2022-2023学年四川省遂宁市卓同教育安居育才中学高二（上）期末数学试卷（理科）（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省遂宁市卓同教育安居育才中学高二（上）期末数学试卷（理科）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x−y的值为( )
A. 2B. −2C. 3D. −3
2.某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为
( )
A. 32B. 33C. 41D. 42
3.直线(2m−1)x+my+1=0和直线mx+3y+3=0垂直，则实数m的值为( )
A. 1B. 0C. 2D. −1或0
4.已知三条不重合的直线m，n，l，三个不重合的平面α，β，γ，下列命题中正确的是( )
A. m⊥ln⊥l⇒m//nB. l⊥αl⊥n⇒n//α
C. α⊥γβ⊥γ⇒α//βD. m⊥αm⊥β⇒α//β
5.直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是( )
A. [0,π)B. [0,π4]∪[3π4,π)C. [0,π4]D. [0,π4]∪(π2，π)
6.设直线l：3x+2y−6=0，P(m,n)为直线l上动点，则(m−1)2+n2的最小值为( )
A. 913B. 313C. 3 1313D. 1313
7.已知实数x，y满足3x+y−3≥02x+3y−9≤0x−2y−1≤0，则z=2x+y−3x−2的取值范围是( )
A. (−∞,1]∪(2，4]B. [1,2)∪(2,4]
C. [1,2)∪[4，+∞)D. (−∞,1]∪[4,+∞)
8.从直线l：3x+4y=15上的动点P作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为C，D，则四边形OCPD(O为坐标原点)面积的最小值是( )
A. 3B. 2 2C. 2 3D. 2
9.若直线l：kx−y+2+4k=0(k∈R)交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为( )
A. x−2y+4=0B. x−2y+8=0C. 2x−y+4=0D. 2x−y+8=0
10.已知三棱锥D−ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB=AC=BC=DB=DC=1，当三棱锥D−ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为( )
A. 5π3B. 2πC. 5πD. 20π3
11.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数).若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为( )
A. 3.119B. 3.126C. 3.132D. 3.151
12.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼⋅闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的曼哈顿距离d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|，则下列结论正确的是( )
A. 若点P(2,4)，Q(−2,1)，则d(P,Q)=6
B. 若点M(−1,0)，N(1,0)，则在x轴上存在点P，使得d(P,M)+d(P,N)=1
C. 若点M(2,1)，点P在直线x−2y+6=0上，则d(P,M)的最小值是5
D. 若点M在圆x2+y2=4上，点N在直线2x−y+8=0上，则d(M,N)的值可能是4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知x，y满足x+y−2≥0x+2y−3≤0y≥0，则z=2x+4y的最大值是______ ．
14.甲、乙约定晚上七点在某校门口见面，甲晚上七点准时到了门口，此时，乙打电话告知甲路上出现堵车状况，至少要过20分钟才能到.甲决定等乙半个小时，超过半个小时乙还未到就离开，若乙在晚上七点五十之前一定能到，则两人能见面的概率为______ ．
15.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,−3)，若圆C：(x−a)2+(y−a+2)2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是 ．
16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是______ .(将正确答案的序号都填上)
①三棱锥A−D1PC的体积不变
②直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为[π4,π2]
③直线AP与平面ACD1所成角的大小不变
④二面角P−AD1−C的大小不变
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，已知点A(8,4)，B(4,−1)，C(−6,3)．
(1)求BC边上中线的方程．
(2)若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．
18.(本小题12分)
某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，[90,100]后得到如图的频率分布直方图．
(1)求抽取的40名学生同学的成绩的中位数；
(2)若该校高二年级共有学生560人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；
(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不小于10的概率．
19.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC=2AB=2AD，∠ADC=∠ABC=90°．
(1)证明：平面PBD⊥平面PAC；
(2)若F是PC的中点，求证：BF/​/平面PAD．
20.(本小题12分)
某高中生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种机器配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如表所示：
(1)根据1至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的线性回归方程是理想的，试问(1)中所得到的线性回归方程是否理想？
(3)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从(1)中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元/件，才能获得最大利润？(注：销售利润=销售收入−成本)．
参考公式b =i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2，a​=y−−b​x−.参考数据：i=15xiyi=392，i=15xi2=502.5．
21.(本小题12分)
已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线3x+4y−8=0相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线l：y=kx+2与圆C交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
22.(本小题12分)
如图1，菱形ABCD中∠ABC=120°，动点E，F在边AD，AB上(不含端点)，且存在实数λ使EF=λBD，沿EF将△AEF向上折起得到△PEF，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如图2所示．

(1)若BF⊥PD，设三棱锥P−BCD和四棱锥P−BDEF的体积分别为V1，V2，求V1V2；
(2)试讨论，当点E的位置变化时，二面角E−PF−B是否为定值，若是，求出该二面角的余弦值，若不是，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了茎叶图，考查平均数和中位数的概念，是一道基础题．
根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值即可．
【解答】
解：根据茎叶图中的数据，得；
甲组5名同学成绩的平均数为
15×(72+77+80+x+86+90)=81，解得x=0；
又乙组5名同学的中位数为73，则y=3；
所以x−y=0−3=−3．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．
根据条件求出样本间隔，结合系统抽样的定义进行求解即可．
【解答】
解：∵相邻的两个组的编号分别为14，23，
∴样本间隔为23−14=9，
则第四组的学生的编号为14+9×2=32，
故选A．
3.【答案】D
【解析】解：由m(2m−1)+3m=0，解得m=0或−1．
故选：D．
由m(2m−1)+3m=0，解得m，即可得出．
本题考查了直线垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：A.m⊥l，n⊥l，则m与n平行、相交或为异面直线三种情况都有可能，因此不正确；
B.l⊥α，l⊥n，则n/​/α或n⊂α，因此不正确；
C.α⊥γ，β⊥γ，则α/​/β或α与β相交，因此不正确；
D.m⊥α，m⊥β，可得α/​/β，因此正确．
故选：D．
A.m⊥l，n⊥l，可得m与n平行、相交或为异面直线三种情况都有可能，即可判断出正误；
B.利用线面垂直与平行的位置关系进而判断出结论；
C.利用面面垂直与平行的位置关系进而判断出结论；
D.利用面面垂直与平行的位置关系进而判断出结论．
本题考查了空间位置关系及其判断、简易逻辑的判定方法，考查了了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．
【解答】解：直线xsinα+y+2=0的斜率为k=−sinα，
∵−1≤sinα≤1，∴−1≤k≤1，
∴倾斜角的取值范围是[0,π4]∪[34π,π)，
故选：B．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，(m−1)2+n2=(m−1)2+(n−0)2，其几何意义为点(m,n)与点(1,0)之间距离的平方，
而点(1,0)到直线l：3x+2y−6=0的距离d=|3−6| 4+9=3 13，
故(m−1)2+n2的最小值为913，
故选：A．
根据题意，分析(m−1)2+n2的几何意义，结合点到直线的距离公式分析可得答案．
本题考查点到直线的距离公式，关键是分析(m−1)2+n2的几何意义，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立2x+3y−9=0x−2y−1=0，解得A(3,1)，由图可知，B(1,0)，
z=2x+y−3x−2=2+y+1x−2，其几何意义为可行域内的动点与定点(2,−1)连线的斜率加2．
由图可知，kPA=−1−12−3=2，kPB=−1−02−1=−1，
∴z=2x+y−3x−2的取值范围是(−∞,1]∪[4,+∞)．
故选：D．
由约束条件作出可行域，再由z=2x+y−3x−2=2+y+1x−2的几何意义，即可行域内的动点与定点(2,−1)连线的斜率加2求解．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由已知得S四边形OCPD=2S△OPD，l：3x+4y−1=0．
因为△OPD是直角三角形，所以S△OPD=12|PD|⋅|OD|=12 |OP|2−|OD|2⋅|OD|=12 |OP|2−1．
|OP|min=15 32+42=3，故(S△OPD)min= 2，即(S四边形OCPD)min=2 2．
故选：B．
易知，S四边形OCPD=2S△OPD，且△OPD是直角三角形，所以当OP的长度最小时，S△OPD最小，此时OP的最小值为O到直线l的距离，则问题可解．
本题考查直线与圆的位置关系以及切线问题的解题思路，属于中档题．
9.【答案】B
【解析】解：由题意，直线l：kx−y+2+4k=0(k∈R)，
令y=0，可得x=−2+4kk，即A(−2+4kk,0)，令x=0，可得x=2+4k，即B(0,2+4k)，
根据题意得−2+4kk0，解得k>0，
所以S△AOB=12|OA||OB|=12|−2+4kk||2+4k|=12(2+4k)2k=12(16k+4k+16)≥12×(2 16k×4k+16)=12(2×8+16)=16，
当且仅当16k=4k，即k=12时，等号成立，此时直线的方程为x−2y+8=0．
故选：B．
根据直线的方程，分别求得A(−2+4kk,0),B(0,2+4k)，结合题意列出△AOB的面积关于k的表达式，再利用基本不等式算出答案．
本题主要考查直线的方程及其应用、运用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
三棱锥D−ABC的体积取到最大值时，平面ABC⊥平面DBC，求出外接球的半径，然后求解球的表面积．
【解答】
解：如图，当三棱锥D−ABC的体积取到最大值时，则平面ABC⊥平面DBC，
取BC的中点G，连接AG，DG，则AG⊥BC，DG⊥BC，
分别取△ABC与△DBC的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，垂线相交于O，则O为四面体ABCD的球心，
由AB=AC=BC=DB=DC=1，得正方形OEGF的边长为 36，则OG= 66，
∴四面体A−BCD的外接球的半径R= OG2+BG2= ( 66)2+(12)2= 512，
∴球O的表面积为=4π×( 512)2=5π3，
故选：A．
11.【答案】B
【解析】解：x2+y2+z2