2023-2024学年西藏拉萨市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年西藏拉萨市高一（上）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈N|x−4<0}，B={0,1,3,4}，则A∩B=( )
A. {1,3}B. {1,3,4}C. {0,1,3}D. {0,1,3,4}
2.命题“∀x>0，3x2−x−2>0”的否定是( )
A. ∃x0>0,3x02−x0−2⩽0B. ∀x≤0，3x2−x−2>0
C. ∃x0>0,3x02−x0−2<0D. ∃x0≤0,3x02−x0−2≤0
3.已知a>b>c，则( )
A. ab>bcB. a|c|>b|c|C. 1b−c>1a−cD. a2>b2>c2
4.已知函数y=f(x)的对应关系如下表，函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5.函数y=x2−4x+1在[0,3]上的最小值是( )
A. −1B. −2C. −3D. −4
6.三个数60.7，(0.7)6，lg0.76的大小顺序是( )
A. (0.7)6<60.7C. lg0.76<(0.7)6<60.7D. lg0.76<60.7<(0.7)6
7.已知f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2−4x+2，则f(x)在区间[−4,−2]上( )
A. 单调递增且最大值为2B. 单调递增且最小值为2
C. 单调递减且最大值为−2D. 单调递减且最小值为−2
8.已知函数f(x)=−x,x≤0f(x−1),x>0，若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (0,1)D. [0,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，U是全集，M，N是U的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为( )
A. (∁UM)∩(∁UN)
B. (∁UM)∩N
C. MU(∁UN)
D. N∩∁U(M∩N)
10.已知函数f(x)=x+2,x≤−1x2,−1A. f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为(−∞,4)
C. f(1)=3D. 若f(x)=3，则x的值是 3
11.函数y=lg(a−2)[(5−a)(x2+1)]中，实数a的取值可能是( )
A. 52B. 3C. 4D. 5
12.已知不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤−1或x≥3}，则下列结论正确的是( )
A. c<0
B. a+b+c>0
C. 4a−2b+c<0
D. cx2−bx+a<0的解集{x|−13三、填空题：本题共5小题，共32分。
13.计算：0.125−13−(6427)0−lg225×lg34×lg59= ______ ．
14.已知x>5，则x+1x−5的最小值是______ ．
15.求函数y= 4+3x−x2+1 x−1的定义域______ ．
16.已知定义在R上的函数f(x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=x2−2x，则f(2)+g(1)= ______ ．
17.已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1,1)上的奇函数，且f(12)=25．
(1)确定函数f(x)的解析式．
(2)用定义证明f(x)在(−1,1)上是增函数．
(3)解不等式f(t−1)+f(t)<0．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
设集合U=R，A={x|0≤x≤5}，B={x|m−1≤x≤2m+1}．
(1)若m=3时，求A⋂(CUB)；
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
计算：
(1)160.75−30.3×31.7+1.50；
(2)lg48−lg193−lg 24+(12)−1+lg0.54．
20.(本小题12分)
(1)已知x>0，求4−2x−2x的最大值；
(2)已知a，b>0，a+2b=1，求1a+1b的最小值．
21.(本小题12分)
已知每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y=f(x)，其中f(x)=248−x−1,0≤x≤47−12x,4(1)若只投放一次1个单位的洗衣液，求三分钟后水中洗衣液的浓度；
(2)若只投放一次1个单位的洗衣液，则有效去污时间可达分钟？
(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时(从第一次投放算起)，洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(x2−2ax+3)．
(1)当a=−1时，求函数f(x)的值域；
(2)当a=−2时，求函数f(x)的单调区间．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可得A={x∈N|x−4<0}={0,1,2,3}，
则A∩B={0,1,3}．
故选：C．
先求出集合A，再结合交集的定义即可求解结论．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：“∀x>0，3x2−x−2>0”的否定是：∃x0>0，3x02−x0−2≤0．
故选：A．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题干可知a>c，对于选项A，两边同时乘b，当b=0时，所以ab=bc.选项A错误．
由题干可知a>b，对于选项B，两边同时乘|c|，当c=0时，所以a|c|=b|c|.选项B错误．
由题干a−c>b−c>0，选项C，两边同时乘1(a−c)(b−c)>0，则可知1b−c>1a−c成立，选项C正确．
由题干可知a>b>c，当a=1，b=−1，c=−3，则a2=b2故选：C．
利用不等式性质进行分析求解．
本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，由图象可得g(2)=1，
由表格可知f(g(2))=f(1)=0．
故选：A．
根据题意，先得到g(2)=1，从而求出f(g(2))．
本题考查函数的定义，涉及函数值的计算，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：函数y=x2−4x+1开口向上，对称轴x=2∈[0,3]，
所以函数在[0,3]上的最小值为f(2)=22−4×2+1=−3．
故选：C．
求出函数的对称轴，可知在所给的区间内，进而求出函数的最小值．
本题考查二次函数的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：60.7>1，0<(0.7)6<1，lg0.76<0，
可得60.7>(0.7)6>lg0.76.
故选：C．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：当x>0时，f(x)=x2−4x+2，f(x)在[2,4]上单调递增，
所以f(x)的最大值为f(4)=2，最小值为f(2)=−2，
∵函数f(x)是奇函数，
∴f(x)在区间[−4,−2]上为增函数，且最大值为f(−2)=−f(2)=2，最小值为f(−4)=−f(4)=−2，
故选：A．
根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可．
本题主要考查函数单调性和最值的判断，考查函数奇偶性和单调性的综合应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=−x,x≤0f(x−1),x>0的图象如图，
方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根可看作y=f(x)的图象与y=x+a的图象有2个不同的交点，可得a<1．
故选：A．
转化为y=f(x)与y=x+a的图象有2个不同的交点，结合图象可得答案．
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：由题可知，阴影在N中不在M中，
故(∁UM)∩N与N∩∁U(M∩N)都可以表示图中阴影部分．
故选：BD．
根据阴影在N中不在M中，再结合选项即可求得结论．
本题考查Venn图的运用，考查数学抽象与直观想象的核心素养．
10.【答案】BD
【解析】解：由题意知函数f(x)的定义域为(−∞,2)，故A错误；
当x≤−1时，f(x)的取值范围是(−∞,1]，
当−1当x=1时，f(1)=12=1，故C错误；
当x≤−1时，f(x)=x+2=3，无解，当−1故选：BD．
对A根据解析式判断定义域，对B结合单调性求出值域，对C代值即可求出，对D利用函数值分段讨论求出．变量的值．
本题考查的知识点是分段函数的应用，是基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：因为x2+1>0，
所以根据对数函数的定义得：a−2>0a−2≠15−a>0，
即：a>2a≠3a<5，所以2故选：AC．
利用对数函数的定义列出不等式解出即可．
本题主要考查对数函数的性质，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：由不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤−1或x≥3}，
得a<0−1+3=−ba−1⋅3=ca，得b=−2a，c=−3a，则A错误；
a+b+c=−4a>0，B正确；4a−2b+c=5a<0，C正确；
cx2−bx+a<0，即−3ax2+2ax+a<0，则3x2−2x−1<0，
解得：−13故选：BCD．
根据不等式的解集，得a<0，b=−2a，c=−3a，即可判断．
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
13.【答案】−7
【解析】解：易知原式=(0．53)−13−1−lg25lg2×lg4lg3×lg9lg5=0．5−1−1−2lg5lg2×2lg2lg3×2lg3lg5=2−1−8=−7．
故答案为：−7．
根据分式指数幂运算法则及换底公式计算即可得出结果．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
14.【答案】7
【解析】解：∵x>5，∴x−5>0，
∴x+1x−5=x−5+1x−5+5≥2 (x−5)⋅1x−5+5=7，
当且仅当x−5=1x−5，即x=6时取等号，
∴x+1x−5在x>5时，最小值为7．
故答案为：7．
将原式化为x−5+1x−5+5，利用基本不等式即可求得最小值．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】(1,4]
【解析】解：函数y= 4+3x−x2+1 x−1，
则4+3x−x2≥0x−1>0，解得1故函数y的定义域为(1,4]．
故答案为：(1,4]．
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
16.【答案】−3
【解析】解：∵f(x)+g(x)=x2−2x，
∴f(−x)+g(−x)=(−x)2−2(−x)=x2+2x．
由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，可有f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，
代入上式，−f(x)+g(x)=x2+2x，
则有f(x)=−2x，g(x)=x2；
则f(2)+g(1)=−4+1=−3．
故答案为：−3．
由题可得f(−x)+g(−x)=x2+2x，然后利用奇偶性的定义即求f(x)=−2x，g(x)=x2，最后计算即可；
本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题．
17.【答案】(1)解：函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1,1)上的奇函数，
则f(0)=0，即有b=0，
且f(12)=25，则12a1+14=25，解得，a=1，
则函数f(x)的解析式：f(x)=x1+x2(−1(2)证明：设任取m，n，使得−1=(m−n)(1−mn)(1+m2)(1+n2)，由于−10，
(1+m2)(1+n2)>0，则有f(m)−f(n)<0，即f(m)则f(x)在(−1,1)上是增函数；
(3)解：由于奇函数f(x)在(−1,1)上是增函数，
则不等式f(t−1)+f(t)<0即为f(t−1)<−f(t)=f(−t)，
即有−1则有0即t的取值范围为(0,12).
【解析】【分析】
(1)由奇函数得f(0)=0，求得b，再由已知，得到方程，解出a，即可得到解析式；
(2)运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
(3)运用奇偶性和单调性，得到不等式f(t−1)+f(t)<0即为f(t−1)<−f(t)=f(−t)，得到不等式组，解出即可．
本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用，奇偶性及解不等式组，考查运算能力，属于中档题．
【解答】
(1)解：函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1,1)上的奇函数，
则f(0)=0，即有b=0，
且f(12)=25，则12a1+14=25，解得，a=1，
则函数f(x)的解析式：f(x)=x1+x2(−1(2)证明：设任取m，n，使得−1=(m−n)(1−mn)(1+m2)(1+n2)，由于−10，
(1+m2)(1+n2)>0，则有f(m)−f(n)<0，即f(m)则f(x)在(−1,1)上是增函数；
(3)解：由于奇函数f(x)在(−1,1)上是增函数，
则不等式f(t−1)+f(t)<0即为f(t−1)<−f(t)=f(−t)，
即有−1则有0即t的取值范围为(0,12).
18.【答案】解：(1)若m=3时，B={x|m−1≤x≤2m+1}={x|2≤x≤7}，
则CUB={x|x>7或x<2}，则A⋂(CUB)={x|0≤x<2}；
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，
则B⫋A，则m−1≥0m+1≤5(“=“不同时成立)，
解得：1≤m≤4，
即m的取值范围是[1,4]．
【解析】(1)代入m的值，求出B，从而求出B的补集，求出A⋂(CUB)即可；
(2)根据集合的包含关系得到关于m的不等式组，解出即可．
本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是基础题．
19.【答案】解：(1)160.75−30.3×31.7+1.50=(24)34−30.3+1．,+1=8−9+1=0
(2)lg48−lg193−lg 24+(12)−1+lg0.54=lg223−lg3−23−lg2124+(12)−1+lg9．x2
=32lg22+12lg33−2lg24+8
=32+12−4+8
=6．
【解析】(1)结合指数幂的运算法则，即可求解；
(2)结合对数的运算性质，即可求解．
本题主要考查指数幂的运算法则，以及对数的运算性质，属于基础题．
20.【答案】解：(1)当x>0时，4−2x−2x=4−2(x+1x)≤4−2×2 x⋅1x=0，当且仅当x=1时取等号，
所以当x=1时，4−2x−2x取得最大值0；
(2)由a，b>0，a+2b=1，得1a+1b=(a+2b)(1a+1b)=3+2ba+ab≥3+2 2ba⋅ab=3+2 2，
当且仅当2ba=ab，即a= 2b= 2−1时取等号，
所以当a= 2−1,b=1− 22时，1a+1b取得最小值3+2 2．
【解析】(1)根据题意，直接利用基本不等式求最值，即可得到本题的答案；
(2)利用基本不等式，结合“1的代换”求解，可得1a+1b的最小值．
本题主要考查不等式的性质、基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)因为每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y=f(x)，
其中f(x)=248−x−1,0≤x≤47−12x,4若只投放一次1个单位的洗衣液，则三分钟后水中洗衣液的浓度f(3)=248−3−1=3.8(克/升)；
(2)若只投放一次1个单位的洗衣液，且当水中洗衣液的浓度不低于3克/升时，它能起到有效去污的作用，
当0≤x≤4时，248−x−1≥3，解得2≤x≤4；
当4综上所述，有效去污时间为6分钟；
(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，
则在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×(7−12×12)+1×(248−2−1)=5，
因为5>3，
所以在第12分钟时(从第一次投放算起)，洗衣液能起到有效去污的作用．
【解析】(1)由题意，将x=3代入f(x)中求解即可；
(2)令f(x)≥3，求解x的范围，即可得到答案；
(3)求出在第12分钟时，水中洗衣液的浓度，然后与3比较大小，即可得到答案．
本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当a=−1时，f(x)=lg2(x2+2x+3)，
而x2+2x+3=(x+1)2+2≥2，
所以有f(x)=lg2(x2+2x+3)≥lg22=1，即函数f(x)的值域为[1,+∞)．
(2)当a=−2时，f(x)=lg2(x2+4x+3)，
由x2+4x+3>0可得x<−3或x>−1，
所以函数f(x)的定义域为(−∞,−3)⋃(−1,+∞)，
因为内层函数u=x2+4x+3在区间(−∞,−3)上为减函数，在(−1,+∞)上为增函数，
外层函数y=lg2u在(0,+∞)上为增函数，
所以函数f(x)的增区间为(−1,+∞)，减区间为(−∞,−3)．
【解析】(1)当a=−1时，可得出f(x)=lg2(x2+2x+3)，求出x2+2x+3的取值范围，再结合对数函数的单调性可得出函数f(x)的值域；
(2)当a=−2时，求出函数f(x)的定义域，再利用复合函数法可得出函数f(x)的增区间和减区间．
本题考查复合函数的单调性，涉及函数的值域，属于基础题．x
1
2
3
f(x)
0
3
2