2024安徽省部分地区大联考高一上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024安徽省部分地区大联考高一上学期12月月考试题数学含解析，共23页。
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，函数是奇函数”的否定是（ ）
A. ，函数是偶函数
B. ，函数不是奇函数
C. ，函数是偶函数
D. ，函数不是奇函数
3. 给出函数，如下表，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数是定义域为的偶函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示：
若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（ ）
A. 4，0.7B. 5，0.7C. 4，0.65D. 5，0.65
6. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和，若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，，，，设，则关于的方程的实根个数最小值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 某网约车平台对乘客实行出行费用优惠活动：
（1）若原始费用不超过10元，则无优惠；
（2）若原始费用超过10元但不超过20元，给予减免2元的优惠；
（3）若原始费用超过20元但不超过50元，其中20元的部分按第（2）条给予优惠，超过20元的部分给予9折优惠；
（4）若原始费用超过50元，其中50元的部分按第（2）（3）条给予优惠，超过50元的部分给予8折优惠．
某人使用该网约车平台出行，则下列说法正确是（ ）
A. 若原始费用为12.8元，则优惠后的费用为10.8元
B. 若优惠后的费用为27.9元，则原始费用为31元
C. 若优惠后的费用为47.8元，则优惠额为5.9元
D. 优惠后的费用关于原始费用的函数是增函数
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小值为2B. ，
C. D.
11. 若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数．下列命题正确的是（ ）
A. “学步”函数
B. （为非零常数）为“学步”函数充要条件是
C. 若是的“学步”函数，且时，，则时，
D. 若是的“学步”函数，则在上至少有1012个零点
12. 已知，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域是_______________.
14. 已知函数的图象不是一条直线，且满足，写出一个满足条件的的解析式：______．
15. 已知函数奇函数，则______．
16. 在平面直角坐标系中，已知原点，，，若点是围成的区域内（包括边界）的一点，则的最大值为______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设集合，，求，．
18. 解关于的一元二次不等式．（结果用集合表示）
19. 已知正数满足．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，用分別表示，．
20. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．了解人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T．R． Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中表示经过的年数，表示时的人口数，表示人口的年自然增长率．为了方便计算，常把人口增长模型中的近似为．已知某地区在2022年末的人口总数约为500万，记，试用马尔萨斯人口增长模型的近似模型解决以下问题．
（1）若该地区人口年自然增长率约为1.16%，则大约经过多少年，该地区人口总数将达到600万？（结果精确到整数）
（2）要使该地区人口总数在2042年末不超过600万，则人口的年自然增长率不能大于多少？
参考数据：，，．
21. 已知函数（，），函数，若函数（）的图象与函数，的图象交点为，，且，判断与的大小关系并证明．
22. 设为实数，函数.
（1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值.1
2
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1
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0.5
0.75
0.625
0.5625
06875
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0.671875
1
0.1719
0.01245
绝密★启用前
安徽省2023—2024学年（上）高一冬季阶段性检测
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的补集运算得到，把转化为，最后利用包含关系得到答案.
【详解】因为，，
因为，所以，
所以，
故选：A.
2. 命题“，函数是奇函数”的否定是（ ）
A. ，函数是偶函数
B. ，函数不是奇函数
C. ，函数是偶函数
D. ，函数不是奇函数
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.
【详解】命题“，函数是奇函数”的否定是：
，函数不是奇函数.
故选：B
3. 给出函数，如下表，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别取，求出的值，从而得到答案.
【详解】当时， ，，
当时， ，，
当时， ，，
当时， ，，
当时， ，，
当时， ，，
的值域为，
故选：D.
4. 已知函数是定义域为的偶函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用函数的单调性和函数的值的关系，利用充分条件和必要条件的应用求出结果．
【详解】由题意，函数的定义域为的偶函数，当“”时，
根据偶函数，，“在不一定单调递增”；
当“在上单调递增”时，有，
故“”是“在上单调递增”的必要不充分条件．
故选：B．
5. 已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示：
若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（ ）
A. 4，0.7B. 5，0.7C. 4，0.65D. 5，0.65
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果
【详解】由题意可知，对区间内，设零点为，
因，，，所以，精确度为，
又，，，精确度为，
又，，，精确度为
又，，，精确度为，
需要求解的值，
然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次.
故选：C
6. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】对B选项，根据确定，二次函数开口向下，不满足，其他选项满足类幂函数和二次函数性质，得到答案.
【详解】，当时，二次函数对称轴为，
对选项A：根据确定，二次函数开口向下，对称轴在轴右边，满足；
对选项B：根据确定，二次函数开口向下，不满足；
对选项C：根据确定，二次函数开口向上，对称轴在轴左边，满足；
对选项D：取，则，，满足图像；
故选：B
7. 已知函数可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和，若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定和，相加得到，确定函数的单调区间，变换得到，设，得到，根据函数的单调性计算最值得到答案.
【详解】，
，
两式相加得到，
当时，，函数单调递增，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
，即，即，
即，
设，当且仅当时等号成立，故，
，在上单调递增，故，
则，解得.
故选：D
8. 已知函数，，，，设，则关于的方程的实根个数最小值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意写出函数的解析式并画出图象，利用换元法设，解关于的方程；然后根据方程根的个数转化为函数图象交点的个数，结合图象确定实根的个数.
【详解】由题意可知，，图象如图所示：
设，由得，解得或，
即或，
当时，由图可知有两个实根，
当时，
当时，没有实根，当时，有一个实根，当时，有两个实根，
综上，有两个实根或三个实根或四个实根，
所以实根个数的最小值为2.
故选：.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 某网约车平台对乘客实行出行费用优惠活动：
（1）若原始费用不超过10元，则无优惠；
（2）若原始费用超过10元但不超过20元，给予减免2元的优惠；
（3）若原始费用超过20元但不超过50元，其中20元的部分按第（2）条给予优惠，超过20元的部分给予9折优惠；
（4）若原始费用超过50元，其中50元的部分按第（2）（3）条给予优惠，超过50元的部分给予8折优惠．
某人使用该网约车平台出行，则下列说法正确的是（ ）
A. 若原始费用为12.8元，则优惠后的费用为10.8元
B. 若优惠后的费用为27.9元，则原始费用为31元
C. 若优惠后的费用为47.8元，则优惠额为5.9元
D. 优惠后的费用关于原始费用的函数是增函数
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意得到优惠后的费用和原始费用的函数关系式，逐选项判断即可.
【详解】根据题意，设原始费用为元，优惠后的费用为元，
则，
即，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
对于A，若原始费用为12.8元，按第（2）条优惠，优惠后的费用为元，故A准确；
对于B，若优惠后的费用为27.9元，符合第（3）条优惠，则，
所以原始费用为31元，，故B正确；
对于C，若优惠后的费用为47.8元，符合第（4）条优惠，则，，
则优惠额为元，故C错误；
对于D，当时，，当时，，
例，当时，，当时，，所以原始费用和优惠后的费用不是增函数，故D错误，
故选：AB.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小值为2B. ，
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】确定在上单调递减，在上单调递增，函数关于对称，计算最值得到A正确，，B错误，，C正确，，D错误，得到答案.
【详解】，在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，
，函数关于对称，
对选项A：的最小值为，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，故，，正确；
对选项D：，故，错误；
故选：AC.
11. 若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数．下列命题正确的是（ ）
A. 是“学步”函数
B. （为非零常数）为“学步”函数的充要条件是
C. 若是的“学步”函数，且时，，则时，
D. 若是的“学步”函数，则在上至少有1012个零点
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，得到，不存在，符合题意；B选项，得到，从而得到充要条件是；C选项，化简得到，，借助时，求解；D选项，赋值法结合零点存在性定理得到在区间上均至少有一个零点，得到在上至少有1012个零点.
【详解】对于A，是定义在R上的连续函数，且，
不存在，使得，故A错误；
对于B，函数（为非零常数）是定义在R上的连续函数，且，
当时，对于任意的实数x恒成立，
若对任意实数x恒成立，则，解得：，
故函数（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是，故B正确；
对于C，若是的“学步”函数，则，即，
因为时，，
当，，，
又因为，即，即，
所以，故C正确；
对于D，由题意得：，
令得：，所以与异号，即，
由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，
同理可得：在区间上均至少有一个零点，
所以在上至少有1012个零点，故D正确.
故选：BCD.
12. 已知，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】确定，，A正确，得到，B错误，确定，C正确，，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，，，正确；
对选项B：，，故，错误；
对选项C：，故，故，正确；
对选项D：，故，正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】列出需满足的不等式，再取交集即为函数定义域.
【详解】由题意，，解得且，
所以的定义域为，
故答案为：
14. 已知函数的图象不是一条直线，且满足，写出一个满足条件的的解析式：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】取，计算得到答案.
【详解】取，
则，，
则，则.
故答案为：.
15. 已知函数为奇函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称确定，再利用奇函数的定义得到，进而得到答案.
【详解】定义域为且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
所以，
所以，
所以，
即，解得，
所以.
故答案为：.
16. 在平面直角坐标系中，已知原点，，，若点是围成的区域内（包括边界）的一点，则的最大值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】由已知找到点横纵坐标满足的条件，再基于基本不等式求得最值.
【详解】因为点是围成的区域内（包括边界）的一点，由图可知，

点在直线AB的下侧阴影部分区域，此时，
因，由题可知在上时，即时，取得最大值，
故，当且仅当时取等号，
故的最大值为，
故答案为：
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设集合，，求，．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】当时，，当时，，，考虑，，，，且，且时四种情况，求交集并集得到答案.
【详解】，
当时，，当时，，
，
①当时，，；
②当时，，；
③当时，，；
④当，且，且时，，．
18. 解关于的一元二次不等式．（结果用集合表示）
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】对进行合理地分类讨论即可.
【详解】由已知，可得，
（1）当时，方程有两实根，
不等式解集为．
（2）当时，方程的根的判别式．
①当时，，所求不等式的解集为；
②当时，，所求不等式解集为；
③当时，，所求不等式的解集为或．
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为或．
当时，解集为；
时，解集为.
19. 已知正数满足．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，用分別表示，．
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用基本（均值）不等式求解；
（2）分和两种情况讨论.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的取值范围为.
【小问2详解】
因为，所以，
当时，由指数函数的单调性可知：，所以，
当时，由指数函数的单调性可知：，所以，
又，所以，
又，
所以.
20. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．了解人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T．R． Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中表示经过的年数，表示时的人口数，表示人口的年自然增长率．为了方便计算，常把人口增长模型中的近似为．已知某地区在2022年末的人口总数约为500万，记，试用马尔萨斯人口增长模型的近似模型解决以下问题．
（1）若该地区人口年自然增长率约为1.16%，则大约经过多少年，该地区人口总数将达到600万？（结果精确到整数）
（2）要使该地区人口总数在2042年末不超过600万，则人口的年自然增长率不能大于多少？
参考数据：，，．
【答案】（1）16年 （2）0.91%
【解析】
【分析】（1）由马尔萨斯人口增长模型的近似模型为代入数据计算得出；
（2）代入，，，得代入数值算出增长率.
【小问1详解】
马尔萨斯人口增长模型的近似模型为．
代入，，，得，
，由参考数据得，，
所以，，，
所以大约经过16年，该地区人口总数将达到600万．
【小问2详解】
代入，，，得，
，，，
由参考数据，得，
所以，，
所以要使该地区人口总数在2042年末不超过600万，则人口的年自然增长率不能大于0.91%
21. 已知函数（，），函数，若函数（）的图象与函数，的图象交点为，，且，判断与的大小关系并证明．
【答案】，证明见解析
【解析】
【分析】根据函数单调性的定义和判定方法，求得函数的单调区间，在同一平面直角坐标系中画出函数，，的大致图象，得到（）的图象与函数，的图象交点为，结合图象，得到，即可求解．
【详解】由函数，任取，且
则，
当时，，，，
所以，即函数（）在上单调递增，
同理可得，函数（）在上单调递喊．
又由，当时，，
所以在同一平面直角坐标系中画出函数，，的大致图象，
如图所示，函数（）的图象与函数，的图象交点为，，且，则，得，
即，
因为，故，，
所以，所以．
22. 设为实数，函数.
（1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据和分类讨论，利用奇偶函数的定义判断即可；
（2）根据和分类讨论，讨论对称轴与区间的位置关系，利用二次函数的性质求解最值即可.
【小问1详解】
当时，，定义域为R，且，此时是偶函数；
当时，因为，所以不是奇函数，
又，，由，得不是偶函数，
所以当时，既不是奇函数也不是偶函数.
【小问2详解】
①当时，，
当即时，在上单调递减，
此时在上的最小值为；
当即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时在上的最小值为.
②当时，，
当即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时在上的最小值为，
且，即；
当即时，函数在上单调递增，此时.
综上，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为1.1
2
3
4
5
6
4
3
2
1
6
5
1
1
3
3
5
5
0
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6875
0.65625
0.671875
1
0.1719
0.01245