2023-2024学年广东省清中、河中、北中、惠中、阳中高一上学期五校联合质量监测考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省清中、河中、北中、惠中、阳中高一上学期五校联合质量监测考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】集合的基本运算问题.
【详解】因为，所以，
且，所以 =.
故选：C
2．已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先求的解集，再利用充分必要条件的概念即可判断.
【详解】由得，此不等式与不等式同解，解得或.
所以，当时，一定成立，故充分性成立；
当即或时，不一定成立，故必要性不成立.
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据题意得到，再根据求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：C
4．某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（是正常数）.若经过过滤后消除了的污染物，则污染物减少大约需要（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用给定的函数模型，求出，再借助取对数的方法求出时的值即可.
【详解】依题意，经过过滤后还剩余的污染物，则，解得，
设污染物减少用时小时，于是，即，则，即，
两边取对数得，因此，
所以污染物减少大约需要.
故选：B
5．函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.
【详解】方法一：因为，即，所以，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除；
当时，，即，因此，故排除A.
故选:D.
方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
又，所以排除A.
故选：D.
6．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用指对函数的单调性和中间值比较大小即可.
【详解】由，则，
由，，则，
由，则.
则.
故选：C
7．已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析函数的单调性和奇偶性，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为，
因为，即函数为奇函数，
又因为，且函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
对任意的正数、，满足，则，
所以，，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.
故选：B.
8．若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据“2阶准偶函数”定义，分，，三种情况分析即可得答案.
【详解】根据题意，函数是“阶准偶函数”，
则集合中恰有个元素.
当时，函数有一段部分为，注意的函数本身具有偶函数性质，故集合中不止有两个元素，矛盾，
当时，根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，为，故当，方程无解，当，解得或，故要使得集合中恰有个元素，则需要满足，即；
当时，函数，的取值为，为，根据题意得,解得或，满足恰有两个元素，故满足条件.
综上，实数的取值范围是.
故选：B.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则D．若，，则，
【答案】BCD
【分析】根据不等式的性质和作差法比较大小即可.
【详解】若，，则，，故A错；
若，则，又，则，故B正确；
，
因为，所以，，，
则，即，故C正确；
若，则，
因为，所以，则，
所以，，故D正确.
故选：BCD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．的最大值为
C．的图象关于成中心对称
D．的递减区间是
【答案】AC
【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，根据指数函数的单调性进行判断；对于C，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于D，根据对数函数的定义域即可判断..
【详解】对于A，函数的定义域为，
由得，
则函数的定义域为，A正确；
对于B，函数在R上单调递减，且，
则，即当时，
函数取得最小值，无最大值，B错误；
对于C，函数的图象的对称中心为，
将函数的图象先向左平移2个单位，
再向上平移1个单位得到函数的图象，
则函数的图象的对称中心为，C正确，
定义域，D错误.
故选：AC
11．已知函数的定义域为，对任意实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为减函数D．为奇函数
【答案】AD
【分析】利用取特殊值方法求解选项A,B,利用抽象函数的关系式结合函数的单调性和奇偶性求解选项C,D.
【详解】对A，令可得，，解得，A正确；
对B，令可得，，
再令可得，，解得，B错误；
对C，因为，，所以,C错误；
对D，令，则，
所以，即，
所以函数为奇函数，D正确；
故选:AD.
12．已知函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，如果当时，函数的值域是，则
C．若，则不等式的解集为
D．若，如果存在实数，使得成立，则实数a的取值范围是
【答案】AD
【分析】A选项，根据函数的奇偶性得到方程，求出；B选项，由复合函数单调性得到在上是严格增函数，从而得到求出；C选项，由函数单调性得到，求出解集；D选项，由的单调性得到值域为，进而得到与的交集为非空，得到不等式，求出答案.
【详解】对于A：因为为奇函数，
所以，则，
因为，所以，A正确.
对于B：令，则由，得.
因为在上单调递减，
所以当时，在上是严格增函数，
所以，
所以，B错误.
对于C：当时，，
则由，得，
所以，解得，C错误.
对于D：当时，在上单调递减，
所以在上的取值范围是.
由题意知与的交集为非空，所以，解得，D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．函数的定义域为 ；
【答案】
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．若函数在区间上严格增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据符合单调性可得的单调性，再结合分段函数单调性列式求解.
【详解】因为在定义域内单调递增，且在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为在上单调递减，在上单调递增，
若函数在区间上严格增，则，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
15．已知命题“，使”是假命题，其实数的取值为集合A，设不等式的解集为集合B，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】写出命题的否定得 ，使恒成立，求出集合 ，又是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，分类讨论列出满足的不等式求解即可.
【详解】解：由命题“，使”是假命题，
知命题“，使”是真命题，
所以，解得，
所以，
因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，
设，则，
即，解得或，
所以实数a的取值范围为．
故答案为：．
16．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若函数有唯一零点，则实数的值为 .
【答案】或
【分析】由已知函数有唯一零点，结合偶函数的性质，证明函数为偶函数，根据条件列方程求λ的值.
【详解】因为函数有唯一零点，
所以函数有唯一零点，
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以，
所以函数为偶函数，又函数有唯一零点，
所以函数的零点为，
所以，
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
又由可得，所以，
所以
解得或．
故答案为：或．
四、解答题
17．（1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）5；（2）2
【分析】（1）利用对数运算和指数运算法则计算出答案；
（2）指数式化为对数式，进而利用对数运算法则和换底公式求出答案.
【详解】（1）
；
（2）因为，所以，
故.
18．已知关于x的不等式的解集为或（）.
(1)求a，b的值；
(2)当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）方法一：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，利用韦达定理求解；方法二：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，将1代入求解.
（2）易得，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解.
【详解】（1）解：方法一：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
所以，解得
方法二：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
由1是的根，有，
将代入，
得或，
∴；
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当时，等号成立，
依题意有，即，
得，
所以k的取值范围为.
19．已知函数.
(1)求方程的根；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次方程的解法，结合对数的定义，可得答案.
（2）根据复合函数的性质，结合对数函数、指数函数、二次函数的单调性，可得答案.
【详解】（1）由，可得，整理可得，
分解因式可得，由，解得，则.
（2）由，根据函数在上单调递增，则，
令，，
根据二次函数的性质，则，
由函数在上单调递增，则.
20．已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求的值．
(2)判断的单调性（不必证明）．
(3)若存在，使成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)函数在上是减函数
(3)
【分析】（1）首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出．
（2）将表达式变形为，根据复合函数单调性即可判断．
（3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意问题等价于，由此即可得解．
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，所以，又因为，
所以，将代入，整理得，
当时，有，即，
又因为当时，有，所以，所以．
经检验符合题意，所以．
（2）由（1）知：函数，
函数在上是减函数．
（3）因为存在，使成立，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，
所以，所以，令，
由题意可知：问题等价转化为，又因为，
所以，即的取值范围为．
21．《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：其它总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元）．
(1)求的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当投入的肥料费用为6元时，该单株农作物获得的利润最大，最大利润为52元
【分析】（1）根据利润毛收入成本可得结果；
（2）分段求出最大值，再两者中的更大的为最大值.
【详解】（1）由题意可得，
所以函数的函数关系式为
（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以，
当时， ，
当且仅当，即时等号成立，此时
综上：当投入的肥料费用为6元时，单株农作物获得的利润最大为52元.
22．已知函数，其中a为常数.
(1)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)已知，若函数在上有且仅有一个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复合函数单调性的判断方法确定出的单调性，由此列出不等式求解出结果；
（2）先化简函数得到，然后根据的范围进行分类讨论，结合函数的单调性以及零点的存在性定理求解出的取值范围.
【详解】（1）令，因为为定义域内的单调递减函数，
若满足在区间上单调递减，则在上单调递增即可，
当时，在上单调递减，不符合题意；
当时，为开口向下的二次函数，所以不可能在上单调递增；
当时，只需满足，解得，
综上所述，实数a的取值范围为；
（2）因为在上有且仅有一个零点，
所以在上有且仅有一个零点，
记，
当时，，且均在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，所以，
所以在上有唯一零点，符合条件；
当时，，
的对称轴为，所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
若满足题意只需，所以，解得；
当时， ，
的对称轴为，所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
若满足题意只需，所以，解得；
综上所述，的取值范围是.