湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段性检测（12月）数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段性检测（12月）数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2、已知集合,则( )
A.B.
C.D.
3、设是定义在R上的奇函数,则( )
A.-1B.0C.1D.2
4、已知直线与直线,若,则直线倾斜角为( )
A.B.
C.D.或
5、已知为等差数列的前n项和,若,则( )
A.26B.27C.28D.29
6、函数在区间上单调递减,则m的取值范围为( )
A.B.C.D.
7、已知,则( )
A.B.
C.D.
8、已知双曲线的右焦点为,过点F且斜率为3的直线与双曲线C分别交于M,N两点,若P是线段MN的中点,且,则双曲线的渐近线方程为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9、树人中学为了解高二年级学生每天的体育活动时间,随机抽取200名学生统计每天体育运动的时间,按照时长（单位：分钟）分成,,,,,六组,对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则下列结论正确的是( )
A.
B.这200名学生每天体育活动时间的众数是55
C.这200名学生每天体育活动时间的中位数小于60
D.这200名学生中有60人每天体育活动时间低于50分钟
10、已知抛物线的焦点为,点A,B在抛物线C上,且弦AB的中点到直线的距离为6,则( )
A.
B.A,B两点到抛物线C的准线的距离之和为12
C.线段AB的长为12
D.的最大值为36
11、如图,在棱长为2的正方体中,点P在平面内且,则以下结论正确的是( )
A.异面直线与所成的角是
B.三棱锥的体积为
C.存在点P,使得
D.点P到平面ABCD距离的最小值为
12、已知,下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于点对称
B.函数的最小正周期为
C.若,则在上存在极大值
D.时,,,
三、填空题
13、设是等比数列,且,则__________．
14、若圆上恰有四个点到直线的距离等于1,则m的取值范围为__________．
15、如图,在三棱锥中,,,点在线段BC上,且,则直线AD与直线PC所成角的余弦值为__________．
16、已知函数,若方程恰有5个不等实根,则实数k的取值范围是__________．
四、解答题
17、在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛．假设每场比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,且各场比赛结果相互独立．比赛方案采用五局三胜制（先胜3局者获胜,比赛结束）．
（1）求前2场比赛中,甲至少赢得一场的概率;
（2）已知前2场比赛甲、乙各胜一场,求最终甲获胜的概率．
18、已知的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知．
（1）求角B;
（2）若的面积为,求b取最小值时的周长．
19、已知数列的首项,且满足．
（1）求证：数列为等比数列;
（2）记,求数列的前n项和．
20、如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的正方形,是正三角形,．
（1）求证：平面平面ABCD;
（2）直线PA上是否存在点M,使得直线CM与平面PAB所成角为若存在,求的值;若不存在,请说明理由．
21、已知椭圆的离心率为,且经过点．
（1）求椭圆C的方程;
（2）过点作直线l交椭圆C于P,Q两点,试问以PQ为直径的圆是否恒过定点？若过定点,求出定点;若不过定点,说明理由．
22、已知．
（1）当时,证明：在上单调递增;
（2）若恒成立,求a的取值范围．
参考答案
1、答案：D
解析：由题意,所以,所以在复平面内对应的点为,它在第四象限.
故选：D.
2、答案：A
解析：由题意,
所.
故选：A.
3、答案：C
解析：因为是定义在R上的奇函数,则,
即,
,
,则,
故选：C.
4、答案：C
解析：直线与直线,,
,解得,
当时,,,符合题意,
当时,,,两直线重合,不符合题意,
故,,其斜率为,
设直线的倾斜角为,则,又,则.
故选：C.
5、答案：B
解析：由题意得,,成等差数列,
,又,
,解得.
故选：B.
6、答案：B
解析：,
因为函数在区间上单调递减,
即在上恒成立,
又因为在大于0,所以在上恒成立,
令,对称轴为,在单调递增,,
所以,
所以,
所以m的取值范围为.
故选：B.
7、答案：D
解析： ,
,
,
,
,
,即.
故选：D.
8、答案：A
解析：直线MN方程为,
与联立得,
设,,则,
,
则,即,
, ,
整理得,即
令,则,得,解得,
所以,即,
则双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
9、答案：BCD
解析：由频率之和为1得：,
解得,故A错误;
由频率分布直方图可估计200名学生每天体育活动时间的众数是55,故B正确;
由,,
,故中位数位于内,故C正确,
由于故200名学生中每天体育活动时间低于50分钟的人数约为人,故D正确,
故选：BCD.
10、答案：BD
解析：由抛物线的焦点为,所以,则,故A错误;
设,,弦AB的中点到直线的距离为6,
,即,
抛物线的准线方程为,
A,B两点到抛物线C的准线的距离之和为,故B正确;
因为,不妨取,即,故C错误;
由抛物线的定义得与A,B两点到抛物线C的准线的距离之和相等,
则,
,当且仅当时等号成立,
故的最大值为36,故D正确.
故选：BD.
11、答案：BCD
解析：对于A, ,异面直线与所成的角等于与所成的角,
为正三角形, ,
则异面直线与所成的角是,故A错误;
对于B, ,面,面,面,
,面,面, 面,
又,,面,面面,
点P,A在平面内,则点P,A到面的距离相等,
三棱锥的体积为,故B正确;
对于C,当P为中点时,满足点P在平面内且,
,, ,即,故C正确;
对于D,分别取BD,的中点O,,
三棱锥为正三棱锥,过作面于G,
则G为正的中心,
, ,,
由,得,
, ,
, ,
P的轨迹是以G为圆心,为半径的圆,即正的内切圆,
该内切圆与的交点为E,
如图,当P与E重合时,点P到平面ABCD距离取最小值,
作于F,,面ABCD,
,,
即点P到平面ABCD距离的最小值为,故D正确.
故选：BCD.
12、答案：ACD
解析：选项A,因为,
所以函数的图象关于点对称,故A正确;
选项B,若,则,最小正周期为,故B错误;
选项C,若,则,
得,
,则,设,且,
,当时,,
当时,,,单调递增,
当时,,,单调递减,
故当时,有极大值,故C正确;
选项D,当时,,
,
的周期为,故只需考虑的情形,
,
当时,或,
当时,,,单调递增,
当时,,,单调递减,
当时,,,单调递减,
,
,
,
,
故,,
则,故D正确.
故选：ACD.
13、答案：4
解析：设等比数列的公比为q,
,,,,
.
故答案为：4.
14、答案：
解析：由圆可得圆心,半径为,
设圆心C到直线的距离,
要使得圆C上恰有四个点到直线的距离为1,则满足,
则,即,
解得,即m的取值范围为．
故答案为：．
15、答案：
解析：,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
直线AD与直线PC所成角的余弦值为.
故答案为：.
16、答案：
解析：当时,,两者不相等,不是方程的实根,
当时,,令,
当时,,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
其中,
当时,,
画出的图象,如下：
要想方程恰有5个不等实根,需要满足
故答案为：.
17、答案：（1）0.84
（2）0.648
解析：（1）前2场比赛中,甲至少赢得一场有两种情况：甲赢一场和甲赢两场．
所求概率为．
（2）已知前2场比赛甲、乙各胜一场,最终甲获胜有两种情况：比赛4场甲胜3场,比赛5场甲胜3场．
当比赛4场甲胜3场时,则第3、4场甲胜,其概率为;
当比赛5场甲胜3场时,则第3、4场甲、乙各胜一场,第5场甲胜,其概率为,
已知前2场比赛甲、乙各胜一场,最终甲获胜的概率为．
18、答案：（1）
（2）12
解析：（1）,
由正弦定理得,
,,
,
,
,,,
又,.
（2）,,
由余弦定理及基本不等式,得,
当且仅当时取等号,
,解得,
则b的最小值是4,此时,
的周长为12．
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由得,
又,所以是首项为3,公比为3的等比数列.
（2）由（1）知,,所以
所以,
.
20、答案：（1）证明见解析
（2）存在满足条件的点．且或
解析：（1）由于,,故,
又,,AD,平面PAD,故平面PAD,
平面ABCD,所以平面平面ABCD,
（2）由四边形ABCD为正方形,且O,G分别为AD,BC的中点,
设AD的中点为O,连接PO,OG,
因为是正三角形,故,
而平面平面ABCD,平面平面,平面PAD,
故平面ABCD,而平面ABCD,故,
又,故以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,
设,
则,
,,
设平面PAB的一个法向量为,
则,令,则,
假设直线PA上存在点M,使得直线CM与平面PAB所成角为,
所以,
整理可得,解得或,故存在满足条件的点M．
且或
21、答案：（1）
（2）以PQ为直径的圆恒过定点
解析：（1）由题意可得,则,得,
又椭圆经过点,则,联立解得,
则椭圆C的方程是.
（2）假设以PQ为直径的圆恒过定点,
点在椭圆内,则直线l必与椭圆相交,
当直线l的斜率存在时,设其方程为,
代入椭圆方程,并整理得,
设点P,Q的坐标分别为,
则,
因为,及,
所以
当且仅当恒成立时,以PQ为直径的圆恒过定点T,
所以,解得,
此时以PQ为直径的圆恒过定点,
当直线l的斜率不存在,其方程为,可得,
以PQ为直径的圆的方程为,也过,
综上可知,以PQ为直径的圆恒过定点.
22、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）当时,,,
令,
则,当且仅当时取等号,
当时,,是增函数,
,即,
在上单调递增.
（2）定义域R,
,是偶函数,
若恒成立,则只需考虑在恒成立.
当时,,符合题意;
当时,,由（1）知,在上单调递增,
则当时,,符合题意;
当,1时,,
令,则,
当时,,
当时,单调递增,则,
,则在上单调递增,
∴,符合题意;
当时,,
当时,单调递减,则,
,则在上单调递增,
,符合题意;
当时,令,
,
当时,,则,则在上单调递增,
,,
则存在,使得成立,
当时,,即,单调递减, ,
,则在上单调递减,
,不符合题意,
综上可知,a的取值范围是.