河北省衡水中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题

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第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意求出集合的交集即可.
【详解】由题意，
所以，
故选：A.
【点睛】本题主要考查集合的交并补运算，属于简单题.
2. 下列函数中，与 是同一个函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项分析即得.
【详解】对于A，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于 B，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于 C，函数，与函数的对应关系不同，不是同一个函数；
对于 D，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数.
故选：B.
3. 命题“有实数解”的否定是( )
A. 无实数解B. 有实数解
C. 有实数解D. 无实数解
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“有实数解”的否定是“无实数解”．
故选:D．
4. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图像是如图所示的曲线，则的值为( )
A. 3B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由的图像求出，再由求解即可.
【详解】根据题意，由函数的图像，可得，
则
故选：A．
5. 已知定义域为，则的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数的定义域求解规则求解即可.
【详解】解：因为定义域为，
所以函数的定义域为，
所以，的定义域为需满足，解得.
所以，的定义域为.
故选：A
6. 下列说法正确的是( )
A. 不等式的解集为
B. 若，则函数的最小值为2
C. 若实数，，满足，则
D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】C
【解析】
【分析】求出不等式的解集判断A；由基本不等式等号成立的条件以及函数的单调性可判断B；利用不等式的性质可判断C；举反例判断D．
【详解】对于A，不等式的解集为或，故A不正确；
对于B，令，则函数,当且仅当 时取等号，此时无解，故取不到最小值2，所以函数的最小值不可能是2，故B错误，
对于C，若，则， 故C正确；
对于D，当时，时，不等式恒成立，故D不正确．
故选：C
7. 因为疫情原因，某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进校园，某学生早上上学，早上他骑自行车从家里出发离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回到家取上出入证，然后改为乘坐出租车以更快的速度赶往学校，令x(单位：分钟)表示离开家的时间，y(单位：千米)表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据它离家的距离与离开的速度判断．
【详解】中途回家取证件，因此中间有零点，排除AB，第二次离开家速度更大，直线的斜率更大，只有C满足．
故选：C．
8. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由解析式得到在上单调递增，由于，结合可得到在，恒成立，即可得到答案．
【详解】，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，且，
所以，所以，即在，恒成立，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是
故选：B
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 设函数，当为增函数时，实数的值可能是( )
A. 2B. C. D. 1
【答案】CD
【解析】
【分析】由题知，且，进而解不等式即可得,再结合选项即可得答案.
【详解】解：当时，为增函数，则，
当时，为增函数，
故为增函数，则，且，解得，
所以，实数的值可能是内的任意实数.
故选：CD.
10. 某校学习兴趣小组通过研究发现：形如(，不同时为0)的函数图象可以由反比例函数的图象经过平移变换而得到，则对函数的图象及性质，下列表述正确的是( )
A. 图象上点的纵坐标不可能为1
B. 图象关于点成中心对称
C. 图象与x轴无交点
D. 函数在区间上单调递减
【答案】ABD
【解析】
【分析】化简得到，结合反比例函数的性质可得到结果.
【详解】，则函数的图象可由的图象先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，
∴图象上点的纵坐标不可能为1，A正确；图象关于点成中心对称，B正确；图象与轴的交点为，C不正确；函数在区间上单调递减, D正确..
故选：ABD．
11. 已知，是正数，且，下列叙述正确的是( )
A. 的最大值为
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【详解】因为是正数，且，
所以不等式可知，即，得，
当且仅当，即取得等号，
所以的最大值为，所以A正确;
因为是正数，且，
所以，且，
所以，
当时有最小值为，
所以B正确;
由以上知，且，
所以，
因为，即，
当且仅当即时取等号，因为
所以等号不成立，即，
所以C错误;
因为，
当且仅当，即，
解得时等号成立，即，
所以的最小值为，
所以D正确.
故选:ABD.
12. 德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet，1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为( )
A. 对任意，都有
B. 对任意，都存在，
C. 若，，则有
D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．
【详解】解：对于A选项，当，则，此时，故A选项错误；
对于B选项，当任意时，存，则，故；当任意时，存在，则，故，故对任意，都存在，成立，故B选项正确；
对于C选项，根据题意得函数的值域为，当，时，，故C选项正确；
对于D选项，要为等腰直角三角形，只可能为如下四种情况：
①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；

②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；

③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立；

④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立．

综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D错误．
故选：BC.
【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查数学推理与运算等核心素养，是难题.本题D 选项解题的关键是根据题意分直角顶点在上，斜边在轴上；直角顶点在上，斜边不在轴上；直角顶点在轴上，斜边在上；直角顶点在轴上，斜边不在上四种情况讨论求解.
第Ⅱ卷(共90分)
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. “”是“”的__________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
详解】解：由，即，解得，
因为，
所以由推得出，即充分性成立；
由推不出，即必要性不成立；
所以“”是“”充分不必要条件；
故答案为：充分不必要
14. 已知，若函数在上随增大而减小，且图像关于轴对称，则_______
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数的单调性、奇偶性与参数之间的关系可得出的值.
【详解】若函数在上递减，则.
当时，函数为偶函数，合乎题意；
当时，函数为奇函数，不合乎题意.
综上所述，.
故答案为：.
15. 函数在区间上有，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】令，由奇偶性定义可知为奇函数，由可构造方程求得结果.
【详解】令，
，
为定义在上的奇函数，
又，，.
故答案为：.
16. 已知函数为定义在上的奇函数，满足对，，其中，都有，且，则不等式的解集为________(写成集合或区间的形式)
【答案】
【解析】
【分析】根据题意构造，判定函数的单调性和奇偶性，利用赋值法得到，再通过单调性和奇偶性求得不等式的解集.
【详解】解：因为，
所以当时，，
令，
则在上单调递增，
又因为为定义在R上的奇函数,
所以，
所以是偶函数，且在上单调递减，
因为，
所以，
等价于或，
所以或，
即不等式的解集为.
故答案：.
四、解答题：(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 已知函数的定义域为A，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求a的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】(1)求出定义域，得到，进而计算出及；
(2)分与，列出不等式，求出a的取值范围.
【小问1详解】
要使函数有意义，则，解得：，
所以集合.
，
∴，
∴或，
∴或；
【小问2详解】
，
①当时，，即，满足题意；
②当时，由，得，解得：，
综上所述：a的取值范围为.
18. 已知幂函数(实数)的图像关于轴对称，且.
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，； (2).
【解析】
【分析】(1)由，得到，从而得到，又由，得出的值和幂函数的解析式；
(2)由已知得到且，由此即可求解实数的取值范围.
【详解】(1)由题意，函数(实数)的图像关于轴对称，且，
所以在区间为单调递减函数，
所以，解得，
又由，且函数(实数)的图像关于轴对称，
所以为偶数，所以，
所以.
(2)因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递减函数，
所以不等式，等价于且，
解得或，
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求解，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，熟练应用幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19. 已知函数.
(1)若函数定义域为R，求a的取值范围；
(2)若函数值域为，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)根据二次根式的性质进行求解即可；
(2)根据函数值域的性质进行求解即可.
【小问1详解】
因为函数定义域为R，
所以在R上恒成立，
当时，，不符合题意；
当时，要想在R上恒成立，即在R上恒成立，
只需，
所以a的取值范围为；
【小问2详解】
当时，，符合题意；
当时，要想函数值域为，
只需，
综上所述：a的取值范围为.
20. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，是一个二次函数的一部分，其图象如图所示．
(1)求在上的解析式；
(2)若函数，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)采用待定系数法，结合图象可求得在时的解析式；由时，可求得；由此可得分段函数解析式；
(2)首先确定解析式，分别在、和的情况下，根据单调性得到最大值.
【小问1详解】
当时，结合图象可设：，
，，；
当时，，，又为偶函数，；
综上所述：.
【小问2详解】
当时，，
则开口方向向下，对称轴为；
①当，即时，在上单调递减，；
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
；
③当，即时，在上单调递增，；
综上所述：.
21. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中()的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为50分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求出的最小值.
【答案】(1)
(2)，44
【解析】
【分析】(1)根据题意分、讨论，运算求解；
(2)根据题意整理求解，结合单调性求最值.
【小问1详解】
当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；
当时，若，即，解得(舍)或；
所以当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间
【小问2详解】
设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为.
因此人均通勤时间，
整理得：，
因为在和为减函数，在为增函数，
，，
所以的最小值为44.
22. 设函数的定义域是，且对任意的正实数、都有恒成立，已知，且时，
(1)求与的值
(2)求证：函数在上单调递增
(3)解不等式
【答案】(1)
(2)见解析 (3)或
【解析】
【分析】(1)由题条件求出，再由即可得到求得的值；
(2)题设中有时，，由的恒等变形及题设中的恒等式得到，由此问题得证．做此题时要注意做题步骤，先判断再证明；
(3)由(2)的结论，利用单调性直接将抽象不等式转化为一般不等式求解即可
【小问1详解】
令则，故
令，则可得，
令得，
小问2详解】
设，则
即，
，故，即
故在上为增函数
【小问3详解】
，
所以，解得或，
所以不等式的解为：或
x
1
2
3
2
3
0