+吉林省长春市汽开区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份+吉林省长春市汽开区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2sin45°的值为（ ）
A．B．1C．D．
2．（3分）将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣7
C．y＝（x+3）2﹣7D．y＝（x﹣6）2+2
3．（3分）若点A在二次函数y＝（x﹣5）2﹣4图象的对称轴上，则点A的坐标可能是（ ）
A．（﹣5，0）B．（5，0）C．（0，4）D．（0，﹣4）
4．（3分）某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室．已知2021年该学校用于购买图书的费用为10000元，2023年用于购买图书的费用增加到14400元．设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．10000（1+x）2＝14400B．10000（1+2x）＝14400
C．10000（1+x）•2＝14400D．10000（1+x2）＝14400
5．（3分）已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为6，则OA的长可能为（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．（3分）如图，某零件的外径为12cm，用一个交叉卡钳（AC＝BD），且量得CD＝5cm，则零件的厚度x为（ ）
A．2cmB．1.5cmC．1cmD．0.5cm
7．（3分）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子AB的长为10米，则墙的高度BC为（ ）
A．10cs41°米B．10sin41°米
C．米D．米
8．（3分）如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面．具体操作如下：作⊙O的任意一条直径FC，以点F为圆心、OF长为半径作圆；以点C为圆心、OC长为半径作圆，与⊙O相交于点D、B，得到两个扇形，并裁剪下来．若⊙O的半径为10cm（图中阴影部分图形）的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
10．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2+9的顶点坐标为 ．
11．（3分）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，则线段BC＝ cm．
12．（3分）如图，MN是⊙O的切线，M是切点，则∠MON的大小为 度．
13．（3分）如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝4 ．
14．（3分）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，其中小冬拿绳子的手的坐标是（0，1）．身高1.60米的小丽站在绳子的正下方，绳子刚好经过她的头顶．若身高1.75米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，则m的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）解方程：x2﹣4x+1＝0．
16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案均为成都第31届世界大学生夏季运动会会徽（卡片分别记为A1，A2，第三张卡片的正面图案为成都第31届世界大学生夏季运动会吉祥物“蓉宝”（卡片记为B），卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表），求两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”的概率．
17．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象经过点（﹣1，﹣4）、（1，6），求这个二次函数的表达式．
18．（7分）在汽开区中小学科技节会场上，一架无人机进行实时航拍．如图，无人机在空中A处的飞行高度为AC，已知BC＝70米，求此时无人机的飞行高度AC．（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin18°≈0.309，cs18°≈0.951，tan18°≈0.325】
19．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图
（1）在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结DE，使DE∥AC．
（2）在图②中△ABC的边AC上确定一点F，连结DF，使∠AFD＝∠C．
（3）在图③中△ABC的边AC上确定一点G，连结DG，使∠AGD＝∠B．
20．（7分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）延长ED交BA的延长线于点F．若∠F＝30°，AB＝8，则BE的长为 ．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（﹣1，0）和点，顶点为C．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）求顶点C的坐标．
（3）当时，直接写出x的取值范围．
22．（9分）【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：
点A为⊙O内一定点，点P为⊙O上一动点，确定点P的位置
【问题解决】以下是小华的方法：
如图①，连结AO并延长交⊙O于点P，点P为所求．
理由如下：在⊙O上取点P′（异于点P），连结AP′、OP′．
接下来只需证明AP＞AP′．
请你补全小华的证明过程．
【类比结论】点A为⊙O外一定点，点P为⊙O上一动点，设⊙O的半径为r，则线段AP长度的最大值为 ，线段AP长度的最小值为 ．（用含r、m的代数式表示）
【拓展延伸】如图②，在半圆O中，直径AB的长为10，AD＝6，点C在，连结AC，H是AC上一点，连结BH．在点C运动的过程中，线段BH长度的最小值为 ．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝10，点D为边AC的中点，沿折线AB﹣BC向点C运动，点P在AB上以每秒1个单位长度的速度运动个单位长度的速度运动，在点P运动过程中，将△APD沿PD翻折得到△A′PD．设点P的运动时间为t秒（0＜t＜10）．（1）求BC的长．
（2）用含t的代数式表示线段BP的长．
（3）当△A′PD与△ABC相似时，求t的值．
（4）当四边形APA′D为中心对称图形时，直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+n经过点A（4，﹣6）．点P是该抛物线上一点，其横坐标为m．以AP为对角线作矩形ABPC
（1）求抛物线所对应的函数表达式．
（2）当抛物线在矩形ABPC内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，m的取值范围为 ．
（3）设抛物线在矩形ABPC内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为h时，求h与m之间的函数关系式．
（4）设这条抛物线的顶点为D，△APD的面积为S．当S＝6时，直接写出m的值．
2023-2024学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）2sin45°的值为（ ）
A．B．1C．D．
【分析】根据特殊角的正弦值解决此题．
【解答】解：2sin45°＝2×＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的正弦值是解决本题的关键．
2．（3分）将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣7
C．y＝（x+3）2﹣7D．y＝（x﹣6）2+2
【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，判断即可．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5
＝x2﹣6x+4﹣9+2
＝（x﹣5）2﹣7，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
3．（3分）若点A在二次函数y＝（x﹣5）2﹣4图象的对称轴上，则点A的坐标可能是（ ）
A．（﹣5，0）B．（5，0）C．（0，4）D．（0，﹣4）
【分析】根据函数解析式可确定对称轴为x＝5，点A在对称轴上，因此A的横坐标为5，进而可得答案．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣5）2﹣3图象的对称轴为x＝5，
∵点A在二次函数y＝（x﹣5）7﹣4图象的对称轴上，
∴点A的横坐标为5，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是正确确定抛物线的对称轴．
4．（3分）某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室．已知2021年该学校用于购买图书的费用为10000元，2023年用于购买图书的费用增加到14400元．设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．10000（1+x）2＝14400B．10000（1+2x）＝14400
C．10000（1+x）•2＝14400D．10000（1+x2）＝14400
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程10000（1+x）2＝14400，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由题意可得，
10000（1+x）2＝14400．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
5．（3分）已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为6，则OA的长可能为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径6可对各选项进行判断．
【解答】解：∵点A是⊙O外一点，
∴OA＞6，
∴OA的长可能为8．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：若半径为r，点到圆心的距离为d，则有当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
6．（3分）如图，某零件的外径为12cm，用一个交叉卡钳（AC＝BD），且量得CD＝5cm，则零件的厚度x为（ ）
A．2cmB．1.5cmC．1cmD．0.5cm
【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答．
【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝2，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD＝2，
∴AB：2＝2，
∴AB＝10（cm），
∵外径为12cm，
∴10+2x＝12，
∴x＝7（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出x的长．
7．（3分）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子AB的长为10米，则墙的高度BC为（ ）
A．10cs41°米B．10sin41°米
C．米D．米
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝10米，
∵sin∠BAC＝，
∴BC＝AB•sin∠BAC＝10sin41°（米），
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．（3分）如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面．具体操作如下：作⊙O的任意一条直径FC，以点F为圆心、OF长为半径作圆；以点C为圆心、OC长为半径作圆，与⊙O相交于点D、B，得到两个扇形，并裁剪下来．若⊙O的半径为10cm（图中阴影部分图形）的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接EB，AD，将图中阴影部分面积拼补为扇形EDO与扇形AOB面积之和，进一步利用扇形的面积公式从而求出阴影部分的面积＝×2，即可求解．
【解答】解：连接EB，AD，
∵EF，AF的面积与弓形EO，弓形CD，OB的面积相等，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形EDO+S扇形ABO，
∵OE＝OD＝AO＝OB＝OF＝OC＝10cm，
∴△EDO、△AOB是正三角形，
∴阴影部分的面积＝×2＝2）．
故选：B．
【点评】本题考查扇形的面积；通过拼补将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 1 ．
【分析】根据根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝3有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣2×1×k＝0，
解得：k＝2．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
10．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2+9的顶点坐标为 （2，9） ．
【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣2）4+9，
∴该抛物线的顶点坐标为（2，5），
故答案为：（2，9）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以写出顶点坐标．
11．（3分）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，则线段BC＝ 6 cm．
【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得＝，代入计算即可解答．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴＝，
即，
∴BC＝6cm．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
12．（3分）如图，MN是⊙O的切线，M是切点，则∠MON的大小为 54 度．
【分析】根据切线的性质得到∠OMN＝90°，然后利用互余计算出∠MON的度数．
【解答】解：∵MN是⊙O的切线，M是切点，
∴OM⊥MN，
∴∠OMN＝90°，
∵∠N＝36°，
∴∠MON＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
13．（3分）如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝4 π ．
【分析】连接OQ，根据圆周角定理可得出∠QOB＝2∠P＝90°，根据弧长公式即可得出结论．
【解答】解：连接OQ，
∵∠P＝45°，
∴∠QOB＝2∠P＝90°，
∵AB＝4，
∴OB＝6，
∴弧BQ的长＝＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握弧长公式是解答此题的关键．
14．（3分）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，其中小冬拿绳子的手的坐标是（0，1）．身高1.60米的小丽站在绳子的正下方，绳子刚好经过她的头顶．若身高1.75米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，则m的取值范围为 1.5＜m＜2.5 ．
【分析】依据题意，设解析式为y＝a（x﹣2）2+k，再由小丽的坐标（1，1.6），且过（0，1），求出a，k，最后令y＝1.75时，求出x，进而表示出m的范围．
【解答】解：由题意，设解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
又由小丽的坐标（8，1.6），2），
∴a＝﹣，k＝．
∴解析式为y＝﹣（x﹣2）2+．
又令y＝1.75时，
∴x＝3.5或x＝1.8．
∴1.5＜m＜7.5．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键在于数值运算，为基础题．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）解方程：x2﹣4x+1＝0．
【分析】根据配方法可以解答此方程．
【解答】解：x2﹣4x+7＝0
x2﹣3x+4＝3
（x﹣8）2＝3
x﹣5＝
∴x1＝3+，x2＝5﹣；
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程的方法．
16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案均为成都第31届世界大学生夏季运动会会徽（卡片分别记为A1，A2，第三张卡片的正面图案为成都第31届世界大学生夏季运动会吉祥物“蓉宝”（卡片记为B），卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表），求两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”的概率．
【分析】用树状图表示所有等可能出现的结果，再由概率的定义进行解答即可．
【解答】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中两张卡片上的图案都是“蓉宝”的只有1种，
所以两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”的概率为．
【点评】本题考查列表法活树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
17．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象经过点（﹣1，﹣4）、（1，6），求这个二次函数的表达式．
【分析】把2个已知点的坐标分别代入y＝ax2+bx﹣2中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可．
【解答】解：把（﹣1，﹣4），7）分别代入数y＝ax2+bx﹣2得，
解得，
所以这个二次函数解析式为y＝7x2+5x﹣7．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
18．（7分）在汽开区中小学科技节会场上，一架无人机进行实时航拍．如图，无人机在空中A处的飞行高度为AC，已知BC＝70米，求此时无人机的飞行高度AC．（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin18°≈0.309，cs18°≈0.951，tan18°≈0.325】
【分析】根据正切的定义求出AC．
【解答】解：在Rt△ACB中，BC＝70米，
∵tanα＝，
∴AC＝BC•tanα＝70tan18°≈70×0.325≈22.8米），
答：无人机的飞行高度AC约为22.5．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图
（1）在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结DE，使DE∥AC．
（2）在图②中△ABC的边AC上确定一点F，连结DF，使∠AFD＝∠C．
（3）在图③中△ABC的边AC上确定一点G，连结DG，使∠AGD＝∠B．
【分析】（1）利用网格特征作出BC的中点E，连接DE即可；
（2）利用网格特征作出线段AC的中点F，连接DF即可；
（3）利用平行线分线段成比例定理作出线段AG＝，连接DG即可．
【解答】解：（1）如图1中，线段DE即为所求；
（2）如图2中，线段DF即为所求；
（3）如图5中，线段DG即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
20．（7分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）延长ED交BA的延长线于点F．若∠F＝30°，AB＝8，则BE的长为 6 ．
【分析】（1）连结OD，如图，先证明∠ODB＝∠EBD得到OD∥BE，再利用DE⊥BE得到DE⊥OD，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）根据含30度角的直角三角形三边的关系，先在Rt△ODF中计算出OF＝8，则BF＝12，然后在Rt△EFB中可计算出BE的长．
【解答】（1）证明：连结OD，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝8，
∴OA＝OB＝OD＝4，
∵OD⊥EF，
∴∠ODF＝90°，
在Rt△ODF中，
∵∠F＝30°，
∴OF＝2OD＝8，
∴BF＝OF+OB＝8+8＝12，
∵BE⊥EF，
∴∠E＝90°，
在Rt△EFB中，
∵∠F＝30°，
∴BE＝BF＝4．
故答案为：6．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（﹣1，0）和点，顶点为C．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）求顶点C的坐标．
（3）当时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x8+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（2，），
∴，
解得，
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+；
（2）∵y＝﹣x2+2x+＝﹣2+，
∴顶点C的坐标为（2，）；
（3）∵y＝时，x＝6或4，
根据图象得当y时，0≤x≤4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
22．（9分）【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：
点A为⊙O内一定点，点P为⊙O上一动点，确定点P的位置
【问题解决】以下是小华的方法：
如图①，连结AO并延长交⊙O于点P，点P为所求．
理由如下：在⊙O上取点P′（异于点P），连结AP′、OP′．
接下来只需证明AP＞AP′．
请你补全小华的证明过程．
【类比结论】点A为⊙O外一定点，点P为⊙O上一动点，设⊙O的半径为r，则线段AP长度的最大值为 m+r ，线段AP长度的最小值为 m﹣r ．（用含r、m的代数式表示）
【拓展延伸】如图②，在半圆O中，直径AB的长为10，AD＝6，点C在，连结AC，H是AC上一点，连结BH．在点C运动的过程中，线段BH长度的最小值为 ﹣3 ．
【分析】【问题解决】根据三角形三边关系求解即可；
【类比结论】结合【问题解决】求解即可；
【拓展延伸】取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小．
【解答】解：【问题解决】如图①，连结AO并延长交⊙O于点P．
理由如下：在⊙O上取点P′（异于点P），连结AP′．
在△AOP′AOP中，OA+OP′＞APAP′，
∵OP＝OP′，
∴OA+OP＞AP′，
即AP＞AP′；
【类比结论】如图，线段AO交⊙O于点P′，
由【问题解决】知，此时AP长度最大为OA+OP＝m+r，
当点P在P′位置时，AP长度最小为OA﹣OP′＝m﹣r，
∴线段AP长度的最大值为m+r，线段AP长度的最小值为m﹣r，
故答案为：m+r；m﹣r；
【拓展延伸】解：如图②，取AD的中点M，HM．
∵∠DHC＝90°，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴MH＝MD＝AD＝7，
∴当M、H、B共线时，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝＝8，
∴BM＝＝＝，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝﹣6，
故答案为：﹣3．
【点评】本题是圆的综合题，考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线并能够根据点的运动情况确定H点的运动轨迹是解题的关键．．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝10，点D为边AC的中点，沿折线AB﹣BC向点C运动，点P在AB上以每秒1个单位长度的速度运动个单位长度的速度运动，在点P运动过程中，将△APD沿PD翻折得到△A′PD．设点P的运动时间为t秒（0＜t＜10）．（1）求BC的长．
（2）用含t的代数式表示线段BP的长．
（3）当△A′PD与△ABC相似时，求t的值．
（4）当四边形APA′D为中心对称图形时，直接写出t的值．
【分析】（1）由勾股定理可得BC的长为5；
（2）分两种情况：当0＜t≤5时，P在AB上，BP＝5﹣t；当5＜t≤10时，P在BC上，BP＝（t﹣5）＝t﹣5；
（3）当△A'PD与△ABC相似时，△APD与△ABC相似；分两种情况：当P在AB上时，＝＝＝，即＝，可得得AP＝，t＝＝；当P在BC上时，可求出BP＝BC＝，故t＝+＝+＝；
（4）由四边形APA′D为中心对称图形，可知四边形APA′D为菱形；分两种情况：当P与B重合时，t＝＝5；当P在BC上，四边形APA′D为菱形时，过A作AH⊥BC于H，由面积法求出AH＝＝＝2，可得BH＝＝＝；故BP＝2，从而t＝+＝5+2＝7．
【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝5，
∴BC＝＝＝5，
∴BC的长为5；
（2）当0＜t≤5时，P在AB上；
当6＜t≤10时，P在BC上（t﹣5）＝；
∴BP＝；
（3）∵△A'PD是将△APD沿PD翻折得到，
∴当△A'PD与△ABC相似时，△APD与△ABC相似；
当P在AB上时，如图：
∵AB＝3，AC＝10，
∴＝＝＝，即＝，
解得AP＝，
∴t＝＝；
当P在BC上时，如图：
此时∠ADP＝∠BAC＝90°，＝＝；
∴PD∥AB，
∵D为AC中点，
∴P为BC中点，
∴BP＝BC＝，
∴t＝+＝+＝；
综上所述，t的值为或；
（4）∵四边形APA′D为中心对称图形，
∴四边形APA′D是平行四边形，
∵AP＝A'P，
∴四边形APA′D为菱形；
当P与B重合时，如图：
此时AP＝AB＝5＝A'P＝AD＝A'D，且∠BAC＝90°，
∴四边形APA′D为正方形，是中心对称图形，
此时t＝＝4；
当P在BC上，四边形APA′D为菱形时，如图：
∵AP＝AD＝5＝AB，AH⊥BC，
∴BH＝PH，
∵2S△ABC＝AB•AC＝BC•AH，
∴AH＝＝＝4，
∴BH＝＝＝；
∴PH＝，
∴BP＝2，
∴t＝+＝4+2＝7；
综上所述，t的值为5或7．
【点评】本题考查相似三角形综合应用，涉及三角形中位线定理及应用，菱形，正方形的性质及应用，勾股定理及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+n经过点A（4，﹣6）．点P是该抛物线上一点，其横坐标为m．以AP为对角线作矩形ABPC
（1）求抛物线所对应的函数表达式．
（2）当抛物线在矩形ABPC内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，m的取值范围为 m＞﹣2且m≠4 ．
（3）设抛物线在矩形ABPC内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为h时，求h与m之间的函数关系式．
（4）设这条抛物线的顶点为D，△APD的面积为S．当S＝6时，直接写出m的值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当点P在点A′的右侧时，抛物线在矩形ABPC内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，即可求解；
（3）当m＜﹣2或m＞4时，则h＝﹣6﹣（﹣m2+2m+2）＝m2﹣2m﹣8．当﹣2＜m＜4时，则h＝﹣m2+2m+2﹣（﹣6）＝﹣m2+2m+8，即可求解；
（4）由DH×|xA﹣xP|＝|3﹣3m|×|4﹣m|＝6，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+nx+n经过点A（4，﹣8），
∴﹣16+4n+n＝﹣6，
解得 n＝3，
∴该抛物线对应的函数表达式y＝﹣x2+2x+2；
（2）如下图，点A关于抛物线对称轴的对称点为点A′（﹣2，
当点P在点A′的右侧时，抛物线在矩形ABPC内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，
即m＞﹣2且m≠4，
故答案为：m＞﹣2且m≠4．
（3）当m＜﹣5或m＞4时，
则h＝﹣6﹣（﹣m2+2m+2）＝m3﹣2m﹣8．
当﹣6＜m＜4时，
则h＝﹣m2+4m+2﹣（﹣6）＝﹣m6+2m+8，
即h＝；
（4）如上图，过点D作DH∥y轴交AP于点H，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
由点A、P的坐标得，
则点H（1，3m），
则S＝DH×|xA﹣xP|＝|3﹣3m|×|4﹣m|＝6，
解得：m＝0或m＝3．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形的性质、一次函数的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键．
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