广东省惠州市惠阳区华南师范大学附属惠阳学校2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题

这是一份广东省惠州市惠阳区华南师范大学附属惠阳学校2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D错误．
故选：A．
2. 若正六边形的半径长为6，则它的边长等于（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．
【详解】正六边形的中心角为，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的外接圆半径等于，则正六边形的边长是．
故选：．
【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键．
3. 抛物线的顶点坐标为（ ）更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根据抛物线的顶点式确定顶点坐标，对于二次函数，其顶点坐标为，熟记相关结论即可．
【详解】解：由题意得：该抛物线的顶点坐标为：，
故选：D
4. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（ ）
A. 8B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的求解，设点，表示出即可求解．
【详解】解：设点，
则，
∵的面积等于4，
∴
∴
故
故选：B
5. 已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数解析式得出，开口向上，对称轴为直线，再根据二次函数的增减性判断即可得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：二次函数，
，开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
，
，
，，，
，
，
故选：B．
6. 设方程的两个根为m，n，那么的值等于（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
【详解】解：方程的两个根为m，n，
，，
．
故选：D．
7. 如图，、切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，熟记相关结论即可求解．
【详解】解：由题意可知：是从点向引的两条切线，
是从点向引的两条切线，
是从点向引的两条切线，
∴
的周长
，
∵，
∴的周长是，
故选：D．
8. 已知的直径为10cm， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为（ ）．
A. 1B. 7C. 1或7D. 3或4
【答案】C
【解析】
【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，．
【详解】作于E，延长交于F，连接、，如图

∵，
∴
∴
在中，
在中，
当点O在与之间时，如图1，
当点O不在与之间时，如图2，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．
9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，将该正方形绕着点A顺时针旋转得到正方形，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，坐标与图形，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是：过作轴，垂足为D，根据旋转的性质得到，，判断出是等腰直角三角形，可求出，即可得到坐标．
【详解】解：如图，过作轴，垂足为D，
∵将该正方形绕着点A顺时针旋转，
∴，，
又，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴边长，则，
∴，
∴，即，
故选D．
10. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等可判断②正确；由图知时二次函数有最小值，可判断③错误：由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图象可判断④正确．
【详解】解：①∵抛物线的开口向上，
∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，
由得，
，故①正确；
②由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等，
由图知时，，
∴时，，
即．故②正确；
③由图知时二次函数有最小值，
，
，
故③错误．
④由抛物线的对称轴为可得，
，
∴，
当时，．
由图知时，
，故④正确．
综上所述：正确的是①②④．
故选：B．
二、填空题（本题共6题，每小题3分，共18分）
11. 从甲、乙、丙三位志愿者中随机选出一位去敬老院献爱心，则选中甲的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，从甲、乙、丙三位志愿者中随机选出一位去敬老院献爱心，共有3种结果，其中选中甲有1种结果，由此即可得出答案，熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比是解此题的关键．
【详解】解：从甲、乙、丙三位志愿者中随机选出一位去敬老院献爱心，则选中甲的概率为，
故答案为：．
12. 已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，该圆锥的侧面展开图的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式是解题的关键，根据圆锥的侧面积公式：，即可得圆锥的侧面展开图的面积．
【详解】解：∵圆锥的侧面展开图的扇形，
∴，
∴该圆锥的侧面展开图的面积为，
故答案为：．
13. 已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的取值范围是____________．

【答案】
【解析】
【分析】根据图象中的数据得到当横坐标时的纵坐标范围即可．
【详解】解：由图象可知，
当时，函数值的取值范围，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
14. 如图，中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为 __．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
详解】解：如图所示，连接，过点作于，
中，，，，
，，
，
等边三角形，，
，
，
，，
，
∴,
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15. 如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧.点表示筒车的一个盛水桶.当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心（在水面上方）为圆心的圆，且圆的半径为5米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆被水面截得的弦长为__________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆中求弦长，涉及垂径定理、勾股定理、解方程等知识，由题中图形，结合垂径定理可知垂直平分弦，在直角三角形中利用勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握圆中求线段长方法：垂径定理构造直角三角形，勾股定理求线段长是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
由题意可知垂直平分弦，则，，
圆的半径为5米，则；由盛水桶在水面以下的最大深度为2米，得，
在中，，，则由勾股定理可得，
这个圆被水面截得的弦长为米，
故答案为：．
16. 如图，点的坐标为，点的坐标为，点、点关于原点对称，点是平面上一点，且满足，则线段的最小值为______ ．

【答案】
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，作出以为直径作，连接与交于点，此时的值最小，再根据点的坐标求出的长即可解答．
【详解】解：如图，以为直径作，连接与交于点，过点作轴于点，
此时满足，的值最小，
∵点的坐标是，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，准确找到点的位置是解题的关键．
三、解答题（一）（本题共2题，每题4分，共8分）
17. 如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地．现准备在其中建一小亭供人们休息，要求小亭中心P到三条马路的距离相等，请确定小亭中心P的位置．（尺规作图：不写作法，要求保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了应用设计与作图，熟练利用角平分线的性质得出是解题关键．利用角平分线的作法，得出两三角形内角平分线即可得其交点P．
【详解】解：如图所示：P点即为所求．
18. 如图，是的两条弦，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据，可得，即可求证．
【详解】证明：，
．
，
．
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
四、解答题（二）（本题共2题，每题6分，共12分）
19. 如图，反比例函数的图象经过点和点．
（1）求该反比例函数的解析式和a的值．
（2）若点A先向左平移个单位长度，再向下平移m个单位长度得到点，点仍落在该反比例函数的图象上，如图所示，求m的值．
【答案】（1），．
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和点的平移变化．主要利用求的值，要注意的取值范围．
（1）待定系数法求反比例函数解析式，代入点，求；
（2）将点平移后所得点的坐标代入函数解析式求．
小问1详解】
将点代入，得：
，
反比例函数解析式为：，
把点代入得：，
．
【小问2详解】
将点先向左平移个单位，再向下平移个单位后得点：，
把点代入，得：，
解得：（舍，或．
．
20. 如图，为等腰三角形，，O是的中点，与相切于点D，求证：是的切线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质等知识．连接，过点O作于E点，证明即可．
【详解】证明：连接，过点O作于E点，
则．
∵切于D，
∴，
∴，
∴．
又∵O是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即是的半径，
∴与相切．
五、解答题（三）（本题共1题，每题8分，共8分）
21. 如图，，经过点的直线与相切于点B，与y轴相交于点C．
（1）求的长；
（2）把直线看成一次函数图象，求一次函数解析式．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与切线的性质．
（1）运用切线的性质，借助勾股定理即可求出的长度；
（2）首先相似三角形的判定和性质求出的长度，进而运用勾股定理求出的长度，借助待定系数法即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图，连接；
∵直线与相切于点B，
∴；
∵点，
∴，，
由勾股定理得：
；
【小问2详解】
解：∵是直角的斜边上的高，
∴，
∴，则，
∴；
由勾股定理得：
，
∴点的坐标为，
将两点的坐标代入得：
，
解得：，，
∴一次函数解析式为．
六、解答题（四）（本题共2题，每题10分，共20分）
22. 某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的将好情况：学校随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查，并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图：
（1）参加问卷调查的学生人数是 人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为 ．
（2）估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？
（3）现从喜好编导表演的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档彩排双人相声，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？
【答案】（1）240；36°
（2）300人 （3）
【解析】
【分析】（1）由统计图信息，知“B”对应的人数及占比即可求得参加问卷调查学生的总人数，进而由“D”对应的人数可算得其对应扇形的圆心角大小．
（2）算得“C”对应的抽样调查中的占比，进而可估算总体中其对应的人数．
（3）画出树状图或列出表格，由概率公式计算即可求得答案．
【小问1详解】
解：由条形统计图和扇形统计图可知参加问卷调查的学生人数是84÷35%=240人；
“D”对应的人数为24人，对应扇形的圆心角大小为．
【小问2详解】
解：最喜欢D活动的人数占总调查人数：，
∴最喜欢C活动的人数占总调查人数：1-35%-25%-10%=30%，
∴1000名学生中最喜欢C活动的人数约有：人．
【小问3详解】
树状图如下：
恰好选到甲和丁同学有2种情况，总的情况有12种，
∴恰好选到甲和丁同学的概率为．
【点睛】本题考查统计与概率，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点分别从点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为ts．

（1） ， （用t的代数式表示）
（2）经过多长时间，面积等于？
（3）当移动时间 s时，四边形的面积最小？
【答案】（1），
（2）经过或时，的面积等于；
（3）3
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程以及二次函数的应用．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）的面积等于，根据数量关系，列方程即可求解；
（3）计算出关于的二次函数，利用二次函数的性质求得的最大值，此时四边形的面积最小．
【小问1详解】
解：点的速度是，点的速度是，点分别从点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，，，，
∴点从点到点的时间为秒，点从点到点的时间为秒，
设点运动的时间为，
∴，，则，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
即，
解方程得，，，
∴经过或时，的面积等于；
【小问3详解】
解：要使四边形的面积最小，即的面积要最大，
由（2）得
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为9，
∴当时，四边形的面积最小．
故答案为：3．
七、解答题（五）（本题共2题，每题12分，共24分）、
24. 2023年10月18日，成都嘉祥外国语学校第二十一届秋季运动会拉开帷幕，本次运动会以“青春展风采，运动向未来”为主题，作为本次运动会吉祥物“嘉乐宝”深受大家的喜爱，嘉祥文创店准备生产并售卖印有“嘉乐宝”T恤，经统计平均每天可售出30件，每件盈利50元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元．
（1）若每件商品降价3元，平均每天的销售量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？
（3）店主每天能获得2200元的利润吗？为什么，请说明理由．
【答案】（1）36 （2）当每件商品降价15元或20元时，该商品每天销售利润为2100元；
（3）店主不能获得每天2200元的利润，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）由题意列式计算即可；
（2）设每件商品降价元时，根据该商店每天销售利润为2100元，列出一元二次方程，解方程即可；
（3）设每件商品降价元时，根据该商店每天销售利润为2200元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论．
【小问1详解】
若每件商品降价3元，则平均每天可多售出（件，
平均每天销售量为件）；
故答案为：36；
【小问2详解】
设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为2100元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：当每件商品降价15元或20元时，该商品每天销售利润为2100元；
【小问3详解】
店主不能获得每天2200元的利润．，理由如下：
设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为2200元，
由题意得：，
整理得：，
，
此方程无实数根，
店主不能获得每天2200元的利润．
25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点，点，抛物线与y轴交于点，点D为抛物线顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是下方异于点D的抛物线上一动点，若，求此时点P的坐标；
（3）点Q是抛物线上一动点，是否存在以点B、C、Q为顶点的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）的坐标为
（3），，，
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）在轴上取点，使，过点作的平行线交抛物线于点，则点为所求点，进而求解；
（3）设，分别求出，，，分三种情况讨论：①当时，；②当时，或；③时，．
【小问1详解】
由题意得：，
解得，
故抛物线的表达式为；
【小问2详解】
在轴上取点，使，过点作的平行线交抛物线于点，则点为所求点，
理由：点、和直线的间隔相同，则到的距离相同，故，
设直线的表达式为，
则，
解得，
故直线的表达式为，
，
故设的表达式为，
将点的坐标代入上式并解得，
故直线的表达式为，
联立
解得
（不合题意的值舍去），
故点的坐标为；
【小问3详解】
当时，如图2，
，直线解析式为，
设的解析式为：，
把点代入，解得，，
直线，
联立，
解得：或（舍去），
此时，
此时，，
当时，如图3
因为，
所以设直线的解析式为：，
把点代入，解得，，
直线的解析式为：，
联立，
解得：，或（舍去），
此时，
所以此时，，
当时，由图象可知，不存在．
综上所述，为直角三角形时，点的坐标为：，，，．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．