厦门外国语学校2024届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份厦门外国语学校2024届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、若集合,集合,则( )
A.B.C.D.
2、已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
3、“,关于x的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
4、已知,,且,则xy的最大值为( )
A.B.C.1D.2
5、将函数图象向左平移后,得到的图象,若函数在上单调递减,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
6、已知等差数列的前n项和为,若,则下列结论正确的是( )
A.数列是递增数列B.
C.当取得最大值时,D.
7、如图,平面四边形A､B､C､D,己知,,,,则A,B两点的距离是( )
A.B.C.D.
8、a,b,c为三个互异的正数,满足,,则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、以下结论中,正确的是( ).
A.若复数,则.
B.若复数z满足,则的最大值为3.
C.已知复数,其中,,则复数是纯虚数的概率为
D.A,B,C,D,E五名学生按任意次序站成一排,则A和B站两端的概率为.
10、已知非零单位向量和,若,向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
11、已知当时,,则( )
A.B.
C.D.
12、设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,,则下列结论正确的是( )
A.
B.在上为增函数
C.点是函数的一个对称中心
D.方程仅有5个实数解
三、填空题
13、已知,则________.
14、已知,则的值为________.
15、我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图1,伞不管是张开还是收拢,伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角,且,从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图2,伞完全收拢时,伞圈D已滑动到的位置,且A,B,三点共线,,B为的中点,当伞从完全张开到完全收拢,伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm,则当伞完全张开时,的正弦值是________
16、如图,在中,D是AC边上一点,且,为直线AB上一点列,满足:,且,则________,设数列,则的通项公式为________.
四、解答题
17、函数.
（1）求函数在单调减区间;
（2）将的图象先向右平移个单位,再将横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到的图象.当时,求的值域.
18、已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,D是AC边的中点,,.
（1）求b的值;
（2）若的平分线交BC于点E,求线段AE的长.
19、如图1,在中,,,,P是AB边的中点,现把沿CP折成如图2所示的三棱锥,使得.
（1）求证:平面⊥平面BCP;
（2）求二面角的余弦值.
20、已知等差数列与等比数列满足,,,且既是和的等差中项,又是其等比中项.
（1）求数列和的通项公式;
（2）记,其中,求数列的前2n项和;
21、已知双曲线的离心率为,右顶点A到C的一条渐近线的距离为.
（1）求C的方程;
（2）D,E是y轴上两点,以DE为直径的圆M过点,若直线DA与C的另一个交点为P,直线EA与C的另一个交点为Q,试判断直线PQ与圆M的位置关系,并说明理由.
22、已知函数.
（1）若,求函数的单调区间;
（2）当时,,分别为函数的极大值点和极小值点,且,求t的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析:由,,故故选C
2、答案：D
解析:由,得,即,.,
所以.故选:D.
3、答案：B
解析:由“,关于x的不等式恒成立”,等价于,解得,
则“”的一个充分不必要条件是.故选:B.
4、答案：A
解析:,当且仅当时,取等号.即xy的最大值为.
故选:A
5、答案：D
解析:向左平移,得,时,,在上单调递减,即,故.选:D
6、答案：C
解析:,,,,,,
,,且,B错误;公差,等差数列是递减数列,A错误;
时,取得最大值,C正确;D选项,,D错误.
选C.
7、答案：D
解析:由题意可知在中,有,,
,所以,由正弦定理可得,
而,故,又,在中,,
由正弦定理可得,
在中,由余弦定理可得.故选:D
8、答案：C
解析:由得且,构造函数,所以,
易得在上单调递减,在上单调递增,其函数图象如下图所示:
由图可得,易知函数及交于点,作出函数及的图象如下图所示:
由图知,所以,即,,由此可得,即.故选:C
9、答案：BC
解析:对于A,由,得,.,故A错误,对于B,可以看作复数z对应的点到的距离为1,故复数z对应在复平面内的轨迹为以点为圆心,以1为半径的圆,故当点运动到与y轴的交点,且向上的位置时,此时最大,为3.故B正确,对于C,在中,,,复数为纯虚数
,,复数是纯虚数的概率为:,C正确
对于D.,首先将A和B排两端,共有种情况,再将其余三人全排列,共有种情况,所以共有种情况.因为五名学生按任意次序站成一排,共有种情况,故和站两端的概率为.选项D错误
10、答案：ACD
解析:,,
对选项A:,正确;对选项B:,,不共线,错误;对选项C:,正确;对选项D:,正确.选:ACD.
11、答案：BCD
解析:因为,令,,则,故A错误;
因,则,,…,,以上各式相加有,B正确;
因为,则,,…,,以上各式相加有,C正确;
由得,,即,,因此,所以D正确.故选:BCD
12、答案：BC
解析:函数的定义域为R,由为奇函数,得,即,
由为偶函数,得,即,则,
即,于是,函数是周期为的周期函数,
当时,,对于A,,A错误;
对于B,在上单调递增,由,知图象关于点对称,
则在上单调递增,即函数在上单调递增,因此在上单调递增,B正确;
对于C,由及,得,即,
因此函数图象关于点对称,C正确;
对于D,当时,,由函数图象关于点对称,
知当时,,则当时,,
由,知函数图象关于直线对称,则当时,,
于是当时,,而函数的周期是,因此函数在R上的值域为,
方程,即,因此的根即为函数与图象交点的横坐标,
在同一坐标系内作出函数与的部分图象,如图,
观图知,与图象在上有且只有3个公共点,而当时,,,即函数与图象在无公共点,所以方程仅有3个实数解,D错误.选:BC
13、答案：
解析:,所以.所以,所以.故答案为:
14、答案：3
解析:因为,所以,故答案为:3.
15、答案：
解析:当伞完全张开时,(cm),因为B为的中点,所以,(cm),当伞完全收拢时,(cm),所以,(cm),
在中,所以,.
16、答案：,
解析:因为D是AC边上一点,且,故,为直线AB上一点列,则,因为,则,故,整理得:,即,若,则,解得:,此时,解得:,故为常数为1的数列,但,不合要求,故,故,令得:,因为,所以,解得:令,则,即,因此,所以为等比数列,公比为,首项为,
故,故故答案为:,
17、答案：（1）
（2）
解析:（1）
,
令,,解得,,令,,
所以函数在单调减区间为.
（2）的图象先向右平移个单位得到,
将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）,得到,时,,所以,故,所以的值域为.
18、答案：（1）
（2）
解析:（1）设,则,
在中,,在中,,
因为,所以,即,所以,故.
（2）由条件及小问（1）可知,,,,则,因为,所以,由题意得,,因为AE是的平分线,
所以,所以.
19、答案：
解析:（1）在图1中作,交CP于O,连接OB,
,,,P是AB边的中点,
,,,,
是等边三角形,
,,,
在中,由余弦定理得,
在图2中,,,.
又平面BCP,平面BCP,,
平面BCP,又平面ACP,
平面⊥平面BCP;
（2）在面BCP上,过O作交BC于E,因为平面⊥平面BCP,平面平面,平面ACP,所以以O为原点,以OC,OE,OA为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:则,,,为平面ACP的一个法向量,
,,
设平面ABC的法向量为,
,∴,
由图可知二面角为锐角,二面角的值余弦值为.
20、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
,,所以,解得,,
既是和的等差中项,又是其等比中项,
得,,
解得,即,
所以,.
（2）,
.
又
,
①
②
①减②得:
,
.
21、答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）因为C的离心率为,所以,所以,渐近线方程,
因为点到一条渐近线距离为,所以,解得,所以C的方程为.
（2）直线PQ与圆M相交,理由如下:设,,则,,
因为点B在以DE为直径的圆M上,所以,所以,即,
由（1）得,直线AD方程为:与双曲线C方程联立,
消去得,,因为直线DA,EA与C都有除A以外的公共点,所以,所以,,即,同理当,.
,所以直线PQ方程为:,令得,,
即直线PQ经过定点.因为,
所以N点在圆M内,故直线PQ与圆M相交.
22、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）当时,则,则,令,则或,故时,,在,为单调递增,当时,,在上单调递减,综上,单调增区间为和,单调减区间为.
（2）,令,得,,
当时,,故在,上单调递增,
当时,,故在上单调递减,所以的极大值点为,极小值点为,所以,,因为,所以,因为,所以,令,
则对于恒成立,而当时,,,所以,所以,即,设,,
,令,则,
①当时,,所以,在单调递增,所以,即,符合题意;
②当时,,设的两根为,,且,则,,故,
所以当时,,单调递减,所以当时,,即,不合题意,综上所述,,即,所以.