2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳县高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳县高二（上）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过A(−1,2)，B(−4,8)两点的直线的斜率是( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
2.直线l1：mx+3y+1=0，l2：2x+(5+m)y+2=0，若l1//l2，则实数m的值为( )
A. −6B. 1C. −6或1D. −3
3.圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x+2)2+y2=4的公切线条数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 5，则双曲线的渐近线方程为( )
A. y=±12xB. y=± 33xC. y=± 3xD. y=±2x
5.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积是8 3π，长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为( )
A. x224+y28=1B. x228+y212=1C. x232+y216=1D. x236+y218=1
6.圆x2+y2+2x+2y=0上的点到直线x−y−2=0的距离的最大值为( )
A. 2B. 2 2C. 3 22D. 5 22
7.已知点P到直线l1：x−y−4=0和直线l2：x−y−2=0的距离相等，则点P到坐标原点距离的最小值为( )
A. 3 2B. 2C. 3 22D. 4
8.椭圆C：x29+y25=1长轴的左右两个端点分别是A，B，点C满足4AC=5BC，则△ABC面积的最大值为( )
A. 40B. 44C. 433D. 533
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 直线的点斜式方程y−y1=k(x−x1)可以表示任何直线
B. 直线y=4x−2在y轴上的截距为−2
C. 直线2x−y+3=0关于点(3,2)对称的直线方程是2x−y−11=0
D. 直线l1：x+2y+1=0与l2：2x+4y+3=0之间的距离为2 55
10.已知直线l过点P(−2,−3)，若点M(2,−1)和点N(4,5)到直线l的距离相等，则直线l的方程为( )
A. 3x−y−3=0B. 3x−y+3=0C. x−y−1=0D. x+y−3=0
11.我们把离心率为 5+12的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线E：x2a2−y2=1(a>0)是理想双曲线，左右顶点分别为A1，A2，虚轴的上端点为B，左焦点为F，离心率为e，则( )
A. a2e=1B. 顶点到渐近线的距离为e
C. A2B⊥FBD. △A2FB的外接圆的面积为2+ 54π
12.已知圆C：(x−3k)2+(y−4k+1)2=1+25k2，则下列结论中正确的有( )
A. 圆C过定点B. 点(0,0)在圆C外
C. 直线4x−3y−3=0平分圆周D. 存在实数k，使圆与x轴相切
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线 3x−y+2=0的倾斜角为______．
14.方程x2m−2+y26−m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是______ ．
15.已知圆O：x2+y2=9，过点(−2,−4)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程是______ ．
16.已知P是双曲线x29−y27=1上的点，F为双曲线的右焦点，点A的坐标为(5,1)，则|PF|+|PA|的最小值是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l过点(−3,7)，直线l：x−3y+8=0．
(1)若直线l⊥l′，求直线l的方程；
(2)若直线l为入射光线，经直线l′反射，其反射光线经过点(0,6)，求l的方程．
18.(本小题12分)
已知圆C：(x−a)2+(y−2)2=4，直线l：x−y+3=0，l与圆C相交于A，B两点，|AB|=2 2．
(1)求实数a的值；
(2)当a>0时，求过点(−1,6)并与圆C相切的直线方程．
19.(本小题12分)
设m为实数，直线(2m+1)x+(m+1)y−5m−3=0．
(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M，并求出定点M的坐标；
(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求l1的方程．
20.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，点P到点(1,0)的距离与到直线x=−1的距离相等，记动点P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)直线l与C相交异于坐标原点的两点M，N，若OM⊥ON，证明：直线l恒过定点，并求出定点坐标．
21.(本小题12分)
已知双曲线C经过点( 6, 62)，两个焦点在x轴上，离心率为 72．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线C相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，点A关于y轴对称点为A1，点B关于x轴对称点为B1，设直线A1B1的斜率为k1，请问k与k1的乘积是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
22.(本小题12分)
已知焦距为2的椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2分别为其左右焦点，过点F2的直线l1与椭圆交于A，B两点，△ABF1的周长为8．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若过点F2的直线l2与椭圆交于C，D两点且满足l1⊥l2，求四边形ACBD面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：过A(−1,2)，B(−4,8)两点，故kAB=8−2−4+1=−63=−2．
故选：B．
直接利用两点的坐标求出直线的斜率．
本题考查的知识要点：直线的斜率，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
2.【答案】A
【解析】解：因为两条直线平行，所以m(5+m)=3×2，且2m≠2，
解得m=−6．
故选：A．
由两条直线平行，可得充要条件，求出m的值．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，圆C1：x2+y2=1，其圆心为(0,0)，半径R=1，
圆C2：(x+2)2+y2=4，其圆心为(−2,0)，半径r=2，
两圆的圆心距d=|C1C2|=2，有2−10)的离心率为 5，
即ca= 5，所以a2+b2a2=5，
则ba=2，故C的渐近线方程为y=±2x．
故选：D．
根据双曲线的离心率可得a，b之间的关系，从而可得到渐近线方程．
本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可得：ab=8 3ba=tan30°= 33，
可得a=2 6，b=2 2，
所以椭圆C的标准方程为：x224+y28=1．
故选：A．
由题意可得：ab=8 3ba=tan30°= 33，联立方程即可求出a，b，进而求解结论．
本题考查了椭圆的方程，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由圆x2+y2+2x+2y=0可得圆心C(−1,−1)，半径r= 2．
圆心C(−1,−1)到直线x−y−2=0的距离d=|−1+1−2| 1+1= 2，
∴圆x2+y2+2x+2y=0上的点到直线x−y−2=0的最大距离为 2+ 2=2 2．
故选：B．
求出圆心到直线的距离，从而可求圆上的点到直线的最大距离．
本题考查了直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为直线l1：x−y−4=0和直线l2：x−y−2=0平行，且点P到他们的距离相等，
所以点P在直线l：x−y−3=0上，
当OP⊥l时，点P到坐标原点距离的最小，最小距离为|0−0−3| 12+(−1)2=3 22．
故选：C．
由题意可得点P在直线l：x−y−3=0上，从而可得当OP⊥l时，点P到坐标原点距离的最小值，由点到直线的距离公式即可求得．
本题考查点到直线的距离，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设C(x,y)，根据题意可得A(−3,0)，B(3,0)，
∵4AC=5BC，
∴16(x+3)2+16y2=25(x−3)2+25y2，
∴x2+y2−823x+9=0，
∴(x−413)2+y2=16009，
∴C点轨迹为以圆心为(413,0)，半径r=403的圆，
∴△ABC面积的最大值为12×AB×r=12×6×403=40．
故选：A．
先求出C点轨迹方程，再根据三角形面积公式，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，轨迹方程的求解，属中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故A错误，
对于B，令x=0，解得y=−2，
则直线y=4x−2在y轴上的截距为−2，故B正确，
对于C，关于点(x,y)关于(3,2)对称的点为(6−x,4−y)，
代入直线2x−y+3=0，得2(6−x)−(4−y)+3=0，
即2x−y−11=0，故C正确，
对于D，2x+4y+2=0与l2：2x+4y+3=0之间的距离为|3−2| 22+42=12 5= 510，故D错误．
故选：BC．
对于A，结合点斜式方程的定义，即可求解；
对于B，令x=0，解得y=−2，即可求解；
对于C，根据已知条件，结合点(x,y)关于直线(3,2)对称的点，即可求解；
对于D，结合平行直线的距离公式，即可求解．
本题考查直线方程的应用，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：因为M(2,−1)，N(4,5)，
所以直线MN的斜率为kMN=5−(−1)4−2=3，
设直线l的斜率为k，
①当M，N在直线l的同侧时，直线l/​/MN，则k=kAB=3，
因为直线l过点P(−2,−3)，
所以直线l的方程为y+3=3(x+2)，即3x−y+3=0；
②当M，N在直线l的异侧时，线段MN的中点(3,2)在直线l上，
因为直线l过点P(−2,−3)，
所以直线l的方程为y+3=2−(−3)3−(−2)×(x+2)，即x−y−1=0，
综上，直线l的方程为3x−y+3=0或x−y−1=0．
故选：BC．
分两种情况讨论：①当M，N在直线l的同侧时，直线l的斜率与直线MN的斜率相同，再利用点斜式写出直线l的方程即可；②当M，N在直线l的异侧时，线段MN的中点在直线l上，结合中点坐标公式与直线方程的点斜式，即可得解．
本题考查直线方程的求法，熟练掌握两条直线平行的条件，中点坐标公式，直线方程的点斜式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为e= 5+12，所以 a2+1a= 5+12，解得a2=2 5+1；
对于A，a2e=2 5+1× 5+12=1，故A正确；
对于B，渐近线的方程为y=±1ax，右顶点(a,0)到渐近线的距离为d=|a| a2+1= 11+1a2=1e,故B不正确；
对于C，设双曲线的焦距为2c，由a2e=1得ac=1,FB=(c,1),BA2=(a,−1)，
因为FB⋅BA2=ac−1=0，所以A2B⊥FB，故C正确；
对于D，由A2B⊥FB可知，△A2FB的外接圆的半径为12(a+c)，
所以面积为π4(a+c)2=π4(a2+2ac+c2)=π4(2a2+3)=2+ 54π，故D正确．
故选：ACD．
根据离心率求出a2，利用双曲线的性质结合选项逐个判定即可．
本题考查双曲线的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A，由(x−3k)2+(y−4k+1)2=1+25k2，
得到x2−6kx+9k+y2−2(4k−1)y+16k2−8k+1=1+252，整理得到x2+y2+2y−k(6x+8y+8)=0，
由x2+y2+2y=06x+8y+8=0，得到x=−45y=−25或x=45y=−85，故圆C过定点(−45,−25)．(45,−85)，故A正确；
对于选项B，因为圆心为(3k,4k−1)，r= 1+25k2，
点(0,0)到圆心的距离d= 9k2+16k2−8k+1= 1+25k2−8k，
又因为k∈R，当k>0时，dm−2>0，得20时，圆的方程为(x−1)2+(y−2)2=4，分直线的斜率是否存在，可求过点(−1,6)并与圆C相切的直线方程．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属中档题．
19.【答案】(1)证明：因为直线(2m+1)x+(m+1)y−5m−3=0
整理可得：m(2x+y−5)+x+y−3=0对∀m∈R恒成立，
从而由2x+y−5=0x+y−3=0，解得x=2y=1，从而过定点(2,1)；
(2)解：由题意设xa+yb=1 (a>0 , b>0)，
因为直线过定点(2,1)，所以2a+1b=1，
两坐标轴的正半轴的截距之和为a+b，a>0，b>0，
可得a+b=(a+b)(2a+1b)=3+2ba+ab≥3+2 2，
当且仅当ab=2ba，即a= 2+2 , b= 2+1时等号成立，
从而l1的方程为x 2+2+y 2+1=1，
即x+ 2y−2− 2=0．
【解析】(1)将直线方程整理可得m(2x+y−5)+x+y−3=0，可得直线恒过2x+y−5=0与x+y−3=0的交点，可证得直线恒过定点；
(2)设直线的截距式方程，可得截距之和，由基本不等式可得它的最小值．
本题考查直线恒过定点的求法及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为P到点(1,0)的距离与到直线x=−1的距离相等，
所以P的轨迹是以(1,0)为焦点，x=−1为准线的抛物线，
故可设C的方程为y2=2px(p>0)，
则有p2=1 所以p=2，
故C的方程为y2=4x．
(2)证明：设l方程为x=my+n(n≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
因为OM⊥ON，
所以OM⋅ON=0即x1x2+y1y2=0，
所以(my1+n)(my2+n)+y1y2=0，即(m2+1)y1y2+mny1y2+n2=0，
由x=my+ny2=4x，得y2−4my−4n=0，
所以y1+y2=4m，y1y2=−4n，
所以−4n(m2+1)+4m2n+n2=0，即n2−4n=0，所以n=4，
所以l方程为x=my+4，
故l恒过定点(4,0)．
【解析】(1)利用抛物线的定义可得答案；
(2)设出方程x=my+n，利用垂直可得n=4，进而得到定点．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)不妨设双曲线标准方程为x2a2−y2b2=1(a > 0 , b > 0)，
因为双曲线C经过点( 6, 62)，
所以6a2−64b2=1，①
因为双曲线C的离心率e= 1+b2a2= 72，
所以b2a2=34，
即4b2=3a2，②
联立①②，解得a2=4，b2=3，
则双曲线C的标准方程为x24−y23=1；
(2)不妨设直线l方程为y=kx+t，A1(−x1,y1)，B1(x2,−y2)，
可得y1=kx1+t，y2=kx2+t，
所以A1(−x1,kx1+t)，B1(x2,−kx2−t)，
可得k1=−k−2tx1+x2，
联立y=kx+tx24−y23=1，消去y并整理得(3−4k2)x2−8ktx−4t2−12=0，
由韦达定理得x1+x2=8kt3−4k2，
所以k1=−k−2t⋅3−4k28kt=−k−3−4k24k，
即k1=−34k，
则kk1=−34，
所以k与k1的乘积为定值，定值为−34．
【解析】(1)由题意，设出双曲线C的标准方程，将点( 6, 62)代入双曲线方程中，结合离心率公式再进行求解即可；
(2)设出直线l的方程和A，B两点的坐标，得到k1=−k−2tx1+x2，将直线l的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理再进行求解即可．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)设F1(−c , 0) , F2(c , 0) , c2=a2−b2，
则有2c=24a=8，所以a=2c=1，
所以b2=a2−c2=3，
所以M的方程为x24+y23=1．
(2)(i)l1斜率不存在时．l1方程为x=1，l2方程为y=0，
则有AB=3，CD=4，
所以S四边形ABCD=12AB⋅CD=12×3×4=6；
(ii)l1斜率为0时．l1方程为y=0，l2方程为x=1，
则有AB=4，CD=3，
所以S四边形ABCD=12AB⋅CD=12×4×3=6；
(iii)l1斜率存在且不为0时．设l1方程为y=k(x−1)，A(x1,kx1−k)，B(x2,kx2−k)，
则l2方程为y=−1k(x−1)，
所以AB= (x1−x2)2+(y1−y2)2= k2+1|x1−x2|，
联立直线l1与椭圆M的方程得，y=k(x−1)x24+y23=1，
消去y得(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，
所以Δ=144k2+144，
所以|x1−x2|=12 k2+14k2+3，
所以AB=12(k2+1)4k2+3，
同理CD=12(k2+1)3k2+4，
所以S四边形ABCD=12AB⋅CD=12⋅12(k2+1)4k2+3⋅12(k2+1)3k2+4，
即S四边形ABCD=72(k2+1)2(4k2+3)(3k2+4)，
令k2+1=t，t>1，
则S四边形ABCD=72t2(4t−1)(3t+1)=72t212t2+t−1，
即S四边形ABCD=72−1t2+1t+12=72−(1t−12)2+494，
所以此时当t=2时，面积最小，最小值为28849，
又28849 < 6，
故四边形ABCD的最小值为28849．
【解析】(1)依题意分别求出a、b、c的值即可求得椭圆方程；
(2)分l1的斜率不存在、为0及存在且不为0三种情况分别求解，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求解即可．
本题考查了求椭圆标准方程，考查了联立直线与椭圆方程求解综合问题，考查了数学运算能力，属于中档题．