吉林省长春市吉大附中实验学校2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题

这是一份吉林省长春市吉大附中实验学校2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题，共18页。试卷主要包含了 我国著名数学家华罗庚曾说， 下列各式错误的是， 下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 试卷满分：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸试题卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、单项选择题（本大题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解指数不等式化简集合A，再利用交集的定义求解即得.
【详解】解不等式，得，即，
所以.
故选：D
2. “”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊值、不等式的性质，以及充分、必要条件等知识确定正确答案.
【详解】令，满足，但不满足；
当时，，即，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由零点存在定理，代入计算，即可判断.
【详解】函数是定义域上的增函数，又，，所以，
所以函数的零点所在区间为.
故选：B.
4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指对数函数的性质判断大小关系即可.
【详解】由，则，而，
所以.
故选：C
5. 函数的单调递增区间是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先考虑对数的真数取值大于；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间.
【详解】由可得或
∵在单调递增，而是增函数，
由复合函数的同增异减的法则可得，函数的单调递增区间是，
故选D.
【点睛】复合函数单调性的判断方法：同增异减.（同：内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数；异：内外层函数单调性不同时，整个函数为减函数）.
6. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数、反比例函数的性质以及分段函数的单调性得到关于的不等式组，解出即可．
【详解】若函数是R上的减函数，
则，
解得,
即实数a的取值范围是.
故选：B．
7. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.
【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，
又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，
故选：B.
8. 若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，判断其奇偶性，利用所构造函数的奇偶性的性质进行求解即可.
【详解】依题意，函数的定义域为R，
令，则，即为奇函数，
由于函数有最大值为M，最小值为N，则函数有最大值，最小值，
由奇函数的性质知，所以.
故选：B
二、多项选择题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列各式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案；
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，时显然等式不成立，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABC.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则有最小值2D. 若，则有最大值1
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用作差法可判断AB的正误，利用基本不等式可判断CD的正误.
【详解】对于A，，
因为，故，且不同时为零，故，
所以即，故A正确.
对于B，，而，故，故，
故B正确.
对于C，由基本不等式可得，
但等号成立时即时，因，故等号不成立，
故的最小值为2不正确，故C错误.
对于D，当时，，
当时，，当且仅当时等号成立，
故时，有最大值1，故D正确.
故选：ABD.
11. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数定义域，值域，则满足条件的有3个
C. 若函数，且，则实数m的值为
D. 函数的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A应用抽象函数定义域求法及分式性质求定义域；B根据值域求对应自变量，进而判断函数个数；C应用换元法、对勾函数性质求得且，进而求参数m；D应用分离常量法，结合区间单调性求值域.
【详解】A：由，则，即定义域为，
对于有，即定义域为，对；
B：令，可得，故定义域可为，共3个，对；
C：令，则，故，
当，，当且仅当等号成立；
当，，当且仅当等号成立；
所以，则，错；
D：在上递增，趋向正无穷时趋向，
所以函数值域为，对.
故选：ABD
12. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 函数的值域为
B. 方程有两个不等的实数解
C. 不等式的解集为
D. 关于的方程的解的个数可能为
【答案】ACD
【解析】
【分析】画出函数的图象，通过图象即可确定函数的值域求解A，根据与函数图象的交点个数即可求解B,根据时确定或，即可由或求解C，结合二次函数的性质即可求解D.
【详解】画出的图象，如下图所示：
令，解得或，
所以的图象与轴交于，
对于A，由图象可知，函数的值域为A对；
对于B，由图象可知，直线与函数图象有三个不同的交点，故方程有三个不等的实数解，B错；
对于C，由图象可知，当或时，，所以，由，可得或.
令，解得或；令，解得或，
由图象可知，不等式解集为C对；
对于D，令，则，则，
当时，，由图可知与的图象有两个交点，即方程解的个数为2个，
当时，即时，，则，
故，，
当时，则有两解，
当时，若，则有三解，若，则有两解，
故方程解的个数为4或5个，综上方程解的个数可能为个.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：函数零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知“，使得”是假命题，则实数的a取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题可得命题“∀x∈R，使”是真命题，再利用二次函数的性质即得．
【详解】∵“，使得”是假命题，
∴命题“∀x∈R，使”是真命题，
∴判别式，
∴.
故答案为：．
14. 已知函数，若，且，满足，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】由条件列关系式，结合对数函数性质化简可得结论.
【详解】因为，，，
所以，
又，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
15. 已知函数是幂函数，若，则实数的最大值是______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再根据幂函数的奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】解：因为函数是幂函数，
所以，解得，
所以，
因为，
所以函数是上的奇函数，
又函数在上递增，且在定义域内连续，
所以函数在上递增，
不等式，即为不等式，
所以，解得，
所以实数的最大值是6.
故答案为：6.
16. 记号表示中取较小的数，如，已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数t的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出解析式，然后画出的图象，再由对任意，都有，可得将的图象向右平移2个单位后，图象在的非下方，结合图象得，从而可求得结果.
【详解】因为函数是定义域为R的奇函数，所以，
当时，由，得，
所以，
因为是定义域为R的奇函数，
所以当时，，
当时，由，得，
当时，由，得，
所以的图象如下图，
因为对任意，都有，
所以将的图象向右平移2个单位后，图象在的非下方，
所以且，解得，且，即实数t的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，考查分段函数，考查不等式恒成立问题，解题的关键是根据题意求出函数析式，画出图象，结合函数图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知p：关于x方程有实数根，q：.
（1）若命题p是假命题，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由命题p是假命题，可得，从而可求出实数a的取值范围；
（2）根据题意可得，从而可求出实数m的取值范围.
【小问1详解】
因为命题p是假命题，所以对于方程无实根，
有，解得，
所以实数a的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）可知p：.
因为p是q的必要不充分条件，
所以，则，解得，
所以实数m的取值范围是.
18. 求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解；
（2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确化简、运算，即可求解.
【小问1详解】
解：根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：
.
【小问2详解】
解：由对数的运算法则和对数的运算性质，可得：
.
19. 已知关于x的不等式的解集为或（）.
（1）求a，b的值；
（2）当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：根据不等式解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，利用韦达定理求解；方法二：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，将1代入求解.
（2）易得，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解.
【小问1详解】
解：方法一：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
所以，解得
方法二：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
由1是的根，有，
将代入，
得或，
∴；
【小问2详解】
由（1）知，于是有，
故，
当且仅当时，等号成立，
依题意有，即，
得，
所以k的取值范围为.
20. 塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数.（参考数据：）
（1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的时，大约需要多少年？
（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的.要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？
【答案】（1）144年
（2）26年
【解析】
【分析】（1）由题意代入条件式运算得解；
（2）由题意得，可求出，然后解不等式可得结果.
【小问1详解】
由题可知，所以，
所以，
解得，所以残留量为初始量的，大约需要144年.
小问2详解】
根据题意当时，，，
，若残留量不超过初始量的，则，即
两边取常用对数，
解得，所以至少需要26年.
21. 设函数对任意都有，且当时，.
（1）求证：为奇函数；
（2）试问在时，函数是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由；
（3）解关于的不等式：.
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为，最大值为6；（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）令，求得，令即可证明；
（2）利用定义可判断在为减函数，即可求得最值；
（3）由题可将不等式化为，由函数单调性可得，讨论的范围即可求解.
【详解】（1）令，则，即，
令，则有，为奇函数；
（2）任取，则，则由题可得，
，
在为减函数，
有最小值为，有最大值为；
（3）由题意将不等式变形为，
即，
即，即，
有（2）可得在上为减函数，，
即，
①当时，由根与系数的关系知方程的两根为，
则，
若，则，则不等式的解集为；
若，则，则不等式的解集为；
若，则，则不等式的解集为；
若，则，则不等式的解集为；
②当时，则不等式的解集为.
【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数单调性的应用，考查含参一元二次不等式的求解，解题的关键是利用定义证明出函数的单调性，将不等式转化为求解.
22. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
【答案】(1)是“局部奇函数”，理由见解析；(2)；(3)
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）判断方程是否有解；（Ⅱ）在方程有解时，通过分离参数求取值范围；（Ⅲ）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布.
试题解析：为“局部奇函数”等价于关于的方程有解．
（Ⅰ）当时，
方程即有解，
所以为“局部奇函数”． 3分
（Ⅱ）当时，可化为，
因为的定义域为，所以方程在上有解． 5分
令，则．
设，则，
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，． 7分
所以时，．
所以，即． 9分
（Ⅲ）当时，可化为
．
设，则，
从而在有解即可保证为“局部奇函数”． 11分
令，
1° 当，在有解，
由，即，解得； 13分
2° 当时，在有解等价于
解得． 15分
（说明：也可转化为大根大于等于2求解）
综上，所求实数m的取值范围为． 16分
考点：函数的值域、方程解的存在性的判定.