湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二上学期第三次月考（12月）数学试题

这是一份湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二上学期第三次月考（12月）数学试题，共8页。试卷主要包含了已知等比数列中，，则公比，记为等差数列的前项和等内容，欢迎下载使用。
命题人：唐小智 审题人：陈诗跃
一､选择题（共8小题）
1.已知等比数列中，，则公比（ ）
A.2 B.-2 C. D.
2.若直线的斜率大于1，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则的值为（ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为，则该数列的第13项为（ ）
A.156 B.157 C.158 D.159
6.在正方体中，点为棱上的动点，则与平面所成角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知分别为双曲线的左､右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A.3 B. C. D.2
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A. B. C. D.
二､多选题（共4小题）
9.记为等差数列的前项和.已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（ ）
A.抛物线的焦点坐标是
B.焦点到准线的距离是4
C.若点的坐标为，则的最小值为5
D.若为线段中点，则的坐标可以是
11.已知首项为1的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A.数列为等比数列
B.数列不是等比数列
C.
D.中任意三项不能构成等差数列
12.如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，则（ ）
A.当时，
B.当，时，点到平面的距离为
C.当时，平面
D.当时，三棱锥的体积恒为
三､填空题（共4小题）
13.函数在区间上的平均变化率等于__________.
14.已知等差数列的前项和为，若，则取得最大值时的值为__________.
15.已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是__________.
16.在三棱锥中，平面平面，底面是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为__________.
四､解答题（共6小题）
17.已知圆与直线相交于两点.
（1）求弦的长；
（2）若圆经过两点，且圆与圆的公共弦所在直线平行于直线，求圆的方程.
18.已知数列为等差数列，，数列的前项和为，且满足.
（1）求和的通项公式：
（2）若，求数列的前项和为.
19.四棱锥中，平面为的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
20.已知圆，点是圆上一动点，线段的垂直平分线与交于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）过的左焦点且斜率为的直线与交于两点，为坐标原点，当的面积为时，求的值.
21.已知数列满足且的前100项和3775.
（1）求的首项；
（2）记，数列的前项和为，求证：.
22.已知双曲线的右焦点为，渐近线与抛物线交于点.
（1）求的方程；
（2）设是与在第一象限的公共点，作直线与的两支分别交于点，使得.
（i）求证：直线过定点；
（ii）过作于.是否存在定点，使得为定值？如果有，请求出点的坐标；如果没有，请说明理由.
永州市第一中学2023年下期高二第三次月考数学试题
答案
一､单选题
1-8BBADBCCC
二､多选题
9.ABC 10.BD 11.ABD 12.ACD.
三､填空题
13.6 14.8 15. 16.
四､解答题
17.解：（1）圆的圆心，半径为1，
圆心到直线的距离，
所以.
（2）设圆的方程为，
圆
两方程相减，可得公共弦所在的直线方程为：，
圆与圆的公共弦平行于直线，
，即.
又因为圆经过，
所以
所以圆的方程为.
18.解：（1）设的公差为，
由题意可得，
解得，所以.
时，时，，
是以1为首项，3为公比的等比数列，
.
（2），
，
，
两式相减得，，
，
.
19.（1）证明：因为平面平面，
所以，因为平面，
所以平面，又平面，
所以，因为，
所以，因为，所以，即
，又平面，所以平面.
（2）解：由（1）得，
因为为的中点，且，所以，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
由得，，
令，则，所以，
由（1）知，平面的一个法向量为，
所以.
所以二面角的正弦值为.
20.解：（1）因为是圆上一动点，线段的垂直平分线与交于点，
可得，所以，
则点的轨迹是以为焦点，长半轴，半焦距为
的椭圆，此时，故轨迹的方程为；
（2）不妨设直线方程为，
联立，消去并整理得，此时，
由韦达定理得，因为的面积为，
所以，
整理得，解得，所以直线的斜率.
21.解：（1）当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以，又，
所以，解得，；
（2）证明：由（1）得，，
当时，，
.
综上，知.
22解：（1）因为，双曲线的渐近线过，联立，
解得，
所以双曲线；
因为抛物线过，所以，
所以抛物线；
（2）（i）因为在不同支，所以直线的斜率存在，设直线方程为，
联立，消去，整理得，
所以，
设，联立可得，
因为，所以，
代入直线方程及韦达定理整理可得，，
化简整理得，
因为不在直线上，所以，所以，
所以直线的方程为，
所以直线恒过定点；
（ii）因为为定点，且为直角，
所以在以为直径的圆上，的中点即为圆心，半径为定值，故存在点，使得为定值.