O的体积为；
设MN的中点为C，连接PC，DM，首先求出点到直线的距离，然后结合球O的半径，即可求出平面PMN截球O所得截面圆的半径为r.
【详解】如图，设D为AB的中点，连接PD，由题意知PD为圆锥的高，且，
易知球O的半径，
所以，，所以；
设MN的中点为C，连接PC，DM，则，
易知，，所以，所以.
过O点作，垂足为E，易知，则，
又，则.
设平面PMN截球O所得截面圆的半径为r，
则，所以截面的面积为.
故答案为：；.
16. 某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立.某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用独立事件的概率公式可得关于的方程组，从而可求的值.
【详解】设该新生“进入篮球社团”为事件，“进入电子竞技社团”为事件，“进入国学社团”为事件，
则：“三个社团他都能进入”的概率为，
“至少进入一个社团”的概率为，
整理得到 ，故，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 记的内角，，所对的边分别是，，．已知．
（1）求角的大小；
（2）若点在边上，平分，，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理化简即可得到角的大小；
（2）由角平分线定理可得，由，结合余项定理化简即可求得结果.
【小问1详解】
因为，即
化简可得，由余弦定理可得，
所以，且，则
【小问2详解】
由（1）知，由余弦定理可得，将代入，
化简可得，
又因为平分，由角平分线定理可得，即，且，所以，
又因为,
则，结合余弦定理可得
，解得，所以
则
18. 已知数列，满足.
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：.
【答案】（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用定义法证明出是公比为2的等比数列，再求出；
（2）先判断出当n为偶数时，.对n分奇偶讨论，分别分组求和及放缩后可以证明出.
【小问1详解】
，
，即，
，
数列是公比为2的等比数列.
又，，，
，
，
，
即.
【小问2详解】
由(1)，当n为偶数时，
，
故.
当n为奇数时， .
当n为偶数时，
.
综上，.
19. 如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】(1)如图所示，连结，
等边中，，则，
平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，
由面面垂直的性质定理可得：平面，故，
由三棱柱的性质可知，而，故，且，
由线面垂直的判定定理可得：平面，
结合⊆平面，故.
(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.
设，则，,，
据此可得：，
由可得点的坐标为，
利用中点坐标公式可得：，由于，
故直线EF的方向向量为：
设平面的法向量为，则：
，
据此可得平面的一个法向量为，
此时，
设直线EF与平面所成角为，则.
【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
20. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M，A，B均在C上，点M位于第一象限，且M，，A三点共线，M，，B三点共线，C的离心率为，的周长为.
（1）求C的标准方程；
（2）若，的内切圆面积分别为，，试求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】.(1)由已知条件得到关于 的方程，解方程确定 的值;
(2)设 ，利用已知条件求得A,B 的坐标，设，的内切圆半径分别为将用含 的代数式表示,再利用基本不等式求得最值.
【小问1详解】
由椭圆定义得：
的周长为，
离心率为，即：
，
C的标准方程为：
【小问2详解】
易知设
由条件知
直线的方程为：
将其代入椭圆方程并整理可得：
则得
故
当时, 直线的方程为：
将其代入椭圆方程并整理可得：
同理,可得
设，的内切圆半径分别为
因为
所以
当且仅当时,等号成立.
当时, ，易知
此时
综上, 的最大值为.
所以
即的最大值为.
21. 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）．
（1）求图中的值；
（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（参考公式：，其中）
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）；
（2）详见解析； （3）分布列见解析；数学期望3
【解析】
【分析】（1）利用所有矩形的面积和为1,求出；
（2）由频率分布直方图求出晋级成功的人数可得列联表，计算的值,与临界值表中比较得出结论；
（3）求出晋级失败的概率,4人中晋级失败的人数为,则服从二项分布, 再求出分布列和数学期望.
【小问1详解】
由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知
，故；
【小问2详解】
由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，
故晋级成功的人数为（人），
故填表如下
假设“晋级成功”与性别无关，
根据上表数据代入公式可得，
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；
【小问3详解】
由频率分布直方图知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为，
故可视为服从二项分布，
即，，
故 ， ，
， ，
，
故的分布列为
或.
22. 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）依题意在上恒成立，令，求出函数的导函数，再由二次函数的性质，可得二次函数必有一正一负两个零点，设其中一个零点，则，再利用导数求出的范围，从而求出的取值范围；
【小问1详解】
解：因为定义域为，且.
①若，则，所以在上单调递减.
②若，令，得.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
解：不等式在上恒成立等价于在上恒成立，
令，则.
对于二次函数，，所以其必有两个零点.
又两个零点之积为，所以两个零点一正一负，
设其中一个零点，则，即.
此时在上单调递增，在上单调递减，
故，即.
设函数，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，所以，
由在上单调递增，得.
故的取值范围为.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．晋级成功
晋级失败
合计
男
16
女
50
合计
0．40
0．25
0．15
0．10
0．05
0．025
0．780
1．323
2．072
2．706
3．841
5．024
晋级成功
晋级失败
合计
男
16
34
50
女
9
41
50
合计
25
75
100
0
1
2
3
4