浙江省杭州市萧山区2022-2023学年九年级上学期数学期中试卷

这是一份浙江省杭州市萧山区2022-2023学年九年级上学期数学期中试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．若 ba = 32 ，则 a+bb 的值等于（ ）
A．12B．52C．53D．54
2．若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（-2，-1），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（2，-1）B．（2，1）C．（-1，-2）D．（-2，1）
3．已知⊙O的半径为5 ， 若OP=5.5， 则点P在（ ）
A．圆内B．圆上C．圆外D．无法判断
4．抛物线y＝-2（x+1）2-2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，-2）C．（-1，2）D．（-1，-2）
5．在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（ ）
A．120°B．75°C．60°D．30°
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若DE∥BC，ADAB=25，AE＝6cm，则AC的长为（ ）
A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm
7．已知抛物线y＝a（x-1）2+h（a＞0）上有两点P1（-1，y1），P2（t，y2），当t≥3时，y1与y2大小关系为（ ）
A．y1＜y2B．y1≤y2C．y1＞y2D．y1≥y2
8．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．14B．4C．23D．5
9．抛物线y＝-x2+bx+3的对称轴为直线x＝-1，若关于x的一元二次方程-x2+bx+3-t＝0（t为实数）在-2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．-12＜t≤3B．-12＜t＜4C．-12＜t≤4D．-12＜t＜3
10．如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则EDAE的值是（ ）
A．23B．3C．32D．33
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在题中的横线上）
11．若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB=2，则AP= ．（保留根号）
12．二次函数y＝-2x2+3x+4的图象与y轴的交点坐标是 .
13．在平面直角坐标系中，把点P（1，-2）绕原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点Q的坐标为 .
14．如图，AD、CE是△ABC的中线，若△CDG的面积是1，则△ABC的面积为 ．
15．设二次函数y1＝-mx2+nx-1，y2＝-x2-nx-m（m，n是实数，m≠0）的最大值分别是p，q，若p+q＝0，则p＝ ，q＝ .
16．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝12∠EDC，则BF＝ .
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知线段a，b，c满足a：b：c＝2：3：4，且a+b-c＝3．
（1）求线段a，b，c的长．
（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
18．已知抛物线y＝-x2+2x+2．
（1）写出它的对称轴和顶点坐标；
（2）若P（m，n）为该函数图象上的一点，若-1≤m≤2，求n的取值范围．
19．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8.
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长.
20．某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元．
（1）当x＝10时，求销售该水果的总利润；
（2）设每天销售该水果的总利润为w元．①求w与x之间的函数解析式；
②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值．
21．如图，在△ABC中，CD是角平分线，DE平分∠CDB交BC于点E，且DE∥AC.
（1）求证：CD2＝CA•CE.
（2）若ADBD=43，且AC＝14，求AD的长.
22．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝mx2-6mx+8m（m为常数）．
（1）若函数y1经过点（1，3），求函数y1的表达式；
（2）若m＜0，当x＜a2时，此二次函数y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）已知一次函数y2＝x-2，当y1•y2＞0时，求x的取值范围．
23．如图1，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E为AD上一点，CE与BD交于点F．
（1）若AE＝CE，BD⊥CE，①求∠DEC的度数．②如图2，连接AF，当BC＝3时，求AF的值．
（2）设DEAD=k（0＜k＜1），记△CBF的面积为S1，四边形ABFE的面积为S2，求S2S1的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：设b=3x，则a=2x，
所以 a+bb = 2x+3x3x = 53 ．
故答案为：C．
【分析】由b和a的比例，可以设b=3x，则a=2x，根据代数式，代入a和b，即可得到答案。
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，
∴点（-2，-1）关于对称轴的对称点为（2，-1），
∴点（2，-1）必在该图象上，
故答案为：A.
【分析】由二次函数的解析式可得对称轴为y轴，求出点（-2，-1）关于y轴的对称点，据此判断.
3．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5 ，OP=5.5，
∵5.5>5
∴点P在⊙O外，
故答案为：C．
【分析】设圆的半径为r，圆心到点的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵y＝-2（x+1）2-2，
∴抛物线顶点坐标为（-1，-2），
故答案为：D.
【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
即弦AB所对应的圆心角的度数为60°.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB，由题意可得AB=OA=OB，推出△OAB为等边三角形，得到∠AOB＝60°，据此解答.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，ADAB=25，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC＝ADAB=25，
∵AE＝6cm，
∴AC＝52AE＝52×6＝15（cm），
∴AC的长为15cm.
故答案为：C.
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝a（x-1）2+h（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵抛物线y＝a（x-1）2+h（a＞0）上有两点P1（-1，y1），P2（t，y2），
∴点P1（-1，y1）关于直线x＝1的对称点（3，y1）也在抛物线y＝a（x-1）2+h（a＞0）上，
∵t≥3，
∴y1≤y2，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的解析式可得开口向上，对称轴为直线x＝1，则当x＞1时，y随x的增大而增大，据此进行比较.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，
则AC=BC=12AB，OA=7，
∵PA＝4，PB＝6，
∴AB=PA+PB=4+6=10，
∴AC=BC=12AB=5，
∴PC=AC−PA=5−4=1，
在RtΔAOC中，OC=OA2−AC2=72−52=26，
在RtΔPOC中，OP=OC2+PC2=(26)2+12=5，
故答案为：D
【分析】先利用垂径定理和线段的和差求出PC=AC−PA=5−4=1，再利用勾股定理求出OP的长即可。
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝-x2+bx+3的对称轴为直线x＝-1，
∴b＝-2，
∴y＝-x2-2x+3，
∴一元二次方程-x2+bx+3-t＝0的实数根可以看作y＝-x2-2x+3与函数y＝t的图象有交点，
∵方程在-2＜x＜3的范围内有实数根，
当x＝-2时，y＝3；
当x＝3时，y＝-12；
函数y＝-x2-2x+3在x＝-1时有最大值4；
∴-12＜t≤4.
故答案为：C.
【分析】根据对称轴为直线x=-1可得b的值，表示出抛物线的解析式，一元二次方程-x2+bx+3-t＝0的实数根可以看作y＝-x2-2x+3与函数y＝t的图象有交点，求出x=-2、3以及函数在-2＜x＜3上的最大值，据此可得t的范围.
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵∠ADC＝105°，
∴∠DAB＝75°，
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝75°，
∴∠BDA＝30°，
∴BD＝2BH＝AD，DH＝3BH，
∴AH＝2BH-3BH，
∵∠EBA＝60°，
∴∠BEA＝180°-∠DAB-∠ABE＝45°，
∴∠EBH＝45°＝∠BEH，
∴BH＝EH，
∴DE＝3BH-BH，AE＝3BH-3BH，
∴EDAE＝33
故答案为：D.
【分析】过点B作BH⊥AD于H，根据平行四边形的性质可得∠ADC+∠DAB＝180°，结合∠ADC的度数可得∠DAB的度数，由等腰三角形的性质可得∠DAB＝∠DBA＝75°，结合内角和定理可得∠BDA＝30°，则BD＝2BH＝AD，DH＝3BH，AH＝2BH-3BH，易得△BEH为等腰直角三角形，则BH＝EH，DE＝3BH-BH，AE＝3BH-3BH，据此求解.
11．【答案】5 ﹣1
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP= 5−12 AB= 5−12 ×2= 5 ﹣1．
故答案为 5 ﹣1．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP= 5−12 AB，代入数据即可得出AP的长．
12．【答案】（0，4）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：将x＝0代y＝-2x2+3x+4得y＝4，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，4），
故答案为：（0，4）.
【分析】令x=0，求出y的值，可得二次函数图象与y轴的交点坐标.
13．【答案】（-2，-1）
【知识点】坐标与图形性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P（1，-2），
∴PQ＝1，OQ＝2，
∵点P（1，-2）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝1，OQ′＝OQ＝2，
∴点P′的坐标为：（-2，-1）.
故答案为：（-2，-1）.
【分析】作PQ⊥y轴于Q，由点P的坐标可得PQ＝1，OQ＝2，由旋转的性质可得∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝1，OQ′＝OQ＝2，据此不难得到点P′的坐标.
14．【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵AD、CE是△ABC的中线，
∴AG=2DG，S△ACD=12S△ABC，
∴DG=13AD，
∴S△CDG=13S△ACD=16S△ABC，
∵S△CDG=1，
∴S△ABC=6S△CDG=6.
故答案为：6.
【分析】先利用中线的性质可得BC=2CD，AD=3DG，再通过三角形面积公式可得S△ACD=12S△ABC，S△CDG=13S△ACD，进而得到S△CDG=16S△ABC，从而求得△ABC的面积.
15．【答案】0；0
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由两函数表达式可知，
函数y1的对称轴 为x＝-n−2m=n2m，
函数y2的对称轴为x＝-−n2=n2，且两函数图象均开口向下，
即a