2023-2024学年广东省茂名市七校联盟高一上学期联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省茂名市七校联盟高一上学期联考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合的交集和补集运算求解.
【详解】由题意可得：或，
所以.
故选：C.
2．命题“”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定即可求解.
【详解】由题意：“，”的否定为“，”，故D项正确.
故选：D.
3．日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．已知经过125年的质量衰减为最初的，则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（ ）
A．250B．375C．500D．1000
【答案】C
【分析】根据题意列方程得到，然后将代入解得即可.
【详解】由题意得，解得，
令，则，解得.
故选：C.
4．已知条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由题先分别求出条件：，条件：或，然后结合充分必要条件进行判断即可求解.
【详解】由题意得：，得，所以：，
，得或，所以：或，
所以是的充分不必要条件，故A项正确.
故选：A.
5．函数的部分图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】采用排除法，先判断函数的奇偶性，排除部分答案，再判断函数的零点，可得选项.
【详解】由得，所以函数是奇函数，排除A、C，令，得，所以排除D
,故选B.
【点睛】本题考查辨别函数的图象，一般从函数的奇偶性，函数的零点，特殊点的函数值，函数的单调性等方面运用排除法，属于基础题.
6．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分段法以及对数函数等知识求得正确答案.
【详解】，，
，，
所以.
故选：D
7．定义，若，当时，正实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据与的大小关系进行分类讨论，结合定义域与值域研究的范围即可得.
【详解】当时，即有时，，
则有，解得，即，
当时，即或时，，
则有，即或，又为正实数，故，
综上所述，.
故选：A.
8．已知正实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．4
【答案】A
【分析】由题设有，构造，根据其奇偶性、单调性列不等式组得，应用基本不等式求目标式的最小值.
【详解】
，
设，则为奇函数，在上单调递增，
所以，故，则，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立．
所以的最小值为2．
故选：A
二、多选题
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．若，，则
D．如果，，，那么
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质，逐步判断选项.
【详解】选项A：，．，．A正确；
选项B：，，，，
，，即，B错误；
选项C：若，，则，则，C错误；
选项D：，，又，，
，又，．D正确.
故选：AD
10．函数且，当时，值域为，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】BC
【分析】分类讨论且是增函数还是减函数，将对应值带入计算即可.
【详解】当时，函数单调递减，，解得
当时，函数单调递增，，解得．
故选：BC．
11．若为函数图象上的一点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．函数的零点为
C．若，，则
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】ABD
【分析】代入得，通过减少变量并结合二次函数性质即可判断A，将代入即可判断B，根据二次函数的对称性和单调性即可判断C，利用二次函数和对数函数的性质即可判断D.
【详解】若为函数图象上一点，所以，，
A：，故A正确.
B：．
是函数的零点，故B正确.
C：若，则，关于直线对称且在単调递减，
，，故C错误.
D：当时，因为，所以，因为，则不等式显然不成立，
当时，要使在区间上，
的图象在图象的下方，
只需，即，
，解得，
，，故D正确．
故选：ABD．
12．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．若为偶函数，则
B．若，的值域为，则
C．若关于的方程有4个不同的实数根，则或
D．，关于的方程不可能有3个不同的实数根
【答案】ABD
【分析】对于A，由题意可得的对称轴，从而可得的值即可验证；对于B，对于对称轴位置分类讨论即可；对于C，画出图形，通过数形结合对分类讨论即可；对于D，将函数方程的根转换为新的函数的根来研究即可.
【详解】若为偶函数，则关于直线对称，，．故A正确.
时，而当时，
所以，使，不符合题意；
时，在单调递增，，，
即，
解得（舍去）或．故B正确.
对C，时，只有两个不同的解，显然不符合题意，
时，函数与直线有4个交点，由图可知，

只需方程有两个不同解，，解得或（舍去）；
当时，由图可知，且有两个不同解，显然不存在.
综上，当时，方程有4个不同实数根.故C错误.

对D，方程可化为
或
令，为奇函数，
的图象关于对称，，的实数解为1个或3个，
当时，只有唯一实数根，则原方程只有一个实数根；
当时，，有异于0的1个或3个实数根，
此时，原方程有2个实数根或4个实数根，故D正确.
故选：ABD．
【点睛】关键点睛：本题的综合性比较强，关键是充分理解函数的一些基本性质概念，适当的时候还要去数学结合、抽象出一些规律才可顺利求解.
三、填空题
13．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据所给解析式列出不等式组，求解即可.
【详解】要使得有意义，即，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．函数是定义在上的奇函数，并且当时，，那么 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性、指数、对数运算求得正确答案.
【详解】，
所以.
故答案为：
15．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过1000元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过1000元，则超过1000元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算．
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为40元，则他实际所付金额为 元．
【答案】
【分析】根据给定条件，分段讨论折扣优惠金额元与总金额元的函数关系，列式计算判断即得.
【详解】设顾客选购物品的总金额为元，获得的折扣优惠金额为元，则当时，，
当时，，
令，得，解得，不符合题意；
当时，，
令，所以，解得，符合题意，
所以他实际所付金额为元．
故答案为：1610
16．已知，方程有四个不同的根，，，，且满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的性质、对数函数的单调性化简函数的解析式，并画出函数的图象，利用数形结合思想、函数的对称性、对勾函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为，所以，
画出函数图象如下图所示：
若方程有四个不同的根，则，
此时有，且，
所以，
则有
，
即，所以，
令，
对勾函数在上单调递减，
所以，即，
则，所以．
故答案为：．
四、解答题
17．已知集合，．
(1)分别求，；
(2)已知，若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式求出集合B，再根据集合的交并补运算求解；
（2）由，分以及讨论，列式计算得解.
【详解】（1）由题意，集合，，
所以，
，
或.
（2），，，
当时，则，，
当时，则，
，
的取值范围为．
18．设，函数为奇函数．
(1)求的值；
(2)请判断函数的单调性，并用定义证明．
【答案】(1)
(2)函数在上为增函数，证明见解析
【分析】（1）方法一：根据奇函数的定义分析求解；方法二：根据求参，并检验；
（2）根据函数单调性的定义分析证明.
【详解】（1）方法一：若函数为奇函数，则，
，，
所以，解得．
又因为，所以．
方法二：若函数为奇函数，，
则，即，解得，符合，
当时，，，
满足．所以.
（2）由（1）知，，函数在上为增函数．
证明如下：设，且，
则，
因为，所以，即，且，，
所以，即，
所以函数在上为增函数．
19．已知定义在区间的函数图象关于轴对称，且当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数有两个不同的零点、，证明不等式．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用在区间关于轴对称，并结合，从而求解.
（2）由（1）及题意可求出为的两个零点，然后结合基本不等式从而求解证明
【详解】（1）由题意，设，则，
因为的图象关于轴对称，所以．
所以
所以的解析式为
（2）证明：由（1）可得，
当时，，解得
当时，令，解得
所以函数的两个零点为和
，
当且仅当，即时取等号，因为，所以等号取不到，
所以．
20．随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）：
(1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③；
(2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人?参考数据：，，．
【答案】(1)选择③；，
(2)预计平台建立年后会员数超过千人
【分析】（1）根据表格中的数据以及函数的增长速度可知，选择模型③较为合适，然后将表格中前三组数据代入函数解析式，解出、、的值，可得出函数解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式，解不等式，可得结果.
【详解】（1）解：从表格数据可以得知，函数是一个増函数，故不可能是①，
又因为数据增长的速度越来越快，②函数增长速度越来越慢
所以，选择③，
代入表格中的前三个点可得：，解得：，
所以，函数解析式为，．
（2）解：由（1）可知：，则．
所以，，则．
所以，预计平台建立年后会员数超过千人.
21．已知函数，，
(1)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用参变分离可得在区间上恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式分析求解；
（2）设在内的值域为A，在内的值域为B，可知，先取求得，再检验即可.
【详解】（1）因为在区间上恒成立，
即，恒成立．
等价于在区间上恒成立，
又因为，则，
可得
，
当且仅当，即时等号成立，
故实数的取值范围为：．
（2）设在内的值域为A，在内的值域为B，
若对任意的，存在，使得，则，
当时，，即，
取，可得，解得；
又因为，
若，且，可知在上单调递增，
此时在上的最大值为，最小值为，
即，符合题意；
综上，实数的取值范围为：．
22．已知函数是偶函数，且，．
(1)当时，求函数的值域；
(2)设，，求函数的最小值；
(3)设，对于（2）中的，是否存在实数，使得关于的方程在时有且只有一个解?若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据题意求的解析式，再利用单调性求最值，进而得到的值域；
（2）令，构造函数，分、、讨论单调性得的最小值；
（3）根据题意将方程化简令，问题等价于两个函数与的图象在上有且只有一个交点，结合图象可得答案.
【详解】（1）因为函数是偶函数，故，
而，可得，则，故，
易知在上单调递增，
所以，，故的值域为；
（2），，
令，故，则，
对称轴为；
①当时，在上单调递增，故；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故；
③当时，在上单减，故；
故函数的最小值；
（3）由（2）知当时，，
则，即，
令，
问题等价于两个函数与的图象在上有且只有一个交点，
由，函数的图象开口向下，对称轴为，
在上单调递减，在上单调递增，
由图可知，，
故.
【点睛】关键点点睛：第三问的关键点是当函数有解的时候转化两个函数图象的交点问题，结合图象列不等式求解即可.
可以享受折扣优惠金额
折扣优惠率
不超过500元部分
5%
超过500元的部分
10%
建立平台第年
会员个数（千人）