2023-2024学年广东省汕头市潮阳林百欣中学高一上学期第二次阶段考试数学试题含答案

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一、单选题
1．已知集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】由，解得或，所以或，
因为，所以.
故选：A.
2．已知函数为上的奇函数，当时，，则的值为（ ）
A．3B．C．1D．以上都不对
【答案】C
【分析】利用奇函数的性质进行求解即可.
【详解】因为函数为上的奇函数，
所以，
故选：C
3．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的单调即可排除ABC，结合奇偶性的判定即可求解D.
【详解】对于A，为单调递增函数，故不符合题意，
对于B，为上的单调递增函数，故不符合题意，
对于C，为内单调递减函数，由于定义域不关于原点对称，故不是奇函数，故不符合题意，
对于D，为上的单调递减函数，且，故为奇函数，D正确，
故选：D
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据指数和对数的运算法则可判断.
【详解】对A，，故A错误；
对B，，故B正确；
对于CD，显然错误.
故选：B.
5．如图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据壶的结构，即可得出选项.
【详解】解：由文物的形状知，两头细中间粗，在注水过程中，以恒定的流速向其内注水，
前段部分注水高度逐渐递增，但增长速度逐步变慢，当超过中间部分，注水高中继续递增，但增长速度逐步变快，
对应图象满足条件.
故选：．
6．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性及中间量“”即可比较，，大小，得出答案.
【详解】
因为函数为上的增函数，，
所以 ，即.
因为函数为上的减函数，，
所以 ，即.
综上可得：.
故选：D.
7．设函数，当为增函数时，实数的值可能是（ ）
A．2B．C．0D．1
【答案】D
【分析】分段函数单调递增，需满足在每一段上均单调递增，且分段处左端点函数值小于等于右端点函数值，得到不等式组，求出答案.
【详解】在上单调递增，则，
在上单调递增，
由于对称轴为，开口向上，显然满足在上单调递增，
还需满足，解得，
结合，故，
所以实数的值可能是内的任意实数，ABC不满足，D满足
故选：D．
8．已知长为，宽为的长方形，如果该长方形的面积与边长为的正方形面积相等；该长方形周长与边长为的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为的正方形面积和周长的比相等，那么、、、大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出，，，，然后利用基本不等式比较大小即可.
【详解】由题意可得，①，②，③，④，且，
由基本不等式的关系可知，，当且仅当时等号成立，
由①②得，，所以⑤，
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
由②③得，，所以⑥，
又，当且仅当时等号成立，
由①④得，，所以⑦，综合⑤⑥⑦可得，.
故选：D.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集
B．“”是“，”成立的充分不必要条件
C．命题，，则，
D．函数与不是同一函数
【答案】AC
【分析】求出分式不等式的解集可判断A；举反例可判断B；根据全称命题的否定是特称命题可判断C；根据两个函数的定义域、解析式可判断D.
【详解】对于A，由得，解得，故A正确；
对于B，由“”不能得到“，”，比如，，故充分性不成立，故B错误；
对于C，命题，，则，，故C正确；
对于D，可知两个函数的定义域均为，且，故这两函数是同一函数，故D错误.
故选：AC.
10．若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】对A，利用指数函数的单调性；对B，利用基本不等式；对C，利用不等式的性质；对D，利用基本不等式.进行判断即可.
【详解】对A，由指数函数的单调性可知，当，有，故A 正确；
对B，当时，不成立，故B错误；
对C，当时，不成立，故C错误；
对D，成立，从而有成立，故D正确；
故选：AD.
【点睛】本题考查利用已知函数及基本不等式的应用，求解时注意基本不等式成立的条件，考查分类讨论思想的应用，属于基础试题．
11．命题：“，”的否定为真命题的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】先求出命题的否定，再判断取值范围即可得出结果.
【详解】命题：“，”的否定为“，”，
当时，恒成立，符合题意；
当时，，
综上，，
故选：AB
12．对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．
C．函数在区间上单调递增D．函数最大值为
【答案】ABD
【分析】根据题意，求出的解析式，再由解析式作出函数图象，即可逐个选项判断.
【详解】由题知，该函数的解折式为：，
该函数的图象为：
选项A：由图象可得该函数为偶函数，故A正确；
选项B：代入解析式可得，故B正确；
选项C：由解析式可得在区间上不单调，C错误；
选项D：由图可得在或时，取得最大值，故D正确．
故选：ABD
三、填空题
13．已知，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据不等式的性质可得.
【详解】解：∵，∴，
∵，∴.
故答案为：.
14．已知集合M={x|x2=1}，N={x|ax=1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为 ．
【答案】
【分析】求出集合中的元素，然后分类讨论确定值．
【详解】由已知，又中至多一个元素，
若，则，
若，则，若，则，
故答案为：．
15．已知函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值为 .
【答案】4
【详解】由题意可知定点A（1,1）,所以m+n=1,因为,所以,当时，的最小值为4.
16．已知函数是定义在R上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】设函数，由条件可知函数是偶函数，并且在单调递减，然后利用函数的性质解抽象不等式即得.
【详解】令，因为函数是定义在R上的奇函数，
则，故为定义在R上偶函数，
由，得在为减函数，
由，可得，
即，故，
所以，即，
解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数．
(1)若，求及的解析式；
(2)若是在上单调递减的幂函数，求的解析式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接将代入即可求出；利用配凑法（换元法）即可得的解析式.
（2）根据幂函数的定义及性质即可求解.
【详解】（1）令，得.
则，
解法1：因为，
所以，
所以．
解法2：设，则．
，
．
（2）由函数为幂函数得，
解得或，
又函数在上是减函数，
则，即，
所以，
故．
18．（1）计算；
（2）计算．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据指数幂以及根式的运算性质即可求解；
（2）根据对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）；
（2）
．
19．已知函数的图象与（，且）的图象关于直线对称，且的图象过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若成立，求的取值范围；
(3)若对，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数图象经过的点，即可代入求解，根据反函数的性质即可求解；
（2）根据函数的单调性即可求解；
（3）根据单调性求解最值，即可求解.
【详解】（1）因为（，且）的图象过点，
所以，解得，所以．
又因为函数的图象与的图象关于对称，所以．
（2）因为为内的单调递减函数，
所以，即，
则解得，
所以的取值范围为．
（3）对于，，
对，恒成立，所以．
即实数的取值范围是．
20．已知函数，记集合为的定义域，．
(1)化简集合，，并求；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)当，求函数的值域．
【答案】(1)，，
(2)奇函数
(3)
【分析】（1）根据分式的性质、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法，结合集合交集和补集的定义进行求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义，结合对数的运算性质进行判断即可；
（3）根据指数函数的单调性，结合换元法进行求解即可.
【详解】（1）由不等式，
即，
由可得，解得，即，
或，
所以；
（2）由（1）可得的定义域关于原点对称，
又有，
所以为奇函数；
（3）因为，令，
易知在上单调递增，所以，又在上递减，
所以函数的值域是．
21．某公司为了研究年宣传费（单位：千元）对销售量（单位：吨）和年利润（单位：千元）的影响，搜集了近 8 年的年宣传费和年销售量数据：
(1)请补齐表格中 8 组数据的散点图，并判断与中哪一个更适宜作为年销售量关于年宣传费的函数表达式？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)若（1）中的，且产品的年利润与，的关系为，为使年利润值最大，投入的年宣传费应为何值？
【答案】(1)见解析，
(2)当即投入的年宣传费千元时，年利润取到最大值（最大值为889).
【分析】（1）画出散点图，根据散点图的走向，可选出合适的模型；
（2）根据题意得到，经过换元求得函数的最值问题．
【详解】（1）补齐的图如下：
由图判断，更适宜作为年销售量关于年宣传费的函数表达式.
（2）依题意得，，
化简得，
设，
则有.
故当即投入的年宣传费千元时，年利润取到最大值（最大值为889).
22．已知函数为奇函数．
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性并用定义证明；
(3)设，求在上的最小值．
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)1
【分析】（1）利用可求出，再检验即可；
（2）在上单调递增．利用单调性定义证明即可；
（3）求出，令可得，再利用配方法求最值可得答案.
【详解】（1）是定义域为的奇函数，，；
，，且是定义域为，
所以是定义域为的奇函数，所以符合题意；
（2）在上单调递增．
证明如下：，，，
则，
因为，所以，所以，，
可得，
即当时，有，所以在上单调递增；
（3）
，
令，又，则，
所以，
因为，所以当且仅当时取得等号,
即在上的最小值为1．
1
2
3
4
5
6
7
8
38
40
44
46
48
50
52
56
45
55
61
63
65
66
67
68